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文檔簡介
2023年高考數(shù)學模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)命題函數(shù)在上遞增,命題在中,,下列為真命題的是()A. B. C. D.2.的展開式中的常數(shù)項為()A.-60 B.240 C.-80 D.1803.運行如圖所示的程序框圖,若輸出的值為300,則判斷框中可以填()A. B. C. D.4.某三棱錐的三視圖如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,則該三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.5.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則6.設(shè)函數(shù)在定義城內(nèi)可導(dǎo),的圖象如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.7.“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.如圖,拋物線:的焦點為,過點的直線與拋物線交于,兩點,若直線與以為圓心,線段(為坐標原點)長為半徑的圓交于,兩點,則關(guān)于值的說法正確的是()A.等于4 B.大于4 C.小于4 D.不確定9.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.10.若向量,,則與共線的向量可以是()A. B. C. D.11.已知函數(shù),不等式對恒成立,則的取值范圍為()A. B. C. D.12.設(shè),是空間兩條不同的直線,,是空間兩個不同的平面,給出下列四個命題:①若,,,則;②若,,,則;③若,,,則;④若,,,,則.其中正確的是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的定義域為____.14.在中,已知是的中點,且,點滿足,則的取值范圍是_______.15.已知函數(shù)在處的切線與直線平行,則為________.16.已知函數(shù)的定義域為R,導(dǎo)函數(shù)為,若,且,則滿足的x的取值范圍為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列中,(實數(shù)為常數(shù)),是其前項和,且數(shù)列是等比數(shù)列,恰為與的等比中項.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項公式;(3)若,當時,的前項和為,求證:對任意,都有.18.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)無解,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知曲線C的極坐標方程是.以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程是:(是參數(shù)).(1)若直線l與曲線C相交于A、B兩點,且,試求實數(shù)m值.(2)設(shè)為曲線上任意一點,求的取值范圍.20.(12分)某工廠,兩條相互獨立的生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品,在產(chǎn)量一樣的情況下通過日常監(jiān)控得知,生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率分別為和.(1)從,生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品,若使得至少有一件合格的概率不低于,求的最小值.(2)假設(shè)不合格的產(chǎn)品均可進行返工修復(fù)為合格品,以(1)中確定的作為的值.①已知,生產(chǎn)線的不合格產(chǎn)品返工后每件產(chǎn)品可分別挽回損失元和元.若從兩條生產(chǎn)線上各隨機抽檢件產(chǎn)品,以挽回損失的平均數(shù)為判斷依據(jù),估計哪條生產(chǎn)線挽回的損失較多?②若最終的合格品(包括返工修復(fù)后的合格品)按照一、二、三等級分類后,每件分別獲利元、元、元,現(xiàn)從,生產(chǎn)線的最終合格品中各隨機抽取件進行檢測,結(jié)果統(tǒng)計如下圖;用樣本的頻率分布估計總體分布,記該工廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為,求的分布列并估算該廠產(chǎn)量件時利潤的期望值.21.(12分)已知函數(shù),.(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,且函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的值;(2)求證:(,且).22.(10分)已知函數(shù).(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
命題:函數(shù)在上單調(diào)遞減,即可判斷出真假.命題:在中,利用余弦函數(shù)單調(diào)性判斷出真假.【詳解】解:命題:函數(shù),所以,當時,,即函數(shù)在上單調(diào)遞減,因此是假命題.命題:在中,在上單調(diào)遞減,所以,是真命題.則下列命題為真命題的是.故選:C.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、正弦定理、三角形邊角大小關(guān)系、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
