空間幾何體的表面積與體積

空間幾何體的表面積與體積一、基礎(chǔ)知識(shí)1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱

圓錐

圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式 S圓柱側(cè)＝2πrl S圓錐側(cè)＝πrl S圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋r′)l①幾何體的側(cè)面積是 指（各個(gè)）側(cè)面面積之和，而表面積是側(cè)面積與所有底面面積之和②圓臺(tái)、圓柱、圓錐的轉(zhuǎn)化當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑與下底面半徑相等時(shí)， 得到圓柱；當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑為零時(shí)，錐，由此可得：

.得到圓2．空間幾何體的表面積與體積公式名稱表面積體積幾何體柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝1Sh3臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下1S上S下)hV＝(S上＋S下＋3球S＝4πR2V＝4πR33二、常用結(jié)論幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長為 a，球的半徑為 R，①若球?yàn)檎襟w的外接球，則 2R＝ 3a；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則 2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則 2R＝ 2a.(2)若長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為 a，b，c，外接球的半徑為 R，則 2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為 3∶1.考點(diǎn)一

空間幾何體的表面積[典例]

(1)(2018

全·國卷Ⅰ

)已知圓柱的上、下底面的中心分別為

O1，O2，過直線

O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為

8的正方形，則該圓柱的表面積為

(

)A．12 2π

B．12πC．8 2π

D．10π(2)(2019

沈·陽質(zhì)檢

)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的側(cè)面積是

(

)A．4＋42B．42＋28C．8＋42D.3[解析](1)設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x，則x2＝8，得x＝22，S圓柱表＝2S底＋S側(cè)＝2×π×(2)2＋2π×2×2212π故.選B.(2)由三視圖可知該幾何體是一個(gè)四棱錐，記為四棱錐P-ABCD，如圖所示，其中PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且PA＝2，AB＝2，PB＝22，所以該四棱錐的側(cè)面積S是四個(gè)直角三角形的面積和，1×2×2＋1×2×22＝4＋42，故選A.即S＝2×22[答案](1)B(2)A[題組訓(xùn)練]1．(2019武·漢部分學(xué)校調(diào)研)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為()A．28

B．24＋2 5C．20＋4 5

D．20＋2 5解析：選B

如圖，三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體是長、寬、高分別為2,2,3

的長方體去掉一個(gè)三棱柱后的棱柱

ABIE-DCMH

，則該幾何體的1表面積 S＝(2×2)×5＋2×1×2×2＋2×1＋2× 5＝24＋2 5.故選B.2．(2018鄭·州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè) )某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是( )A．20＋2πB．24＋(2－1)πC．24＋(2－2)πD．20＋(2＋1)π解析：選B由三視圖知，該幾何體是由一個(gè)棱長為2的正方體挖去一個(gè)底面半徑為1、高為1的圓錐后所剩余的部分，所以該幾何體的表面積S＝6×22－π×12＋π×1×2＝24＋(2－1)π，故選B.考點(diǎn)二 空間幾何體的體積[典例] (1)(2019開·封高三定位考試 )某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為 ( )A．4πB．2π4πC.3D．π(2)(2018天·津高考)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1-BB1D1D的體積為________．[解析](1)直接法由題意知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體為圓柱的一部分，設(shè)底面扇形的圓心角為α，由tanα＝3π1π22π＝3，得α＝，故底面面積為××2＝，則該132332π幾何體的體積為 3×3＝2π.(2)法一：直接法連接A1C1交B1D1于點(diǎn)E，則A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，則A1E⊥平面BB1D1D，所以A1E為四棱錐A1-BB1D1D的高，且A1E＝2，2矩形BB1D1D的長和寬分別為2，1，故VA-BBDD＝1×(1×2)×2＝1.111323法二：割補(bǔ)法連接BD1，則四棱錐A1-BB1D1D分成兩個(gè)三棱錐B-A1DD1與B-A1B1D1，所以VA-BBDD＝VB-ADD1＋VB-ABD＝1×1×1×1×1＋1×1×1×1×1＝1.1111111323231[答案](1)B(2)3[題組訓(xùn)練]1.等體積法如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1-ABC1的體積為()33A.12B.466C.12D.4解析：選A三棱錐B1-ABC1的體積等于三棱錐A-B1BC1的體積，三棱錐A-B1BC1的高為3，底面積為1，故其體積為1×1×3＝32232212.2.割補(bǔ)法某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積是()A．13C．15

