2017高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義練習(xí)題答案-第七章解答

練習(xí)題精選答案與解析【解 如果(|an||bn||an||an||bn |bn||an||bn| an和bn都收斂 【解】只有命題（4）正確，故應(yīng)選 由anbn 知,0bnancnan,又an與cn都收斂,則(bnan n 收斂,又bnbnanan而an收斂,則bn n【解】應(yīng)選|an

1n1

f(x)dx

n(n

|f(c Mn(n1)MM

M則anln(enp)

ln(en

lnen(1

1nln(1p

1~nln(enln(enp)則級數(shù)

發(fā)散.級數(shù)ln(enp是一個交錯級數(shù)，且unln(enp 0,則級數(shù)ln(enp【解】應(yīng)選（D）.由limanbn1liman0和limbn0 則級數(shù)an和bn 【解】應(yīng)選（C）.如an )(aa)(aa)(11)(11)

1111 【解】應(yīng)選（C）.由于(1)n(ntanλ

λ(n n

，

λ(ntann

λ 則級數(shù)(ntann)a2n與a2n同斂散，而由于正項級數(shù)an收斂，則級數(shù)a2n

n λ

斂，故級數(shù)(1)ntanna2nn 【解】應(yīng)選（D），由級數(shù)un收斂可知級數(shù)un1（比原級數(shù)少第一項）n 級數(shù)un和級數(shù)un1逐項相加所得級數(shù)(unun1n an 【解】應(yīng)選（D），由上題可知級數(shù)(anan1)收斂，該級數(shù) na則級數(shù) n

M而當(dāng)

nlimb0,則當(dāng)nb1a2b2M2b，則級數(shù)a2b2收斂n n

n【解】應(yīng)選（D）(a2n1a2na1a2a3a4(1)n1

a4顯然級數(shù)n

2n

a2n就是由收斂級數(shù)(1n1an加括號得來的，則級數(shù)n(a2n1a2nn 12解】應(yīng)選（A），顯然級數(shù)(u2n1u2nu1u2u3u4是由收斂級數(shù) 加括號得來的，則級數(shù)(u2n1u2n)收斂n Dn

nsinann

nsinna sinα α則級數(shù)

nsina與級數(shù)nn

nann

α

同斂散，則α 2α .由α .由級數(shù) 條件收斂可知，02α1,即1α2, α D， n

即lim 存在,而級數(shù)np收斂，則級數(shù)an收斂n

n 區(qū)間(3,1)內(nèi)絕對收斂，從而冪級數(shù)ax1)nx0處絕對收斂，即級數(shù)a

n

n(x (xn【解 （A，n

1.由nn

x2(x收斂知，a3或a1,但a3與

n2(xa)n

(x

0，則n(x

x

【解】應(yīng)選（C）.由數(shù)列{an}單調(diào)減少，liman0,Sna(n nkk k 正項級數(shù)a發(fā)散而交錯級數(shù)(1)na收斂，即冪級數(shù)a(x1)nx n

nx0處收斂，則冪級數(shù)an(x1)n的收斂域為nnp2由limnp(e11)a1limnp1a1,即limann n級數(shù)an與p1同斂散，若anp11,即pn 【解】應(yīng)填(2,4由于冪級數(shù)nax1)n1可看做冪級數(shù)axn nn

n

(x1)n1的中心為1,則其收斂區(qū)間為n

(x2)nx0處收斂，則冪級數(shù)an(x3)nxn處收斂，若冪級數(shù)n

(x2)nx4發(fā)散，則冪級數(shù)an(x3)nx1n由阿貝爾定理知，冪級數(shù)an(x3)n的收斂域為n【解】應(yīng)填(2,0).由a

lnnliman1知，lima0,又正項數(shù)列{an

n0 則級數(shù)(1)nan條件收斂，即冪級數(shù)(1)nanxnx1 (1)n 故冪級數(shù) n(x1)的收斂半徑也為1，則其收斂區(qū)間為 a

(x1)nxnn

nx0為冪級數(shù)(1)nan(x1)n(1)n

1.而冪級數(shù) n(x1)與冪級數(shù)(1)an(x1)的收斂半徑相同，則冪級(1)n

n

nx1)的收斂區(qū)間為 【解】應(yīng)填[ 2].由冪級 axn在x2時條件收斂可知，該冪級數(shù)收斂半nn2,n

2收斂.則當(dāng)x2時冪級數(shù)ax收斂，從而可知冪級數(shù) x2n

22nx22時收斂，即當(dāng) x 時冪級數(shù)22n

x2n收斂，由an2n n數(shù)ax2n在x2處收斂，則冪級數(shù)anx2n的收斂域為[ 2n 【解】應(yīng)填[3,3).因

2n1 [(3)n(2)n 3 lim

n

2n1

(n3 則

(1)n x3(3)n

2n

(3)n

2n

nx3(1)n x3時，由于(3)n2n

3n(2)n

n3n(2)nnna(nnna(nn

1a1時原級數(shù)收斂,當(dāng)a1

n散,當(dāng)a1時,原級數(shù)為α,則當(dāng)α1時原級數(shù)發(fā)散,當(dāng)α1n4141x4

nnn0

n1nn3n3[2

2,nnn3[n3[2(1)n(n1)