求的展開式中的常數(shù)項,可轉(zhuǎn)化為求展開式中的常數(shù)項和項,再求和即可得出答案.【詳解】由題意,中常數(shù)項為,中項為,所以的展開式中的常數(shù)項為:.故選:D【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用和二項式展開式的通項公式,考查學生計算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
由,則輸出為300,即可得出判斷框的答案【詳解】由,則輸出的值為300,,故判斷框中應(yīng)填?故選:.【點睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題,解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程,以便得出正確的結(jié)論,是基礎(chǔ)題.4、C【解析】
作出三棱錐的實物圖,然后補成直四棱錐,且底面為矩形,可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球為同一個球,然后計算出矩形的外接圓直徑,利用公式可計算出外接球的直徑,再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實物圖如下圖所示:將其補成直四棱錐,底面,可知四邊形為矩形,且,.矩形的外接圓直徑,且.所以,三棱錐外接球的直徑為,因此,該三棱錐的外接球的表面積為.故選:C.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積,解題時要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實物圖,并分析三棱錐的結(jié)構(gòu),選擇合適的模型進行計算,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.5、C【解析】
在A中,與相交或平行;在B中,或;在C中,由線面垂直的判定定理得;在D中,與平行或.【詳解】設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,則:在A中,若,,則與相交或平行,故A錯誤;在B中,若,,則或,故B錯誤;在C中,若,,則由線面垂直的判定定理得,故C正確;在D中,若,,則與平行或,故D錯誤.故選C.【點睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,是中檔題.6、D【解析】
根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性,從而得到在相應(yīng)范圍上的符號和極值點,據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知,在上為增函數(shù),且在上存在正數(shù),使得在上為增函數(shù),在為減函數(shù),故在有兩個不同的零點,且在這兩個零點的附近,有變化,故排除A,B.由在上為增函數(shù)可得在上恒成立,故排除C.故選:D.【點睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)圖象的識別,此類問題應(yīng)根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性來考慮導(dǎo)函數(shù)的符號與零點情況,本題屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】,令解得當,的圖像如下圖當,的圖像如下圖由上兩圖可知,是充要條件【考點定位】考查充分條件和必要條件的概念,以及函數(shù)圖像的畫法.8、A【解析】
利用的坐標為,設(shè)直線的方程為,然后聯(lián)立方程得,最后利用韋達定理求解即可【詳解】據(jù)題意,得點的坐標為.設(shè)直線的方程為,點,的坐標分別為,.討論:當時,;當時,據(jù),得,所以,所以.【點睛】本題考查直線與拋物線的相交問題,解題核心在于聯(lián)立直線與拋物線的方程,屬于基礎(chǔ)題9、A【解析】
確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,計算時的函數(shù)值可排除三個選項.【詳解】時,函數(shù)為減函數(shù),排除B,時,函數(shù)也是減函數(shù),排除D,又時,,排除C,只有A可滿足.故選:A.【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,可通過解析式研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等等排除,可通過特殊的函數(shù)值,函數(shù)值的正負,函數(shù)值的變化趨勢排除,最后剩下的一個即為正確選項.10、B【解析】
先利用向量坐標運算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點睛】本題考查向量的坐標運算和向量平行的判定,屬于基礎(chǔ)題,在解題中要注意橫坐標與橫坐標對應(yīng),縱坐標與縱坐標對應(yīng),切不可錯位.11、C【解析】
確定函數(shù)為奇函數(shù),且單調(diào)遞減,不等式轉(zhuǎn)化為,利用雙勾函數(shù)單調(diào)性求最值得到答案.【詳解】是奇函數(shù),,易知均為減函數(shù),故且在上單調(diào)遞減,不等式,即,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得,即,設(shè),,故單調(diào)遞減,故,當,即時取最大值,所以.故選:.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式,參數(shù)分離求最值是解題的關(guān)鍵.12、C【解析】
根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.【詳解】解:①:、也可能相交或異面,故①錯②:因為,,所以或,因為,所以,故②對③:或,故③錯④:如圖因為,,在內(nèi)過點作直線的垂線,則直線,又因為,設(shè)經(jīng)過和相交的平面與交于直線,則又,所以因為,,所以,所以,故④對.故選:C【點睛】考查線面平行或垂直的判斷,基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由題意得,解得定義域為.14、【解析】