B．14D．16解析：選C 所求幾何體可看作是將長方體截去兩個(gè)三棱柱得到的幾何體，在長方體中還原該幾何體， 如圖中ABCD-A′B′C′D′所示，長方體的長、寬、高分別為 4,2,3，兩個(gè)三棱柱的高為 2，底面是兩直角邊長分別為 3和1.5的直角三角形，故該幾何體的體積 V4×2×3－2×1×3×3×2＝15，故選C.2直接法一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.1＋2πB.1＋2π333312D．1＋2C.＋6π6π3解析：選C由三視圖知，四棱錐是底面邊長為1，高為1的正四棱錐，結(jié)合三視圖可得半球半徑為2，從而該幾何體的體積為4π23＝1＋2π.1×12×1＋1××2323236考點(diǎn)三與球有關(guān)的切、接問題考法(一)球與柱體的切、接問題[典例](2017江·蘇高考)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則V1的值是V2________．[解析]設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)榍騉與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，所以圓柱的底面半徑為R、高為2R，所以V1πR2·2R3＝4＝.V2323πR[答案]

32考法(二)球與錐體的切、接問題[典例](2018全·國卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為93，則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A．123B．183C．243D．543[解析]由等邊△ABC的面積為93，可得32＝93，所以AB＝6，所以等邊△ABC4AB3的外接圓的半徑為r＝3AB＝23.設(shè)球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d，則d＝R2－r2＝16－12＝2.所以三棱錐D-ABC高的最大值為2＋4＝6，所以三棱1錐D-ABC體積的最大值為3×93×6＝183.[答案]B[題組訓(xùn)練]1．(2018

·建第一學(xué)期高三期末考試福

)已知圓柱的高為

2，底面半徑為

3，若該圓柱的兩個(gè)底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積等于

(

)A．4π

16B.3π32C.3π

D．16π解析：選D如圖，由題意知圓柱的中心O為這個(gè)球的球心，于是，球的半徑r＝OB＝OA2＋AB2＝12＋32＝2.故這個(gè)球的表面積S＝4πr2＝16π故.選D.2．三棱錐P-ABC中，AB＝BC＝15，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，則該三棱錐的外接球表面積為________．解析：由題可知，△ABC中AC邊上的高為15－32＝6，球心O在底面ABC的投影即為△ABC的外心D，設(shè)DA＝DB＝DC＝x，所以x2＝32＋(6－x)2，解得x＝56，所以422PC275＋1＝83(其中R為三棱錐外接球的半徑)，所以外接球的表面積2R＝x＋2＝88S＝4πR832π.答案：83π2[課時(shí)跟蹤檢測(cè) ]1．(2019深·圳摸底)過半徑為2的球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的體積的比值為()9B.9A.321633C.8D.16解析：選A由題意知所得截面為圓，設(shè)該圓的半徑為r，則22＝12＋r2，所以r2＝3，所以所得截面的面積與球的體積的比值為π×3＝9，故選A.43323π×22．如圖是某一幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體積為()A．4B．8C．16D．20解析：選B由三視圖知，此幾何體是一個(gè)三棱錐，底面為一邊長為6，高為2的三角形，三棱錐的高為 4，所以體積為 V＝13×12×6×2×4＝8.故選B.3.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛解析：選B設(shè)米堆的底面半徑為π16，所以米堆的體積為V＝r尺，則r＝8，所以r＝2π112π1623203204×3π×r×5＝12×π×5≈9(立方尺)．故堆放的米約有9÷1.62≈22(斛)．4．(2018貴·陽摸底考試)某實(shí)心幾何體是用棱長為1cm的正方體無縫粘合而成的，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．35cm3B．40cm3C．70cm3D．75cm3解析：選A結(jié)合題中三視圖可得，該幾何體是個(gè)組合體，該組合體從下到上依次為長、寬、高分別為5cm,5cm,1cm的長方體，長、寬、高分別為3cm,3cm,1cm的長方體，棱長為1cm的正方體，故該組合體的體積V＝5×5×1＋3×3×1＋1×1×1＝35(cm3)．故選A.5．(2019安·徽知名示范高中聯(lián)考 )某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )1A．1B.211C.3D.4解析：選C法一：該幾何體的直觀圖為四棱錐S-ABCD，如圖，SD⊥平面ABCD，且SD＝1，四邊形ABCD是平行四邊形，且AB＝DC＝1，連接BD，由題意1知BD⊥DC，BD⊥AB，且BD＝1，所以S四邊形ABCD＝1，所以VS-ABCD＝3S1四邊形ABCD·SD＝3，故選 C.法二：由三視圖易知該幾何體為錐體，所以1V＝Sh，其中S指的是錐體的底面積，即3俯視圖中四邊形的面積，易知S＝1，h指的是錐體的高，從正視圖和側(cè)視圖易知h＝1，所11，故選C.以V＝Sh＝336．(2019·慶調(diào)研重)某簡(jiǎn)單組合體的三視圖如圖所示，則該組合體的體積為 ( )83π8343π83A.＋3B.＋33343π4383π43C.3＋3D.3＋3解析：選B由三視圖知，該組合體是由一個(gè)半圓錐與一個(gè)三棱錐組合而成的，其中圓錐的底面半徑為2、高為42－22＝23，三棱錐的底面是斜邊為4、高為2的等腰直角三角11211形，三棱錐的高為23，所以該組合體的體積V＝2×3π×2×23＋3×2×4×2×23＝43π83，故選B.＋337．(2019湖·北八校聯(lián)考 )已知一幾何體的三視圖如圖所示，它的側(cè)視圖與正視圖相同，則該幾何體的表面積為 ( )A．16＋12πB．32＋12πC．24＋12πD．32＋20π解析：選A由三視圖知，該幾何體是一個(gè)正四棱柱與半球的組合體，且正四棱柱的高為2，底面對(duì)角線長為4，球的半徑為2，所以該正四棱柱的底面正方形的邊長為22，該幾何體的表面積S＝1×4π×22＋π×22＋22×2×4＝12π＋16，故選A.28．(2019福·州質(zhì)檢)已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面積為33，一個(gè)側(cè)面的周長為63，4則正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面積為()A．4πB．8πC．16πD．32π解析：選C如圖所示，設(shè)底面邊長為a，則底面面積為3233，4a＝4所以a＝3.又一個(gè)側(cè)面的周長為63，所以AA1＝23.設(shè)E，D分別為上、下底面的中心，連接DE，設(shè)DE的中點(diǎn)為O，則點(diǎn)O即為正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心，連接OA1，A1E，則OE＝3，A1E＝3× 3×2＝1.在直角三角形2 3