,

211,則原級n3[n3[2n(4）由于(1)nn1n

(1)n

【解】由yxy,y(0)1可知，y(0) y(0) y1111o(1y11

1

1 n1 【解】f(x) (x1)(x

15

x

1x (1x251x

251x5(1)n(

1)(x4)n (1x 【解】

1

ln[1(x1)2

22x(1)n(x (2xn (xf(x) x (x16 2

(x2

2

1)(

(nx4n1)1)(

(xf(x)4

n

xx4n1(0( x4nnf(x)424n2(2n

2n【解】易求得收斂域為[1,1].令Sx)x24n21

(1)n1x2nS(x)1

2n

1n1 2n

12xarctanS(x) x(12xarctanx)dx(1x2)arctan0

【解】易求得R,收斂域為(,).設(shè)y(x)(4n)!，則 (x)y(x),y(0)1,y(0)y(0)y(00y(4)(xy(x的特征方程為r41特征根為 i.則該方程的通解為yCexCexCcosxCsinx,利 y(01,y(0)y(0)y(00y1(exex2cos4x2n3n(2nn(n1)(2x2n3n(2nn(n1)(2nn x11x1x1時，級數(shù)為n(2n1)，(1)n1

(1)n1

(1)n1x2nnnn

n(2n1)

n(2n1)，設(shè)

n(2n f(x)

(1)n12nx2n1

(1)n1x2n1 n(2n n 2nf(x)

(1)n1x2n2 1f(0)0,f(0)0f(x)xf(t)dtf(0)0

x2dt2arctanx 01 f(x) xf(t)dtf(0)2x 2trtat2trtat01 dtt 2xarctanxln(1x2), 從而s(x)2x2arctanxxln(1x2), x[1,1]. 【解 令S(x)(2n1)(2n1) ，S(x)

(1)n1 (1)n12n1

xarctann12n1 01S(1)1xarctanxdxπ π (2n1)(2n1) 【解 因 1

n

arctanx (arctanx)dx

,x n02n 2n n n(1)n1于是f(x)12n1 2n1 12n1 2n11

n(1)x2n,x(1)

nn11 n因 14n22[f(1)1]42nA為用于第n年提取(109nA1r)n(109nA

A

10

. 200.n

n1(1 n1(1 n1(1 n1(1S(xnxnx1,1).xS(x)x

xn

1x

(1

(1,1) 所以 1S1420（萬元1 1 （1）yaxnynaxn1,yn(n1)axn nn

n y2xy4y0并整理，得(n1)(n2)axn2naxn4axn 于是2a24a0

n

n

n(n1)(n2)an22(n2)an0,n從而an

n

an,n（2）y(0)a00,y(0)a11a2n0,n a2n12na2n12n(2n2)42a1 n 22從而yaxn x2n1 x(x xex x2n

n02n n 【解】(1)由題設(shè)得

3,

所以冪級數(shù)

axnn n

(2n

因為S(x)

xn

S(x)nanxn1 nS(x)an(n1)xn2,由于 n

n(n

0n2nn S(x)axn2axnS n

即S(xS(x)(2)齊次方程S(xS(x)0的特征根為1和1,S(x)CexC 由S(0)

3,S(0)

11知，C11,C22.所以S(x) 2e(1【解 由于

n

1x1 S(x)anxn，則S(x)

naxn1a

n

n

n

(n

n n n11[axna]n

na 1S(x)1111

S(x)S(

,S(0)1得S(x) n 故冪級數(shù)n

a

11 【解】S(xaxnSxnaxn1axn111 nn

n

n nS(x)

(n1)xn1S(x) (1xSxS(x(1x)2，且S(0)a02解方程S(x)Cex 1

，由S(0)2得C1,S(x)ex 11【證 由

fx)2知f(0)0,f(0)2x內(nèi)f(x0，f(x單調(diào)增，fn

f(0)0知，f

)0n由limfx)2知limf10,則交錯級數(shù)(1)nf1x

f(n 而|(1)f()|f( lim 2.故(1)f()條件收斂 n【證】a f(nx)dx,令nxt,則an1

nf(t)dt a21(

f(t)dt)2

n

nf

n2 n2(01 1f2(t)dtn0 令

f2x)dxA，則

， n(α0)收斂n1【證】由an1bn1可知，bnbn1，則b1bn1bn， b

a1a由a)anbn可知，若bn收斂,則an

a由 )anbn可知，若an發(fā)散,則bn發(fā)散a 【證】由題設(shè)知un單調(diào)增，則unun1un22un2則u2n

22u

2n1u25u2n12u2n322u2n52n1u13 故級數(shù)

32n1

5 n1n【解】