兩角和與差的正弦余弦和正切公式教案(word)

《兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（第三課時）》教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標(biāo)1．經(jīng)歷從和角公式推導(dǎo)二倍角公式的過程，體會公式的意義，發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)．2．掌握公式，及其變形形式，，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．教學(xué)重難點教學(xué)重點：經(jīng)歷從和角公式推導(dǎo)二倍角公式的過程，體會公式的意義．教學(xué)難點：把握角度關(guān)系；二倍角余弦公式的應(yīng)用．課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過程（一）整體感知引導(dǎo)語：以公式C(α-β)為基礎(chǔ)，我們已經(jīng)得到六個和(差)角公式，下面將以和(差)角公式為基礎(chǔ)來推導(dǎo)倍角公式．（二）新知探究問題1：你能利用推導(dǎo)出的公式嗎？你能用不同的方法推出這些公式嗎？預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生獨立進行推導(dǎo)，教師巡視并收集學(xué)生的不同證法，或請學(xué)生將不同的證法列舉在黑板上．預(yù)設(shè)答案：這里不同的證法主要體現(xiàn)在兩個方面：一是推導(dǎo)的依據(jù)具有多樣性，例如可以將中替換為推得，也可以由中的替換為，而推導(dǎo)公式時，可以從出發(fā)，也可以由合作推出；二是推導(dǎo)的順序具有多樣性，學(xué)生可以自行設(shè)計三個二倍角公式的證明順序，由于推導(dǎo)其中最后一個公式時可以借助已推出的兩個公式，因此不同的順序可能會導(dǎo)致最后一步有所差異．．三個公式分別簡記為，，．設(shè)計意圖：給學(xué)生一定的自由度，由學(xué)生自己制定計劃，并完成二倍角公式的證明．追問：如果要求二倍角的余弦公式()中僅含的正弦或僅含余弦，那么你能得到怎樣的結(jié)論？預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生獨立進行推導(dǎo)．預(yù)設(shè)答案：，．設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)公式的兩種變形形式，為下一課時半角公式做好鋪墊．說明：以上五個公式都叫做二倍角公式，或倍角公式．倍角公式給出了任意角的三角函數(shù)與的三角函數(shù)之間的關(guān)系．這里的“倍角”專指“二倍角”，遇到“三倍角”等名詞時，“三”字等不可省去．問題2：從和角公式、差角公式、倍角公式的推導(dǎo)過程可以發(fā)現(xiàn)，這些公式之間存在緊密的邏輯聯(lián)系，你能設(shè)計一張結(jié)構(gòu)圖描述它們之間的推出關(guān)系嗎？預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生進行歸納整理，作出結(jié)構(gòu)圖，然后小組交流，最后教師挑選一到兩組學(xué)生面向全班交流展示．預(yù)設(shè)的答案：以上關(guān)系僅供參考，其中公式的分布及箭頭流向的方式并不唯一，也不必完全畫出，但所有公式中，起點一定是，其它的每一個公式都至少有一個指向它的箭頭．設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促使學(xué)生對3個課時推導(dǎo)出的所有公式進行簡單回顧梳理，并感悟公式作為所有公式推導(dǎo)的起源具有特殊意義．例1（1）已知sin2α=513，π4＜α＜π2，求sin4α，cos4α（2）已知銳角滿足，求的值．（3）在△ABC中，cosA=45，tanB=2，求tan(2A+2B追問1：在（1）中，已知條件給出了的正弦值．我們應(yīng)該把看作一個整體還是將它看作的二倍？