向量數(shù)量積的概念課時(shí)作業(yè)

課時(shí)作業(yè)向量數(shù)量積的概念(建議用時(shí)：60分鐘)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1.已知向量|a|＝1，|b|＝2，a，b的夾角為θ，若tanθ＝eq\r(3)，則a·b的值為()A．1 B．2C．3 D．－12.已知向量|a|＝3|b|＝a·b＝3，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)⊥b B．a(chǎn)∥bC．|a＋b|＝3 D．|a－b|＝33.若e1，e2是兩個(gè)互相平行的單位向量，則下列判斷正確的是()A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1C．e1·e2＝±1 D．|e1·e2|<14．如圖，已知正六邊形ABCDEF，下列向量的數(shù)量積中最大的是()A．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))B．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))C．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AE,\s\up8(→))D．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))5．已知單位向量a，b滿足|a－b|＝|a＋2b|，則a，b夾角為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)6．已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面積為1，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0 B．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝2C．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝2 D．|eq\o(AB,\s\up8(→))|cosB＝|eq\o(BC,\s\up8(→))|二、填空題7．已知向量a·b＝15＝3|b|，則向量a在b上投影的數(shù)量為______．8．已知點(diǎn)A，B，C滿足|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up8(→))|＝5，則eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))的值是________．9．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則向量eq\o(AB,\s\up8(→))在eq\o(AD,\s\up8(→))上的投影的數(shù)量為________，eq\o(AB,\s\up8(→))在eq\o(CA,\s\up8(→))上的投影的數(shù)量為________．三、解答題10．已知|a|＝2，b2＝3，若(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為150°，分別求a·b.[等級(jí)過(guò)關(guān)練]1.已知a是非零向量，e是單位向量，則下列表示正確的是()A．a(chǎn)·e＝|a| B．a(chǎn)·e<|a|C．a(chǎn)·e≤|a| D．|a·e|<|a|2.已知在△ABC中，AB＝AC＝4，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＝－8，則△ABC的形狀是()A．直角三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形3.己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)．則eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(DE,\s\up8(→))的值為________．4．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AC與BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為E則eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(EC,\s\up8(→))＝________________________.5．已知△ABC的面積為S滿足eq\r(,3)≤2S≤3，且eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝3，eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(BC,\s\up8(→))的夾角為θ.求eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(BC,\s\up8(→))夾角的取值范圍．答案與解析一、選擇題1.已知向量|a|＝1，|b|＝2，a，b的夾角為θ，若tanθ＝eq\r(3)，則a·b的值為()A．1 B．2C．3 D．－1A[因?yàn)橄蛄縷a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝θ，tanθ＝eq\r(3)，θ∈[0,π]，則θ＝60°，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1.]2.已知向量|a|＝3|b|＝a·b＝3，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)⊥b B．a(chǎn)∥bC．|a＋b|＝3 D．|a－b|＝3B[已知向量|a|＝3|b|＝a·b＝3，則|b|＝1，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3cos〈a，b〉＝3，所以cos〈a，b〉＝1，因?yàn)椤碼，b〉∈[0,π]，所以〈a，b〉＝0，所以a＝3b，a∥b，|a＋b|＝4，|a－b|＝2，故選B．]3.若e1，e2是兩個(gè)互相平行的單位向量，則下列判斷正確的是()A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1C．e1·e2＝±1 D．|e1·e2|<1C[因?yàn)閑1，e2是兩個(gè)互相平行的單位向量，則當(dāng)e1，e2方向相同時(shí)，e1·e2＝|e1||e2|cos0°＝1；當(dāng)e1，e2方向相反時(shí)，e1·e2＝|e1||e2|cos180°＝－1.綜上所述，得e1·e2＝±1.]4．如圖，已知正六邊形ABCDEF，下列向量的數(shù)量積中最大的是()A．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))B．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))C．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AE,\s\up8(→))D．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))A[法一：設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則AC＝2eq\r(3)，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AC,\s\up8(→))|cos30°＝6，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＝|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AD,\s\up8(→))|cos60°＝4，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AE,\s\up8(→))＝|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AE,\s\up8(→))|cos90°＝0，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))＝|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AF,\s\up8(→))|cos120°＝－2.法二：顯然，向量eq\o(AC,\s\up8(→))在eq\o(AB,\s\up8(→))上投影的數(shù)量最大，所以eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))最大．]5．已知單位向量a，b滿足|a－b|＝|a＋2b|，則a，b夾角為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)C[∵a，b是單位向量，且|a－b|＝|a＋2b|，∴(a－b)2＝(a＋2b)2，∴a2－2a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b∴1－2a·b＋1＝1＋4a·b＋4，∴a·b＝－eq\f(1,2)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(1,2)，又0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝eq\f(2π,3).故選C．]6．已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面積為1，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0 B．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝2C．