2022-2023學年八年級數(shù)學下冊《二次根式材料閱讀題大題提升訓練》重難點培優(yōu)30題原卷

【拔尖特訓】2022-2023學年八年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)必刷題【人教版】專題16.7二次根式材料閱讀題大題提升訓練（重難點培優(yōu)30題）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷試題解答30道，共分成三個層組：基礎過關題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一．解答題（共30小題）1．（2022秋?駐馬店期中）閱讀材料：（一）如果我們能找到兩個正整數(shù)x，y使x+y＝a且xy＝b，這樣a+2b=(例如：3+22（二）在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時還會碰上如23+1樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：（1）化簡“和諧二次根式”：①11+228=；②7?4（2）已知m=15+26，n=2．（2022秋?長安區(qū)期中）求代數(shù)式a+a2?2a+1小芳：解：原式＝a+(a?1)2=a小亮：解：原式＝a+(a?1)2=a（1）的解法是錯誤的；（2）求代數(shù)式a+2a2?6a+9的值，其中a＝43．（2022秋?儀征市期中）閱讀下面材料，回答下列問題：構(gòu)造法是依據(jù)問題的條件和結(jié)論給出的信息，把問題做適當?shù)募庸ぬ幚?，?gòu)造與問題相關的數(shù)學模式，揭示問題的本質(zhì)，從而疏通解題思路的方法．構(gòu)造方程是常用的一種構(gòu)造方法，它能使得問題被簡化，得以迅速解決．材料：已知x=5+212分析：這道題如果將代數(shù)式化簡，再直接將x代入求值比較困難，觀察x的值，發(fā)現(xiàn)x=5+212=?(?5)+(?5)2?4×1×12×1，對比一元二次方程求根公式x=?b±b2?4ac2a，不難發(fā)現(xiàn)x是方程x2﹣5（1）以2，﹣3為根的方程可以是；（2）已知x=?6+（3）求代數(shù)式(1+4．（2022秋?永安市期中）在解決問題“已知a=12+3，求2a2∵a=∴a﹣2=?3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：（1）化簡：35（2）若a=12+1，求2a25．（2022秋?昌平區(qū)期中）我們已經(jīng)學習了整式、分式和二次根式，當被除數(shù)是一個二次根式，除數(shù)是一個整式時，求得的商就會出現(xiàn)類似ba的形式，我們把形如ba的式子稱為根分式，例如32（1）下列式子中①aa2+1，②3x+1，③（2）寫出根分式x?1x?2中x的取值范圍（3）已知兩個根分式M=x2?6x+7①若M2﹣N2＝1，求x的值；②若M2+N2是一個整數(shù)，且x為整數(shù)，請直接寫出x的值：．6．（2022秋?市中區(qū)期中）觀察下列一組等式，解答后面的問題：（2+1）（2?1）＝1，（3+2）（3?2）＝1，（4+（1）根據(jù)上面的規(guī)律：①16+②3?2（2）計算：（12+1+（3）若a=12+1，則求a3﹣4a27．（2022秋?隆昌市校級月考）【閱讀材料】閱讀下列材料，然后回答問題：①在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如23+1一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：②學習數(shù)學，最重要的是學習數(shù)學思想，其中一種數(shù)學思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算，比如我們熟悉的下面這個題：已知a+b＝2，ab＝﹣3，求a2+b2.我們可以把a+b和ab看成是一個整體，令x＝a+b，y＝ab，則a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝x2﹣2y＝4+6＝10．這樣，我們不用求出a，b，就可以得到最后的結(jié)果．（1）計算：13（2）m是正整數(shù)，a=m+1?mm+1+m，b=m+1+mm+1?（3）已知15+x2?8．（2022秋?南海區(qū)期中）在數(shù)學課外學習活動中，小明和他的同學遇到一道題：已知a=12+3，求2a2∵a=12+3=2?3(2+∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請你根據(jù)小明的解析過程，解決如下問題：（1）12+1（2）化簡12（3）若a=126?5，求a4﹣10a3+a29．（2022秋?杏花嶺區(qū)校級月考）小明在解決問題：已知a=12+3．求2a2∵a=12+3=2?3∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：（1）化簡12（2）比較6?5（3）A題：若a=2+1，則a2﹣2a+3＝B題：若a=13?1，則4a2﹣43a10．