函數(shù)的基本性質(zhì)教案word

《函數(shù)的基本性質(zhì)（第一課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)1．能在用自然語(yǔ)言、圖象語(yǔ)言描述函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)的單調(diào)性，提升直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．對(duì)簡(jiǎn)單函數(shù)，能根據(jù)解析式求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；能根據(jù)單調(diào)性的定義證明簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性；提升數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)．能將函數(shù)單調(diào)性的證明轉(zhuǎn)化為程序化的運(yùn)算問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．3．體會(huì)函數(shù)圖象是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具，能從函數(shù)的圖象中發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)，并在這個(gè)過(guò)程中能進(jìn)行直觀與抽象的轉(zhuǎn)化．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明．教學(xué)難點(diǎn)：“函數(shù)值隨自變量的增大而增大（減?。鞭D(zhuǎn)化為符號(hào)化的不等式語(yǔ)言．課前準(zhǔn)備用軟件制作動(dòng)畫(huà)；PPT課件．教學(xué)過(guò)程整體概覽問(wèn)題1：閱讀課本第76頁(yè)節(jié)引言的內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：（1）為什么要研究函數(shù)的性質(zhì)？（2）什么叫函數(shù)的性質(zhì)？（3）函數(shù)的性質(zhì)主要有哪些？（4）如何發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)？師生活動(dòng)：學(xué)生帶著問(wèn)題閱讀課本，老師指導(dǎo)學(xué)生概括節(jié)引言的內(nèi)容．預(yù)設(shè)的答案：（1）通過(guò)研究函數(shù)的變化規(guī)律來(lái)把握客觀世界中事物的變化規(guī)律；（2）變化中的不變性就是性質(zhì)，變化中的規(guī)律性也是性質(zhì)；（3）比如隨著自變量的增大函數(shù)值是增大還是減小，有沒(méi)有最大值或最小值，函數(shù)圖象的對(duì)稱性等；（4）先畫(huà)出函數(shù)圖象，通過(guò)觀察和分析圖象的特征，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)的一些性質(zhì)．設(shè)計(jì)意圖：明確研究對(duì)象，初步構(gòu)建研究框架．二、問(wèn)題導(dǎo)入問(wèn)題2：觀察圖1、圖2、圖3中的函數(shù)圖象，你能說(shuō)說(shuō)圖1與圖2（或圖3）的區(qū)別嗎？圖圖1圖2圖3師生活動(dòng)：學(xué)生讀圖并比較，指出圖1的圖象是一直上升，而圖2，3有升有降．老師指出：在敘述函數(shù)圖象特征時(shí)要按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，即應(yīng)沿x軸正方向，從左向右觀察圖象的變化趨勢(shì)．預(yù)設(shè)的答案：圖1的特點(diǎn)是：從左至右始終保持上升；圖2與圖3的特點(diǎn)是：從左至右有升也有降．設(shè)計(jì)意圖：直接引出課題，形成對(duì)單調(diào)性的直觀感受．引語(yǔ)：當(dāng)下很重要，趨勢(shì)更重要．這節(jié)課我們就來(lái)一起學(xué)習(xí)反映函數(shù)變化趨勢(shì)的性質(zhì)—函數(shù)的單調(diào)性．（板書(shū)：函數(shù)的單調(diào)性）三、新知探究1．定性刻畫(huà)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題3：你能用函數(shù)的觀點(diǎn)敘述圖象從左至右上升（下降）嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)初中學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和對(duì)圖象的觀察分析，能描述“y隨著x的增大而增大（減?。保蠋熢凇叭绾斡^察”上加強(qiáng)啟發(fā)和引導(dǎo)．比如：“從左到右”其實(shí)就是自變量x不斷增大，“上升（下降）”就是函數(shù)值y不斷增大（減?。A(yù)設(shè)的答案：用函數(shù)的觀點(diǎn)看，就是函數(shù)值隨著自變量的增大而增大（減?。處燑c(diǎn)撥：函數(shù)值隨著自變量的增大而增大（減小）的性質(zhì)叫做函數(shù)的單調(diào)性．設(shè)計(jì)意圖：將圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為函數(shù)語(yǔ)言，為后續(xù)定量刻畫(huà)做準(zhǔn)備．2．定量刻畫(huà)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題4：如何用符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確刻畫(huà)函數(shù)值隨自變量的增大而增大（減?。