待求的是的三角函數(shù)值，二者之間有什么關(guān)系？預(yù)設(shè)答案：把看作一個整體．待求角是已知角的二倍．設(shè)計意圖：向?qū)W生滲透分析問題的常規(guī)方法，即分析化簡已知條件，明確待求目標(biāo)，尋找辦法拉近二者之間的距離．順帶指出，“倍”是描述兩個數(shù)量之間關(guān)系的，2α是α的二倍，4α是2α的二倍，α2是α追問2：在（2）中，注意題目中的已知角與待求角，你能制定多少種不同的方案解出此問題？哪一種方法最便捷？預(yù)設(shè)答案：方案一，直接把展開，結(jié)合同角三角關(guān)系解出的正弦余弦值，再用倍角公式與差角公式計算；方案二，視為一個整體，借助同角關(guān)系解出，再由關(guān)系算出的正弦、余弦值，下同方案一；方案三，注意到，視為一個整體，借助同角關(guān)系解出，再用二倍角公式直接求解．設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生分析題目的一般方法，先確認(rèn)條件及目標(biāo)，再制定解題方案，最后經(jīng)過可行性分析，選擇最優(yōu)方案實施．同時再次突顯出分析角差異及換元思想在三角恒等變形中的重要性．追問3：在（3）中，2A+2B與A，B之間能構(gòu)成怎樣的關(guān)系？你能想到幾種不同的求解順序？預(yù)設(shè)答案：可以看作的二倍角的和，也可以看作的和的二倍角．有兩種求解順序，即先計算二倍角再計算和角，或先計算和角，再計算二倍角．設(shè)計意圖：（3）題具有一定的綜合性，也是和角公式與倍角公式的綜合應(yīng)用問題．由于對2A+2B與A，B的之間關(guān)系的看法不同會產(chǎn)生不同的解題思路．不過，它們都是對倍角、和角關(guān)系的聯(lián)合運用，本質(zhì)上沒有區(qū)別．此外，在三角形的背景下研究問題，常常伴隨著一些隱含條件，如0＜A＜π，A+B+C=π等．憑借本題目，教師可抓住機會醒學(xué)生對此類信息多加關(guān)注．預(yù)設(shè)答案：解：（1）由π4＜α＜π2，得π2又sin2α=513，所以cos2α=-1-5于是sin4α=sin［2×(2α)］=2sin2αcos2α=2×513×-1213cos4α=cos［2×(2α)］=1－2sin22α=1－2×5132=tan4α=sin4αcos4α=-120169×（2）由，可知，故，于是．（3）解法1：在△ABC中，由cosA=45，0＜A＜π，得sinA=1-cos2A=所以tanA=sinAcosA=35×54=34，tan2A=又tanB=2，所以tan2B=2tanB1-tan2B于是tan(2A+2B)=tan2A+tan2B1-tan2A解法2：在△ABC中，由cosA=45，0＜A＜π，得sinA=1-cos2A=所以tanA=sinAcosA=35×又tanB=2，所以tan(A+B)=tanA+tanB1-tanA所以tan(2A+2B)=tan［2(A+B)］=2tan(A+B)1-例2證明：（1）1＋sin2θ-cos2θ（2）3＋cos4α－4cos2α＝8sin4α；（3）tanαtan2αtan2α-tanα＋3追問：以上各個等式的左右兩側(cè)差異很明顯，而且都是左側(cè)相對復(fù)雜，右側(cè)相對簡單．因此我們需要借助三角恒等變換的公式對每個等式的左側(cè)進行化簡變形，最終變?yōu)榈忍栍覀?cè)的形式．你能發(fā)現(xiàn)每個等式等號兩側(cè)最明顯的差異是什么嗎？你打算如何利用你發(fā)現(xiàn)的差異指導(dǎo)我們后續(xù)恒等變換？預(yù)設(shè)答案：（1）的兩側(cè)有以下差異：第一，角不同，左邊是二倍角，右邊是單倍角，第二，結(jié)構(gòu)不同，左邊是比的形式，右側(cè)不是，因此打算借助二倍角公式把左邊的化為，由于右側(cè)的比值只有一項，因此需要想辦法把左邊的分子與分母的項數(shù)盡可能變少；（2）的兩側(cè)最明顯的差異是，角不同，左側(cè)包括，而右側(cè)僅含有，因此打算利用二倍角公式將左側(cè)的變?yōu)椋賹⒆優(yōu)?；?）