函數(shù)的概念及其表示教案（Word）2

《函數(shù)的概念及其表示（第三課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)1．了解函數(shù)常見的三種表示法：解析法、列表法和圖象法；對(duì)比這三種表示法，了解它們各自的特點(diǎn)；能從不同角度全面理解“y＝f(x)”中f的意義．2．理解分段函數(shù)的概念及表示，通過(guò)函數(shù)的不同表示法的轉(zhuǎn)化和綜合使用，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合觀念，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)．3．通過(guò)對(duì)max{f(x)，g(x)}這種符號(hào)化表示的理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：了解函數(shù)常見的三種表示法及其綜合應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)：理解分段函數(shù)的概念及表示．課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)引入問(wèn)題1：你能說(shuō)說(shuō)函數(shù)有哪些表示法嗎？它們各自的特點(diǎn)又是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生結(jié)合初中學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)以及第一課時(shí)4個(gè)問(wèn)題一般能回答出三種表示法，但是對(duì)各自的特點(diǎn)可能感受不深，敘述不準(zhǔn)確，老師借機(jī)給出新的例題，導(dǎo)入新課．預(yù)設(shè)的答案：我們已經(jīng)接觸過(guò)的函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法和圖象法．解析法，就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如的問(wèn)題1、2．列表法，就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如的問(wèn)題4．圖象法，就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如的問(wèn)題3．設(shè)計(jì)意圖：梳理已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生感受學(xué)習(xí)函數(shù)表示法的必要性．引語(yǔ)：解析法、列表法和圖象法各有特點(diǎn)，而且有的函數(shù)只能采取某種表示法，本節(jié)課我們專門討論函數(shù)的表示法．（板書：函數(shù)的表示法）二、新知探究1．感知對(duì)比，歸納概括例1某種筆記本的單價(jià)是5元，買x（x∈{1，2，3，4，5}）個(gè)筆記本需要y元．試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y＝f(x)．師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成本題，可能暴露的問(wèn)題：定義域疏漏導(dǎo)致將離散的點(diǎn)連成直線，老師針對(duì)問(wèn)題講解并引導(dǎo)學(xué)生思考三種表示方法的特點(diǎn)．預(yù)設(shè)的答案：解：這個(gè)函數(shù)的定義域是數(shù)集{1，2，3，4，5}．用解析法可將函數(shù)y＝f(x)表示為y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．用列表法可將函數(shù)y＝f(x)表示為筆記本數(shù)x12345錢數(shù)y510152025用圖象法可將函數(shù)y＝f(x)表示為圖1．圖1圖1追問(wèn)1：你能說(shuō)說(shuō)這個(gè)函數(shù)與正比例函數(shù)y＝5x，x∈R的異同嗎？（解析式相同，定義域、值域都不同，從圖象上看，這個(gè)函數(shù)的圖象是由5個(gè)離散的點(diǎn)構(gòu)成的，正比例函數(shù)的圖象是一條連續(xù)的直線．）追問(wèn)2：比較函數(shù)的三種表示法，它們各自的特點(diǎn)是什么？（解析法有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是簡(jiǎn)明、全面地概括了變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；二是可以通過(guò)解析式求出任意一個(gè)自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；圖象法的優(yōu)點(diǎn)是直觀形象地表示隨著自變量的變化，相應(yīng)的函數(shù)值變化的趨勢(shì)，有利于我們研究函數(shù)的某些性質(zhì)；列表法的優(yōu)點(diǎn)就是不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．）追問(wèn)3：所有函數(shù)都能用解析法表示嗎？列表法與圖象法呢？請(qǐng)你舉出實(shí)例加以說(shuō)明．（不是所有的函數(shù)都能用這三種方法表示，有的函數(shù)只能采取某一種表示法．比如課本的問(wèn)題3中的函數(shù)只能用圖象法表示，不能用解析法和列表法表示；再比如課本第75頁(yè)給出的狄利克雷函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x∈Q，,0，x∈?RQ.))不能用圖象法表示．）設(shè)計(jì)意圖：介紹了一個(gè)可以用三種方法表示的函數(shù)．通過(guò)這個(gè)例子，讓學(xué)生體會(huì)三種表示方法各自的特點(diǎn)．2．結(jié)合實(shí)例，理解分段函數(shù)的概念例2畫出函數(shù)y＝|x|的圖象．師生活動(dòng)：老師通過(guò)設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的舊問(wèn)題，具體而言即將含絕對(duì)值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的問(wèn)題．學(xué)生在畫圖時(shí)可能忽略定義域，導(dǎo)致錯(cuò)誤，教師要及時(shí)指出，并示范這道題的畫圖步驟，講解分段函數(shù)的概念．追問(wèn)1：y＝|x|不屬于之前學(xué)過(guò)的任何一類函數(shù)，你能將解析式變形，化為不含絕對(duì)值的形式嗎？（根據(jù)絕對(duì)值的定義，分類討論：當(dāng)x＜0時(shí)，y＝|x|＝－x；當(dāng)x≥0時(shí)，y＝|x|＝x．）追問(wèn)2：如何畫y＝|x|的圖象？（在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出y＝－x，x＜0和y＝x，x≥0的圖象，則y＝|x|的圖象就是這兩部分圖象的組合．）追問(wèn)3：函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等．那么判斷一個(gè)圖形是不是函數(shù)圖象的依據(jù)是什么？（任意與x軸垂直的直線與圖象至多一個(gè)交點(diǎn)．）預(yù)設(shè)的答案：解：由絕對(duì)值的概念，我們有y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x，x<0，,x，x≥0．))