┠兀繋熒顒?dòng)：這是一個(gè)高度抽象的問(wèn)題，學(xué)生可能一下子無(wú)從下手，老師要為學(xué)生搭好思維的“腳手架”，從具體問(wèn)題入手，一步步解決抽象問(wèn)題．追問(wèn)1：你能說(shuō)說(shuō)函數(shù)f(x)＝x2的單調(diào)性嗎？（畫(huà)出它的圖象，如圖4，由圖可知：當(dāng)圖4x＜0時(shí)，y隨著x的增大而減小，就說(shuō)f(x)＝x2在區(qū)間(－∞，0]上是單調(diào)遞減的；當(dāng)x＞0時(shí)，y隨著x的增大而增大，就說(shuō)f(x)＝x2在區(qū)間[0，＋∞)圖4追問(wèn)2：如何用數(shù)量關(guān)系精確刻畫(huà)“在區(qū)間[0，＋∞)上，f(x)＝x2的函數(shù)值隨自變量的增大而增大”？（借助軟件，在y軸右側(cè)任意改變A，B的位置，只要點(diǎn)A的橫坐標(biāo)大于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，就會(huì)有點(diǎn)A的縱坐標(biāo)大于點(diǎn)B的縱坐標(biāo)．將圖象上的規(guī)律用函數(shù)的解析式表示出來(lái)，就可以得到函數(shù)f(x)＝x2在區(qū)間[0，＋∞)上滿足：若x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，就有f(x1)＜f(x2)．）追問(wèn)3：雖然上述改變A，B的位置是隨意的，但我們不能窮舉所有的點(diǎn)，為了確保結(jié)論f(x1)＜f(x2)的正確性，你能嘗試著給出它的證明嗎？（?x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，f(x1)＝x12，f(x2)＝x22，根據(jù)不等式的性質(zhì)7就可以得到f(x1)＜f(x2)．）追問(wèn)4：你能類似地描述f(x)＝x2在區(qū)間(－∞，0]上是減函數(shù)并證明嗎？（若x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，就有f(x1)＞f(x2)．證明：?x1，x2∈(－∞，0]且x1＜x2，f(x1)＝x12，f(x2)＝x22，根據(jù)不等式的性質(zhì)4和性質(zhì)7就可以得到f(x1)＞f(x2)．）追問(wèn)5：函數(shù)f(x)＝|x|，f(x)＝－x2各有怎樣的單調(diào)性？（f(x)＝|x|在區(qū)間(－∞，0]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增；f(x)＝－x2在區(qū)間(－∞，0]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)遞減．）預(yù)設(shè)的答案：如果?x1，x2∈D，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增（如圖5）．如果?x1，x2∈D，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減（如圖6）．圖圖5圖6教師點(diǎn)撥：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增（減）時(shí)，我們稱它為增（減）函數(shù)．設(shè)計(jì)意圖：在實(shí)例感知的基礎(chǔ)上，借助函數(shù)圖象，抽象出單調(diào)性的概念．從特殊到一般，從具體到抽象，從圖象到符號(hào)，提升學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．3．辨析概念問(wèn)題5：（1）設(shè)A是區(qū)間D上某些自變量的值組成的集合，而且?x1，x2∈A，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，我們能說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增嗎？你能舉例說(shuō)明嗎？（2）函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，你能舉出在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的函數(shù)例子嗎？你能舉出在定義域內(nèi)的某些區(qū)間上單調(diào)遞增但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)例子嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考舉例，之后展示交流，老師指導(dǎo)總結(jié)．預(yù)設(shè)的答案：（1）不能，比如函數(shù)f(x)＝x2，當(dāng)A＝{－1，2，3}，D＝[－1，3]時(shí)，符合?x1，x2∈A，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，但f(x)在區(qū)間D上不是單調(diào)遞增的．（2）f(x)＝x在整個(gè)定義域上單調(diào)遞增；f(x)＝(x－1)2在區(qū)間(－∞，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增．設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}（1）加深單調(diào)性的概念中關(guān)鍵詞“?x1，x2∈D”的理解．問(wèn)題（2）幫助學(xué)生理解單調(diào)性是函數(shù)的一種“局部性質(zhì)”，完善對(duì)單調(diào)性概念的理解．4．單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用例1根據(jù)定義，研究函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)的單調(diào)性．師生活動(dòng)：學(xué)生結(jié)合初中的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，可以利用函數(shù)圖象得到該函數(shù)的單調(diào)性．