（2022秋?高新區(qū)校級月考）閱讀材料：黑白雙雄，縱橫江湖；雙劍合璧，天下無敵．這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個人合在一起，取長補短，威力無比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”，如：（2+3）（2?3）＝1，（5+2）（5?2）＝3，它們的積不含根號，我們說這兩個二次根式互為有理化因式，其中一個是另一個的有理化因式，于是，二次根式除法可以這樣理解：如：解決問題：（1）4?7的有理化因式可以是，232（2）計算：①11+2+12+3+13+4+?1199911．（2022秋?揭陽期中）閱讀理解題：已知a=1小明同學是這樣解答的：a=1請你參考小明的化簡方法，解決如下問題：（1）計算：12（2）計算：12（3）若a=12?5，求2a212．（2022秋?南召縣月考）閱讀下面的材料，解答后面提出的問題：在二次根式計算中我們常常遇到這樣的情況：(2+3(513=1×像這樣通過分子、分母同乘一個式子把分母中的根號化去的方法，叫做分母有理化．解決問題：（1）4+7的一個有理化因式是（2）已知x=3+23?2（3）利用上面所提供的解法，請化簡11+13．（2022秋?新城區(qū)校級月考）愛動腦筋的小明在做二次根式的化簡時，發(fā)現(xiàn)一些二次根式的被開方數(shù)是二次三項式，而且這些二次三項式正好是完全平方式的結(jié)構(gòu)，于是就可以利用二次根式的性質(zhì)：a2比如：x2+2x+1=(x+1)2=|x+1|，∴當x+1≥0即x≥﹣1時，原式＝x+1；當（1）仿照上面的例子，請你嘗試化簡m2（2）判斷甲、乙兩人在解決問題：“若a＝9，求a+1?2a+甲的答案：原式=a+(1?a)乙的答案：原式=a+(1?a)（3）化簡并求值：|x?1|+4?4x+x214．（2022秋?清水縣校級月考）閱讀下列材料，然后回答問題．①在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如23+1一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：②學習數(shù)學，最重要的是學習數(shù)學思想，其中一種數(shù)學思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算，比如我們熟悉的下面這個題：已知a+b＝2，ab＝?3，求a2+b2．我們可以把a+b和ab看成是一個整體，令x＝a+b，y＝ab，則a2+b2＝（a+b）2?2ab＝x2?2y＝4+6＝10．這樣，我們不用求出a，b，就可以得到最后的結(jié)果．（1）計算：13（2）m是正整數(shù)，a=m+1?mm+1+m，b=m+1+mm+1?（3）已知15+x2?15．（2022春?東莞市期中）閱讀下列材料，再解決問題：閱讀材料：數(shù)學上有一種根號內(nèi)又帶根號的數(shù)，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質(zhì)化去里面的一層根號．例如：3+22=3+2×1×解決問題：（1）在括號內(nèi)填上適當?shù)臄?shù)：14+65=(①)+2×3×5+(②)=(③)2+2×3×5+(④)2=(3+5)2=⑤（2）根據(jù)上述思路，試將28?10316．（2022春?交城縣期中）閱讀下面的材料，并解決問題．121312+…（1）觀察上式并填空：111+（2）觀察上述規(guī)律并猜想：當n是正整數(shù)時1n+1+n=（3）請利用（2）的結(jié)論計算：(117．（2022春?赤坎區(qū)校級期末）閱讀下面的材料，解答后面給出的問題：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如a與a，2+1與2?1．這樣，化簡一個分母含有二次根式的式子時，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：23（1）請你寫出3+11的有理化因式：（2）請仿照上面的方法化簡1?b1?b（b≥0且（3）已知a=13?2，b=18．（2022春?呼和浩特期末）（1）計算：18?（2）已知x=2?3，求代數(shù)式(7+4（3）先化簡，再求值：(3?2x+1)÷19．（2022春?臨汾期末）（1）計算：6+（5+1）（5（2）下面是夏紅同學對題目的計算過程，請認真閱讀并完成相應的任務．題目：已知x=2，求x+1?原式=(x+1)(x?1)?=x=?1把x=2原式=?1=?1＝﹣1…第六步任務一：填空：①在化簡步驟中，第步是進行分式的通分．②第步開始出錯，這一錯誤的原因是．任務二：請直接寫出該題計算后的正確結(jié)果．20．（2022春?章貢區(qū)期末）閱讀并完成下面問題：①11+②13③15試求：（1）下列各數(shù)中，與2?3的積是有理數(shù)的是A．2+B．2C．3D．2?