所以，函數(shù)y＝|x|的圖象如圖2所示．圖2圖2教師點(diǎn)撥：像例2中y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x，x<0，,x，x≥0))這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)．分段函數(shù)的特點(diǎn)：在它的定義域中，對(duì)于自變量x的不同取值范圍，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同．追問(wèn)4：你能舉出生活中可以用分段函數(shù)描述的實(shí)際問(wèn)題嗎？（如出租車的計(jì)費(fèi)、天然氣的計(jì)費(fèi)、銀行的利率等．）設(shè)計(jì)意圖：前3個(gè)追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為舊問(wèn)題，進(jìn)而分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．追問(wèn)4以實(shí)例的方式幫助學(xué)生理解分段函數(shù)的概念與表示．例3給定函數(shù)f(x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)2，x∈R，（1）在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象；（2）?x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的較大者，記為M(x)＝max{f(x)，g(x)}．例如，當(dāng)x＝2時(shí)，M(2)＝max{f(2)，g(2)}＝max{3，9}＝9．請(qǐng)分別用圖象法和解析法表示函數(shù)M(x)．師生活動(dòng)：第（1）問(wèn)學(xué)生獨(dú)立完成．第（2）問(wèn)比較抽象，在完成第（1）問(wèn)之后，老師通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生完成．追問(wèn)1：如圖3，你能說(shuō)說(shuō)f(x)＞g(x)對(duì)應(yīng)圖象上的什么特征嗎？（當(dāng)自變量x的取值相同時(shí)，函數(shù)f(x)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)比函數(shù)g(x)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)高．）追問(wèn)2：你能從圖象上觀察并回答M(x)的取值情況嗎？（當(dāng)x＜－1時(shí)，g(x)＝(x＋1)2的圖象位于f(x)＝x＋1的上方，g(x)＝(x＋1)2為較大者，此時(shí)M(x)＝(x＋1)2；當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，f(x)＝x＋1的圖象位于g(x)＝(x＋1)2的上方，f(x)＝x＋1為較大者，此時(shí)M(x)＝x＋1；當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)＝(x＋1)2的圖象位于f(x)＝x＋1的上方，g(x)＝(x＋1)2為較大者，此時(shí)M(x)＝(x＋1)2；當(dāng)x＝－1或x＝0時(shí)，g(x)＝(x＋1)2的圖象與f(x)＝x＋1相交，f(x)與g(x)相等，M(x)＝f(x)＝g(x)．）追問(wèn)3：你能用代數(shù)方法求出M(x)的表達(dá)式嗎？（令f(x)＞g(x)，即x＋1＞(x＋1)2，解得：－1＜x＜0；令g(x)＞f(x)，即(x＋1)2＞x＋1，解得：x＜－1或x＞0；令f(x)＝g(x)，即x＋1＝(x＋1)2，解得：x＝－1或x＝0．綜上可得：M(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1((x＋1)2，x≤－1，,x＋1，－1＜x≤0，,(x＋1)2，x＞0．))）預(yù)設(shè)的答案：解：（1）在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象（圖3）．（2）由圖3中函數(shù)取值的情況，結(jié)合函數(shù)M(x)的定義，可得函數(shù)M(x)的圖象（圖4）．由(x＋1)2＝x＋1，得x(x＋1)＝0．解得x＝－1，或x＝0．結(jié)合圖4，得出函數(shù)M(x)的解析式為M(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1((x＋1)2，x≤－1，,x＋1，－1＜x≤0，,(x＋1)2，x＞0．))圖3圖3圖4教師點(diǎn)撥：在例2中，我們的分析過(guò)程是從數(shù)到形，例3則是從形到數(shù)，這兩個(gè)例子充分說(shuō)明，函數(shù)的不同表示方法之間可以相互轉(zhuǎn)化，我們可以根據(jù)題目要求選取恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)方式解決問(wèn)題．設(shè)計(jì)意圖：加深學(xué)生對(duì)分段函數(shù)的理解，提升學(xué)生的直觀想象能力和抽象思維能力．三、歸納小結(jié)，布置作業(yè)問(wèn)題2：請(qǐng)同學(xué)們回顧本節(jié)課的內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：（1）函數(shù)常用的表示法有哪些？它們各自的特點(diǎn)是什么？（2）結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)如何學(xué)習(xí)函數(shù)又有什么體會(huì)？師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，再由學(xué)生代表回答，其他學(xué)生依次補(bǔ)充，老師最后總結(jié)．預(yù)設(shè)的答案：（1）解析法、表格法和圖象法，其中解析式是精確的、圖象是直觀的、表格是直接的；（2）解析式、表格、圖象是對(duì)應(yīng)關(guān)系f的不同的表現(xiàn)形式，但實(shí)質(zhì)相同，為了更好地分析和解決問(wèn)題，有時(shí)需要進(jìn)行不同表示法的轉(zhuǎn)化和綜合使用．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，全面理解函數(shù)的內(nèi)涵．作業(yè)布置：教科書習(xí)題第6，7，10，11，13，18題．四、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)圖51．如圖5，把直截面半徑為25cm的圓形木頭鋸成矩形木料，如果矩形的一邊長(zhǎng)為x（單位：cm），面積為y（單位：cm2），把y表示為x的函數(shù)圖5設(shè)計(jì)意圖：考查函數(shù)的解析法，強(qiáng)化定義域的重要性．2．畫出函數(shù)y＝|x－2|的圖象．設(shè)計(jì)意圖：考查對(duì)分段函數(shù)的理解．3．給定函數(shù)f(x)＝－x＋1，g(x)＝(x－1)2，x∈R，（1）在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象；（2）?x∈R，用m(x)表示f(x)，g(x)中的較小者，記為m(x)＝min{f(x)，g(x)}，請(qǐng)分別用圖象法和解析法表示函數(shù)m(x)．設(shè)計(jì)意