兩側(cè)差異有三處：第一，角不同，左側(cè)第二項所含角為，其它項包括等號右側(cè)均為，第二，函數(shù)名稱不同，左側(cè)第一項為正切，其它各項均為正弦、余弦，第三，結(jié)構(gòu)不同，左側(cè)為兩項之和，右側(cè)僅有一項，因此打算逆用二倍角公式將第二項變?yōu)楹械男问?，將第一項的正切利用同角三角關(guān)系轉(zhuǎn)化為正弦、余弦，最后逆用和角公式或差角公式將兩項合并成一項，從等號右側(cè)形式推斷，最可能的情形就是提取之后，剩下的部分組成與兩角差的正弦形式．設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生分析三角恒等證明問題的證明思路，一般需從對比等式兩側(cè)的差異入手，在發(fā)現(xiàn)它們的差異不同之后，再選擇相關(guān)公式，將復(fù)雜的一側(cè)向簡單的一側(cè)化簡變形，最終證明等式成立，若兩側(cè)均比較復(fù)雜，則考慮兩側(cè)同時化簡．證明：（1）左側(cè)右側(cè)；（2）左側(cè)右側(cè)（3）左側(cè)=右側(cè)問題3：在例6（1）中，我們對等號左側(cè)化簡變形時，分子和分母中均含有，但是卻采用了不同的形式進行了變形，分子中利用了公式，而分母中則利用了．你能結(jié)合這個題目談一談二倍角的余弦公式的三種不同形式的特點與適用場合嗎？預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生回顧反思，教師對學(xué)生們的回答進行梳理總結(jié)．預(yù)設(shè)答案：特征是齊次，在需要分解因式的場合有可能采用此形式；的特征是含有不含，還包括，在我們需要僅含的場合或需要抵消的時候可以采用此形式；類似地，的特征是含有但不包含，且含有，在我們需要僅含的場合或需要抵消時，可采用此形式．設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生歸納反思，為使用二倍角余弦公式的不同形式時作出最佳選擇打好基礎(chǔ)．問題4：結(jié)合例5與例6的求解過程，請你思考，利用三角恒等變形公式解決求值、化簡及證明問題時，已知條件與待求式子之間，或待證等式的左右兩邊，通常會有各種各樣的差異，我們應(yīng)該重點關(guān)注其中哪些方面的差異？師生活動：學(xué)生獨立思考之后小組交流，教師進行梳理總結(jié)．預(yù)設(shè)答案：角的差異，三角函數(shù)名稱的差異，結(jié)構(gòu)差異等．設(shè)計意圖：向?qū)W生滲透三角恒等變換的特點，引導(dǎo)學(xué)生從角度差異、三角函數(shù)名稱差異及結(jié)構(gòu)差異等方面著手分析問題，把握變形方向，為學(xué)生接下來要大量面對的三角恒等變換問題提供分析策略和指導(dǎo)方向．（三）歸納小結(jié)問題5：回顧本節(jié)課的內(nèi)容，你能正確寫出二倍角公式嗎？你在認(rèn)識和使用這些公式時有哪些心得體會？預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生進行歸納、思考并回答．預(yù)設(shè)答案：公式中的二倍角和單倍角分別用與表示，但是使用公式時，它們也可以是與，與等，形式非常靈活；余弦二倍角公式有三種形式：，在使用它們的時候，需要結(jié)合題目特征進行選擇，例如，有時候因為只想出現(xiàn)而選擇最后一種形式，有時候為了和正負(fù)抵消而選擇第二種形式等等；我們在解決三角恒等變換問題的時候，往往要從角度差異、函數(shù)名稱差異、代數(shù)式結(jié)構(gòu)差異等方面對已知條件和待求結(jié)論尋找差異，然后再根據(jù)這些差異選擇適當(dāng)?shù)墓竭M行變形求解．設(shè)計意圖：回顧反思，使學(xué)生在頭腦中形成思維網(wǎng)絡(luò)．（四）作業(yè)布置教科書習(xí)題第7，8題．（五）目標(biāo)檢測設(shè)計1．已知cosα8=-45，8π＜α＜12π，求sinα4，cos2．求下列各式的值：（1）sin15°cos15°；（2）cos2π8－sin2π（3）tan22.5°1-tan222.5°；3．證明：（1）cos4α＋4cos