（2）7+6的倒數(shù)為（3）若x=12?1，求x221．（2021秋?赫山區(qū)期末）“分母有理化”是我們常見的一種化簡的方法．如：2+12?1除此之外，我們也可以平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數(shù)．如：化簡2+3解：設x=2+3?2?3由于x2＝（2+3?2?3）2＝2+3解得x=2，即根據(jù)以上方法，化簡：3?2222．（2018秋?天河區(qū)校級期中）小馬在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個含根號的式子的平方，如3+22=（1+2）設a+b2=（m+n2）2，（其中a、b、m、n均為正整數(shù)）則有a+b2=m2+2mn2+2∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣，小馬找到了把部分a+b2的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決問題：（1）當a，b，m，n均為正整數(shù)時，若a+b3=（m+n3）2，用含m，n的式子分別表示a，b得，a＝，b＝（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a，b，m，n填空：+3=（+3）2（3）設x=3+2，試用含有x23．先閱讀下面的材料．再解答下面的問題．∵（a+b）（a?b）＝∴a﹣b＝（a+b）（特別地．（12+11）×（∴112當然也可以利用12﹣11＝1得1＝12﹣11，故1這種變形也是將分母有理化．利用上述的思路方法解答下列問題：（1）計算：13?（2）計算：54?24．（2020春?安慶期中）閱讀材料：我們在學習二次根式時，熟悉了分母有理化及其應用．其實，有一個類似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式．比如：7?分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：比較7?6和6?5的大小可以先將它們分子有理化如下：因為7+6＞再例如，求y=x+2解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2當x＝2時，分母x+2+x?2有最小值2．所以利用上面的方法，完成下述兩題：（1）比較15?14和（2）求y=x+125．（2020秋?吳江區(qū)期中）像2?2=2；(（1）12（2）2+1勤奮好學的小明發(fā)現(xiàn)：可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數(shù)．（3）化簡：3+5解：設x=3+5?3?5由：x2＝3+5+3?5?2即3+5請你解決下列問題：（1）23?35的有理化因式是（2）化簡：33（3）化簡：6?3326．（2019秋?郫都區(qū)期末）閱讀材料：小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+22=（1+2）設a+2b＝（m+2n）2（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有a+2b＝m2+2n2+2∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把部分a+2b請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當a、b、m、n均為正整數(shù)時，若a+6b＝（m+6n）2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝，b＝（2）若a+43=（m+3n）2，且a、m、n均為正整數(shù)，求（3）化簡：7?21+27．（2021春?長興縣月考）閱讀下列材料，解答后面的問題：在二次根式的學習中，我們不僅要關注二次根式本身的性質(zhì)、運算，還要用到與分式、不等式相結(jié)合的一些運算．如：①要使二次根式a?2有意義，則需a﹣2≥0，解得：a≥2；②化簡：1+1n2+1所以1+1n2+1（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，要使a+23?a=a+2（2）利用①中的提示，請解答：如果b=a?2+2?a+1，求（3）利用②中的結(jié)論，計算：1+128．（2020秋?梁平區(qū)期末）閱讀下述材料：我們在學習二次根式時，熟悉了分母有理化及其應用．其實，有一個類似的方法叫做“分子有理化”：與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式．比如：7?分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：比較7?6和6?5的大?。梢韵葘⑺鼈兎肿佑欣砘缦拢阂驗?+6＞再例如：求y=x+2解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2當x＝2時，分母x+2+x?2有