平面向量的運算【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修同步講義Word2

第六章平面向量及其應(yīng)用平面向量的運算第2課時向量的數(shù)乘運算【課程標準】通過實例分析，掌握平面向量的數(shù)乘運算及其運算規(guī)則，理解其幾何意義。了解平面向量的線性運算性及其幾何意義。掌握平面向量基本定理及其證明過程，會根據(jù)向量共線定理判斷兩個向量是否共線?！局R要點歸納】1．?dāng)?shù)乘向量(1)定義：一般地，給定一個實數(shù)λ與任意一個向量a，規(guī)定它們的乘積是一個向量，記作λa，其中：①當(dāng)λ≠0且a≠0時，λa的模為|λ||a|，而且λa的方向如下：(i)當(dāng)λ＞0時，與a的方向相同；(ii)當(dāng)λ＜0時，與a的方向相反．②當(dāng)λ＝0或a＝0時，λa＝0.上述實數(shù)λ與向量a相乘的運算簡稱為數(shù)乘向量．(2)幾何意義：把向量a沿著a的方向或a的反方向放大或縮小．(3)運算律：設(shè)λ，μ為實數(shù)，則①(λ＋μ)a＝λa＋μa；②λ(μa)＝(λμ)a；③λ(a＋b)＝λa＋λb.注意：數(shù)乘向量與實數(shù)的乘法的區(qū)別。[提示](1)數(shù)乘向量與實數(shù)的乘法是有區(qū)別的，前者的結(jié)果是一個向量，后者的結(jié)果是一個實數(shù)．特別要注意λ＝0時，λa＝0，此處最容易出現(xiàn)的錯誤是將實數(shù)0與0混淆，錯誤地表述成λa＝0.(2)要注意實數(shù)與向量可以求積，但是不能進行加減運算，如λ＋a，λ－a是無法運算的．2．線性運算：向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，向量線性運算的結(jié)果仍是向量．對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.【經(jīng)典例題】例1．已知，，（1）求．（2）求。

例2．已知，，，都是向量，且，，試用，分別表示，．例3．已知兩個非零向量與不共線，，，．（1）若，求的值；（2）若，，三點共線，求的值．例4．已知非零向量，，，，，求證：，，三點在同一條直線上．例5．如圖，已知中，為的中點，，，交于點，設(shè)，．（1）用，分別表示向量，；（2）若，求實數(shù)的值．【當(dāng)堂檢測】一．選擇題（共4小題）1．如圖，在平行四邊形中，是的中點，是線段上靠近點的三等分點，則A． B． C． D．2．已知，點為邊上一點，且滿足，則向量A． B． C． D．3．在平行四邊形中，為的中點，為的中點，則A． B． C． D．4．在所在的平面上有一點，滿足，設(shè)，，則A． B． C． D．二．填空題（共2小題）5．在中，點，分別在邊，上，且，，記，，若，則的值為．6．在平行四邊形中，，則（用表示）．三．解答題（共1小題）7．已知平行四邊形中，若是該平面上任意一點，則滿足．（1）若是的中點，求的值；（2）若、、三點共線，求證：．

當(dāng)堂檢測答案一．選擇題（共4小題）1．如圖，在平行四邊形中，是的中點，是線段上靠近點的三等分點，則A． B． C． D．【分析】利用平面向量的基本定理，用和線性表示向量即可．【解答】解：由可知，，故選：．【點評】本題主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的線性表示，是基礎(chǔ)題．2．已知，點為邊上一點，且滿足，則向量A． B． C． D．【分析】根據(jù)可得出，然后進行向量的數(shù)乘運算求出即可．【解答】解：，，．故選：．【點評】本題考查了向量減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．在平行四邊形中，為的中點，為的中點，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)條件可畫出圖形，根據(jù)向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義即可用表示出向量．【解答】解：如圖，四邊形為平行四邊形，為的中點，為的中點，．故選：．【點評】本題考查了向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．在所在的平面上有一點，滿足，設(shè)，，則A． B． C． D．【分析】由向量加減的三角形法則結(jié)合相反向量的定義，可得為線段的一個三等分點，再根據(jù)向量的加減的幾何意義即可求出答案．【解答】解：，；即；故點是邊上的第二個三等分點；；故選：．【點評】本題考查向量的運算法則，涉及共線向量定理，屬基礎(chǔ)題．二．填空題（共2小題）5．在中，點，分別在邊，上，且，，記，，若，則的值為．【分析】可畫出圖形，根據(jù)，即可得出，再根據(jù)便可得出，又知，這樣根據(jù)平面向量基本即可求出，的值．【解答】解：如圖，，；，，且；；又；根據(jù)平面向量基本定理得，；．故答案為：．【點評】考查向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運算，平面向量基本定理．6．在平行四邊形中，，則（用表示）．【分析】根據(jù)向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義，由得，利用向量的三角形法則得，且，最后將左式的兩個向量都用用表示即得．【解答】解：由得，且，又，．故答案為：．【點評】本題考點是向量加減混合運算及其幾何意義，考查了向量加法與減法法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量加減法的法則，根據(jù)圖象將所研究的向量用基向量表示出來，本題考查數(shù)形結(jié)合的思想，是向量在幾何中運用的基礎(chǔ)題型．三．解答題（共1小題）7．已知平行四邊形中，若是該平面上任意一點，則滿足．（1）若是的中點，求的值；（2）若、、三點共線，求證：．【分析】（1）是的中點時，可得出，從而根據(jù)平面向量基本定理得出；（2）根據(jù)，，三點共線可得出與共線，從而得出，進而得出，這樣根據(jù)平面向量基本定理即可得出．【解答】解：（1）若是的中點，則，又，根據(jù)平面向量基本定理得，