OEA1中，OA1＝

12＋

32＝2，即外接球的半徑

R＝2，所以外接球的表面積

S＝4πR2＝16π，故選

C.9．(2017天·津高考)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為________．解析：由正方體的表面積為 18，得正方體的棱長為 3.設(shè)該正方體外接球的半徑為 R，則2R＝3，R＝32，所以這個(gè)球的體積為43＝4π27＝9π3πR3×2.8答案：9π210．某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為 ________．解析：由題意知該四棱柱為直四棱柱，其高為1，底面為上底長為1，下底長為2，高為1的等腰梯形，所以該四棱柱的體積為V＝1＋2×132×1＝.23答案：211．一個(gè)圓錐的表面積為π，它的側(cè)面展開圖是圓心角為2π的扇形，則該圓錐的高為3________．解析：設(shè)圓錐底面半徑是r，母線長為l，所以πr2＋πrl＝π，即r2＋rl＝1，根據(jù)圓心角公式2π2πr13223＝，即l＝3r，所以解得r＝，l＝，那么高h(yuǎn)＝l－r＝2.l22答案：212．(2017全·國卷Ⅰ)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________．解析：如圖，連接 AO，OB，SC為球O的直徑，∴點(diǎn)O為SC的中點(diǎn)，SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，BO⊥SC，∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，AO⊥平面SCB，設(shè)球O的半徑為R，則OA＝OB＝R，SC＝2R.VS-ABC＝VA-SBC＝1×S△SBC×AO31×1×SC×OB×AO，32即9＝1×1×2R×R×R，解得R＝3，322 2∴球O的表面積 S＝4πR＝4π×3＝36π.13.如圖是一個(gè)以 A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：(1)該幾何體的體積；(2)截面ABC的面積．解：(1)過C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分別于點(diǎn)A2，B2.由直三棱柱性質(zhì)及∠ A1B1C1＝90°可知 B2C⊥平面 ABB2