第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念9-1

推廣第九章

一元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學注意:善于類比,區(qū)別異同多元函數(shù)微分法及其應用1第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念教學內容

1平面點集與多元函數(shù)的概念

2多元函數(shù)的極限

3多元函數(shù)的連續(xù)性考研要求

1理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義；2了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質。2一.平面點集n維空間

1.平面點集

當在平面上引入一個直角坐標系后,平面上的點P與有序二元實數(shù)組(x,y)之間建立一一對應.這樣我們把有序實數(shù)組和平面上的點等同起來.這種建立了坐標系的平面稱為坐標平面

坐標平面上具有某種性質P的點的集合,稱為平面點集,

E={(x,y)|(x,y)具有性質P}.32.

鄰域點集稱為點P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強調鄰域半徑,也可寫成點P0

的去心鄰域記為4在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為。因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含.53.

區(qū)域(1)內點、外點、邊界點設有點集E

及一點P:若存在點P

的某鄰域U(P)E,若存在點P的某鄰域U(P)∩E=,若對點P

的任一鄰域U(P)既含E中的內點也含E則稱P為E

的內點；則稱P為E

的外點;的外點則稱P為E的邊界點邊界點的全體稱為邊界.顯然,E

的內點必屬于E,

E的外點必不屬于E,E的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E.6(2)聚點若對任意給定的,點P的去心鄰域內總有E

中的點,則稱P

是E

的聚點.聚點可以屬于E

,也可以不屬于E

(因為聚點可以為所有聚點所成的點集稱為E

的導集

.E

的邊界點)內點一定是聚點；說明：邊界點可能是聚點；例(0,0)既是邊界點也是聚點7D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域若點集E

的點都是內點，則稱E

為開集；若點集E

E

,則稱E

為閉集；若集D

中任意兩點都可用一完全屬于D

的折線相連,開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的

;連通的開集稱為開區(qū)域,簡稱區(qū)域

;。。E

的邊界點的全體稱為E

的邊界,記作E;8例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域9整個平面點集是開集，是最大的開域,也是最大的閉域；但非區(qū)域.o對區(qū)域D

,若存在正數(shù)K

,使一切點PD與某定點A的距離APK,則稱D

為有界域,

界域.否則稱為無104.

n

維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個元素稱為空間中的稱為該點的第k

個坐標.記作即一個點,當所有坐標稱該元素為中的零元,記作O.11的距離記作中點a

的鄰域為規(guī)定為與零元O

的距離為12二、多元函數(shù)的概念

引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強三角形面積的海倫公式13定義1.設非空點集點集D

稱為函數(shù)的定義域;

數(shù)集稱為函數(shù)的值域.特別地

,當n=2時,有二元函數(shù)當n

=3時,有三元函數(shù)映射稱為定義在D

上的n

元函數(shù),記作14例1

求的定義域．

解所求定義域為15二元函數(shù)的圖形（如下頁圖）16二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.17例如,圖形如右圖.例如,球面.單值分支:18三、多元函數(shù)的極限定義2.設n

元函數(shù)點,則稱A

為函數(shù)(也稱為n

重極限)當n

=2時,記二元函數(shù)的極限可寫作：P0是D

的聚若存在常數(shù)A,對一記作都有對任意正數(shù)

,總存在正數(shù),切19現(xiàn)在我們用ε--δ來定義這個概念:設函數(shù)z=f(x,y)的定義域為D.p0(x0,y0)是D的聚點.如果對于任意給定的正數(shù)ε,總存在δ>0,使適合不等式的一切點p(x,y)∈D,都|f(x,y)－A|<ε成立.則稱A為函數(shù)z=f(x,y)，當x→x0,y→y0時的極限.記作20例1.設求證：證:故總有要證

21例2.

設求證：證：故總有要證22

二元函數(shù)的極限稱為二重極限.研究二元函數(shù)極限定義時,我們注意以下幾點:(1)不研究p0(x0,y0)處的狀態(tài)僅研究p(x,y)→p0(x0,y0)的過程中,函數(shù)f(x,y)的變化趨勢.所以定義中規(guī)定,函數(shù)z=f(x,y)在點p0(x0,y0)的某個去心鄰域內有定義,但不要求函數(shù)在點p0(x0,y0)有定義.(2)極限值A應是一個確定的常數(shù),與p(x,y)趨近p0(x0,y0)的方式無關.也就是說:p(x,y)以任何方式趨于p0(x0,y0),函數(shù)都無限接近于A.23

若當點趨于不同值或有的極限不存在，解:

設P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(0,0),在點(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k

值不同極限不同!在(0,0)點極限不存在.以不同方式趨于不存在.例3.

討論函數(shù)函數(shù)24例2

求解解其值隨k的不同而變化，故此極限不存在．25確定極限不存在的方法：26例題

求下列極限27四、多元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)連續(xù)的幾何特征——圖形不斷裂。一元連續(xù)函數(shù)的運算性質可推廣到多元連續(xù)函數(shù)上來。28例如,

函數(shù)在點(0,0)極限不存在,又如,函數(shù)上間斷.故(0,0)為其間斷點.在圓周結論:

一切多元初等函數(shù)(P61)在定義區(qū)域內連續(xù).29定理：若*(4)f(P)必在D上一致連續(xù).在D

上可取得最大值M

及最小值m;(3)對任意(有界性定理)

(最值定理)

(介值定理)

(一致連續(xù)性定理)

閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的性質:(證明略)在有界閉域D

上連續(xù),則30例4

討論在(0,0)處的連續(xù)性．解故此函數(shù)在(0,0)處連續(xù).