老師引導(dǎo)學(xué)生尋找求解的依據(jù)——定義，根據(jù)定義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為考察當(dāng)x1＜x2時(shí)，f(x1)＜f(x2)還是f(x1)＞f(x2)．進(jìn)一步只需考察f(x1)－f(x2)與0的大小關(guān)系．預(yù)設(shè)的答案：解：函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)的定義域是R．?x1，x2∈R，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝(kx＋b)－(kx＋b)＝k(x1－x2)．由x1＜x2，得x1－x2＜0．所以①當(dāng)k＞0時(shí)，k(x1－x2)＜0．于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．這時(shí)，f(x)＝kx＋b(k≠0)是增函數(shù)．②當(dāng)k＜0時(shí)，k(x1－x2)＞0．于是f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．這時(shí)，f(x)＝kx＋b(k≠0)是減函數(shù)．設(shè)計(jì)意圖：明確單調(diào)性的判定可以由函數(shù)圖象獲得，但是證明必須借助定義完成．掌握應(yīng)用定義證明單調(diào)性的程序，進(jìn)一步加深對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，在證明過(guò)程中提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例2物理學(xué)中得玻意耳定律p＝eq\f(k,V)（k為正常數(shù)）告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大．試對(duì)此用函數(shù)的單調(diào)性證明．師生活動(dòng)：學(xué)生先將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即證明函數(shù)p＝eq\f(k,V)（k為正常數(shù)）在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減．預(yù)設(shè)的答案：證明：任取V1，V2∈(0，＋∞)，且V1＜V2，則p1－p2＝eq\f(k,V1)－eq\f(k,V2)＝eq\f(k(V2－V1),V1V2)，由V1，V2∈(0，＋∞)，得V1V2＞0，由V1＜V2，得V2－V1＞0，又k＞0，所以p1－p2＞0，即p1＞p2，所以函數(shù)p＝eq\f(k,V)（k為正常數(shù)）在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減．也就是說(shuō)，當(dāng)體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大．追問(wèn)：你能總結(jié)用定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的單調(diào)性的步驟嗎？（第一步：在區(qū)間D上任取兩個(gè)自變量的值x1，x2∈D，并規(guī)定x1＜x2，簡(jiǎn)記為“設(shè)元”；第二步：計(jì)算f(x1)－f(x2)，將f(x1)－f(x2)分解為若干可以直接確定符號(hào)的式子，簡(jiǎn)記為“作差、變形”；第三步：確定f(x1)－f(x2)的符號(hào)．若f(x1)－f(x2)＜0，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增；若f(x1)－f(x2)＞0，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減．簡(jiǎn)記為“斷號(hào)、定論”．）設(shè)計(jì)意圖：體會(huì)函數(shù)模型可以用來(lái)刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，從而借助函數(shù)性質(zhì)就可以把握事物的變化規(guī)律．通過(guò)證明進(jìn)一步熟悉使用定義證明單調(diào)性的程序，并通過(guò)追問(wèn)讓學(xué)生總結(jié)出證明單調(diào)性的基本步驟，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．例3根據(jù)定義證明函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)在區(qū)間(1，＋∞)上的單調(diào)遞增．師生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)例1、例2的經(jīng)驗(yàn)獨(dú)立完成，然后展示交流，老師針對(duì)書(shū)寫(xiě)規(guī)范、變形技巧做重點(diǎn)的糾正和講解．預(yù)設(shè)的答案：證明：?x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，有y1－y2＝(x1＋eq\f(1,x1))－(x2＋eq\f(1,x2))＝(x1－x2)＋(eq\f(1,x1)－eq\f(1,x2))＝(x1－x2)＋eq\f(x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)－eq\f(x1－x2,x1x2)＝(x1－x2)(1－eq\f(1,x1x2))＝(x1－x2)(eq\f(x1x2－1,x1x2))由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1＞1，x2＞1，所以x1x2＞1，x1x2－1＞0．由x1＜x2，得x1－x2＜0，于是(x1－x2)(eq\f(x1x2－1,x1x2))＜0，即y1＜y2．