由中點公式的向量形式可得,即有,設(shè),有,再分別討論三點共線和不共線時的情況,找到的關(guān)系,即可根據(jù)函數(shù)知識求出范圍.【詳解】是的中點,∴,即設(shè),于是(1)當共線時,因為,①若點在之間,則,此時,;②若點在的延長線上,則,此時,.(2)當不共線時,根據(jù)余弦定理可得,解得,由,解得.綜上,故答案為:.【點睛】本題主要考查學中點公式的向量形式和數(shù)量積的定義的應(yīng)用,以及余弦定理的應(yīng)用,涉及到函數(shù)思想和分類討論思想的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式,屬于中檔題.15、【解析】
根據(jù)題意得出,由此可得出實數(shù)的值.【詳解】,,直線的斜率為,由于函數(shù)在處的切線與直線平行,則.故答案為:.【點睛】本題考查利用函數(shù)的切線與直線平行求參數(shù),解題時要結(jié)合兩直線的位置關(guān)系得出兩直線斜率之間的關(guān)系,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
構(gòu)造函數(shù),再根據(jù)條件確定為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減,最后利用單調(diào)性以及奇偶性化簡不等式,解得結(jié)果.【詳解】依題意,,令,則,故函數(shù)為奇函數(shù),故函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,即,故,則x的取值范圍為.故答案為:【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及利用函數(shù)性質(zhì)解不等式,考查綜合分析求解能力,屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)(3)見解析【解析】
(1)令可得,即.得到,再利用通項公式和前n項和的關(guān)系求解,(2)由(1)知,.設(shè)等比數(shù)列的公比為,所以,再根據(jù)恰為與的等比中項求解,(3)由(2)得到時,,,求得,再代入證明。【詳解】(1)解:令可得,即.所以.時,可得,當時,所以.顯然當時,滿足上式.所以.,所以數(shù)列是等差數(shù)列,(2)由(1)知,.設(shè)等比數(shù)列的公比為,所以,恰為與的等比中項,所以,解得,所以(3)時,,,而時,,,所以當時,.當時,,∴對任意,都有,【點睛】本題主要考查數(shù)列的通項公式和前n項和的關(guān)系,等差數(shù)列,等比數(shù)列的定義和性質(zhì)以及數(shù)列放縮的方法,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力,屬于難題,18、(1);(2).【解析】
(1)只需分,,三種情況討論即可;(2)在區(qū)間上恒成立,轉(zhuǎn)化為,只需求出即可.【詳解】(1)當時,,此時不等式無解;當時,,由得;當時,,由得,綜上,不等式的解集為;(2)依題意,在區(qū)間上恒成立,則,當時,;當時,,所以當時,,由得或,所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法、不等式恒成立問題,考查學生分類討論與轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道基礎(chǔ)題.19、(1)或;(2).【解析】
(1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程,在直角坐標條件下求出曲線的圓心坐標和半徑,將直線的參數(shù)方程化為普通方程,由勾股定理列出等式可求的值;(2)將圓化為參數(shù)方程形式,代入由三角公式化簡可求其取值范圍.【詳解】(1)曲線C的極坐標方程是化為直角坐標方程為:直線的直角坐標方程為:圓心到直線l的距離(弦心距)圓心到直線的距離為:或(2)曲線的方程可化為,其參數(shù)方程為:為曲線上任意一點,的取值范圍是20、(1)(2)①生產(chǎn)線上挽回的損失較多.②見解析【解析】
(1)由題意得到關(guān)于的不等式,求解不等式得到的取值范圍即可確定其最小值;(2)①.由題意利用二項分布的期望公式和數(shù)學期望的性質(zhì)給出結(jié)論即可;②.由題意首先確定X可能的取值,然后求得相應(yīng)的概率值可得分布列,最后由分布列可得利潤的期望值.【詳解】(1)設(shè)從,生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品,至少有一件合格為事件,設(shè)從,生產(chǎn)線上抽到合格品分別為事件,,則,互為獨立事件由已知有,則解得,則的最小值(2)由(1)知,生產(chǎn)線的合格率分別為和,即不合格率分別為和.①設(shè)從,生產(chǎn)線上各抽檢件產(chǎn)品,抽到不合格產(chǎn)品件數(shù)分別為,,則有,,所以,生產(chǎn)線上挽回損失的平均數(shù)分別為:,所以生產(chǎn)線上挽回的損失較多.②由已知得的可能取值為,,,用樣本估計總體,則有,,所以的分布列為所以(元)故估算估算該廠產(chǎn)量件時利潤的期望值為(元)【點睛】本題主要考查概率公式的應(yīng)用,二項分布的性質(zhì)與方差的求解,離散型隨機變量及其分布列的求解等知識,意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.21、(1)1;(2)見解析【解析】
(1)分別求得與的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求得的值;(2)由(1)可知當時,,當時,,因而,構(gòu)造,由對數(shù)運算及不等
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