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝2 D．|eq\o(AB,\s\up8(→))|cosB＝|eq\o(BC,\s\up8(→))|C[在等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面積為1，則eq\f(1,2)AC2＝1，得AC＝eq\r(2)，得AB＝2，所以eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0，選項(xiàng)A正確；eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AC,\s\up8(→))|cos45°＝2，選項(xiàng)B正確；eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(BC,\s\up8(→))|cos135°＝－2，選項(xiàng)C不正確；向量eq\o(BA,\s\up8(→))在eq\o(BC,\s\up8(→))上投影的數(shù)量為|eq\o(BC,\s\up8(→))|，即|eq\o(AB,\s\up8(→))|cosB＝|eq\o(BC,\s\up8(→))|，選項(xiàng)D正確，故選C．]二、填空題7．已知向量a·b＝15＝3|b|，則向量a在b上投影的數(shù)量為______．3[因?yàn)閍·b＝15＝3|b|，所以|b|＝5，則向量a在b上投影的數(shù)量為|a|cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|b|)＝3.]8．已知點(diǎn)A，B，C滿足|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up8(→))|＝5，則eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))的值是________．－25[∵|eq\o(CA,\s\up8(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up8(→))|2，∴B＝90°，∴eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0.∵cosC＝eq\f(4,5)，cosA＝eq\f(3,5)，∴eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＝|eq\o(BC,\s\up8(→))|·|eq\o(CA,\s\up8(→))|cos(180°－C)＝4×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－16.eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝|eq\o(CA,\s\up8(→))|·|eq\o(AB,\s\up8(→))|cos(180°－A)＝5×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－9.∴eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝－25.]9．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則向量eq\o(AB,\s\up8(→))在eq\o(AD,\s\up8(→))上的投影的數(shù)量為________，eq\o(AB,\s\up8(→))在eq\o(CA,\s\up8(→))上的投影的數(shù)量為________．0－eq\r(2)[法一：因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為2，eq\o(AB,\s\up8(→))⊥eq\o(AD,\s\up8(→))，則向量Aeq\o(B,\s\up8(→))在Aeq\o(D,\s\up8(→))上的投影的數(shù)量為|Aeq\o(B,\s\up8(→))|cos90°＝0，Aeq\o(B,\s\up8(→))在eq\o(CA,\s\up8(→))上的投影的數(shù)量為|Aeq\o(B,\s\up8(→))|cos135°＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－eq\r(2).法二：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，eq\o(AB,\s\up8(→))⊥Aeq\o(D,\s\up8(→))，則向量eq\o(AB,\s\up8(→))在eq\o(AD,\s\up8(→))上的投影的數(shù)量為0，eq\o(AB,\s\up8(→))在Aeq\o(C,\s\up8(→))上的投影的數(shù)量為eq\r(2)，所以eq\o(AB,\s\up8(→))在eq\o(CA,\s\up8(→))上的投影的數(shù)量為－eq\r(2).]三、解答題10．已知|a|＝2，b2＝3，若(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為150°，分別求a·b.[解]因?yàn)閨a|＝2，b2＝3，所以|b|＝eq\r(3).(1)當(dāng)a∥b時(shí)，a·b＝|a||b|cos0°＝2×eq\r(3)×1＝2eq\r(3)或a·b＝|a||b|cos180°＝2×eq\r(3)×(－1)＝－2eq\r(3).(2)當(dāng)a⊥b時(shí)，a·b＝|a||b|cos90°＝2×eq\r(3)×0＝0.(3)當(dāng)a與b的夾角為150°時(shí)，a·b＝|a||b|cos150°＝2×eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝－3.[等級(jí)過(guò)關(guān)練]1.已知a是非零向量，e是單位向量，則下列表示正確的是()A．a(chǎn)·e＝|a| B．a(chǎn)·e<|a|C．a(chǎn)·e≤|a| D．|a·e|<|a|C[因?yàn)閍是非零向量，e是單位向量，則a·e＝|a||e|cos〈a，b〉＝|a|cos〈a，b〉≤|a|，|a·e|≤|a|，故選C．]2.已知在△ABC中，AB＝AC＝4，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＝－8，則△ABC的形狀是()A．直角三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形B[依題意，得eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AC,\s\up8(→))|cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝eq\f(1,2)，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等邊三角形．]3.己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)．則eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(DE,\s\up8(→))的值為________．－a2[如圖，因?yàn)橄蛄縠q\o(DE,\s\up8(→))在eq\o(DA,\s\up8(→))上投影的數(shù)量為a，即|eq\o(DE,\s\up8(→))|cos∠ADE＝a，所以eq\o(DE,\s\up8(→))在eq\o(BC,\s\up8(→))上投影的數(shù)量為－a，所以eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(DE,\s\up8(→))＝|eq\o(BC,\s\up8(→))||eq\o(DE,\s\up8(→))|cos〈eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(DE,\s\up8(→))〉＝－a|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝－a2.]4．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AC與BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為E則eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(EC,\s\up8(→))＝________________________.eq\f(144,25)[建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，則A(0,3)，B(0,0)，C(4,0)，D(4,3)．直線BD的方程為y＝eq\f(3,4)x.由AE⊥BD，則直線AE的方程為y－3＝－eq\f(4,3)x，即y＝－eq\f(4,3)x＋3.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,4)x,y＝－\f(4,3)x＋3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(36,25),y＝\f(27,25)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(36,25)，\f(27,25)))所以eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(36,25)，－\f(48,25)))，eq\o(EC,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,25)，－\f(27,25)))，所以eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(EC,\s\up8(→))＝eq\f(36,25)×eq\f(64,25)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(48,25)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,2