所以，函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)在區(qū)間(1，＋∞)上的單調(diào)遞增．追問(wèn)：你能用單調(diào)性定義探究y＝x＋eq\f(1,x)在整個(gè)定義域內(nèi)的單調(diào)性嗎？（y＝x＋eq\f(1,x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)．當(dāng)x1，x2∈(0，＋∞)時(shí)，在y1－y2＝(x1－x2)(eq\f(x1x2－1,x1x2))中，x1－x2＜0，x1x2＞0，所以當(dāng)x1，x2∈(0，1)時(shí)，x1x2－1＜0，則y1－y2＞0，即y1＞y2，所以y＝x＋eq\f(1,x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減．同理可得，函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)在區(qū)間(－∞，－1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(－1，0)上單調(diào)遞減．）設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例3掌握用定義證明單調(diào)性的步驟，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性和書(shū)寫(xiě)過(guò)程的規(guī)范性．通過(guò)追問(wèn)體會(huì)除了可以用定義法證明單調(diào)性外還可以用定義去探索單調(diào)區(qū)間，感受定義的力量．四、歸納小結(jié)，布置作業(yè)問(wèn)題6：回憶本節(jié)課的內(nèi)容，請(qǐng)你回答以下幾個(gè)問(wèn)題：（1）什么是函數(shù)的單調(diào)性？用定義證明單調(diào)性的步驟是怎樣的？（2）你能總結(jié)研究單調(diào)性的過(guò)程和方法嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生敘述單調(diào)遞增、單調(diào)遞減、增函數(shù)、減函數(shù)等概念．交流學(xué)習(xí)過(guò)程中的體驗(yàn)和感受，師生合作共同完成小結(jié)．預(yù)設(shè)的答案：（1）略．（2）先畫(huà)函數(shù)圖象并觀察圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)變化趨勢(shì)，得到單調(diào)性定性的敘述；再用數(shù)學(xué)符號(hào)準(zhǔn)確表示，得到單調(diào)性的定量刻畫(huà)；最后應(yīng)用概念作判定與證明，在應(yīng)用中掌握概念的本質(zhì)．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)梳理本節(jié)課的內(nèi)容，不僅讓學(xué)生明確本節(jié)課的內(nèi)容，還能讓學(xué)生對(duì)研究函數(shù)性質(zhì)有初步的方法論認(rèn)識(shí)．作業(yè)布置：教科書(shū)習(xí)題第1，2，3，6，8，9題．五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1．請(qǐng)根據(jù)右圖描繪某裝配線的生產(chǎn)效率與生產(chǎn)線上工人數(shù)量間的關(guān)系．設(shè)計(jì)意圖：考查單調(diào)性的定義．2．根據(jù)定義證明函數(shù)f(x)＝3x＋2是增函數(shù)．設(shè)計(jì)意圖：考查增函數(shù)的定義．3．證明函數(shù)f(x)＝－eq\f(2,x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增．設(shè)計(jì)意圖：考查用定義證明單調(diào)性．4．畫(huà)出反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象．（1）這個(gè)函數(shù)的定義域I是什么？（2）它在定義域I上的單調(diào)性是怎樣的？證明你的結(jié)論．設(shè)計(jì)意圖：考查單調(diào)性的判定與證明．參考答案：1．在一定范圍內(nèi)，生產(chǎn)效率隨著工人數(shù)的增加而提高，當(dāng)工人數(shù)達(dá)到某個(gè)數(shù)量時(shí)，生產(chǎn)效率達(dá)到最大值，而超過(guò)這個(gè)數(shù)量時(shí)，生產(chǎn)效率又隨著工人數(shù)的增加而降低．2．任取x1，x2∈R，當(dāng)x1＜x2時(shí)，因?yàn)閒(x1)－f(x2)＝3(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)＝3x＋2在R上是增函數(shù)．3．任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(2,x2)－eq\f(2,x1)＝eq\f(2(x1－x2),x1x2)，因?yàn)閤1－x2＜0，x1x2＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函數(shù)f(x)＝－eq\f(2,x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增．4．圖象略．（1）(－∞，0)∪(0，＋∞)．（2）當(dāng)k＞0時(shí)，y＝eq\f(k,x)在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)k＜0時(shí)，y＝eq\f(k,x)在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞增．證明如下：當(dāng)k＞0時(shí)，任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，則f(x1)－f(