平面向量基本定理及坐標(biāo)表示【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修同步講義Word2

第六章平面向量及其應(yīng)用平面向量基本定理及坐標(biāo)表示平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示【課程標(biāo)準(zhǔn)】借助直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加減及數(shù)乘運(yùn)算理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件，會(huì)根據(jù)平面向量的坐標(biāo)判斷向量是否共線【知識(shí)要點(diǎn)歸納】1.平面向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j，取{i，j}作為基底．對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，我們把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，a＝(x，y)叫做向量的坐標(biāo)表示．2.向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作＝a，設(shè)＝xi＋yj，則向量的坐標(biāo)(x，y)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過(guò)來(lái)，終點(diǎn)A的坐標(biāo)(x，y)也就是向量的坐標(biāo)．3.圖示4.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則有：加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)減法a－b＝(x1－x2，y1－y2)重要結(jié)論已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(\s\up12(→),\s\do4())＝(x2－x1，y2－y1)數(shù)乘5.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)其中，向量共線的充要條件是.6.向量的坐標(biāo)表示重要結(jié)論中點(diǎn)向量坐標(biāo)設(shè)，P為AB的中點(diǎn)，則（O為平面內(nèi)任一點(diǎn)）三角形的重心坐標(biāo)公式中，設(shè)，G為的重心，則（O為平面內(nèi)任一點(diǎn)）【經(jīng)典例題】例1.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，＝4，∠xOA＝60°，(1)求向量的坐標(biāo)；(2)若B(3，－1)，求的坐標(biāo)．【解】(1)設(shè)點(diǎn)A(x，y)，則x＝cos60°＝4cos60°＝2，y＝sin60°＝4sin60°＝，即A(2，)，所以＝(2，)．(2)＝(3，-1)－(2，)＝(1，-1-)．注意：求點(diǎn)和向量坐標(biāo)的常用方法(1)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置的坐標(biāo)．(2)求一個(gè)向量的坐標(biāo)時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的始點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．變式提升(1)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝()A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,2)(2)已知向量a，b的坐標(biāo)分別是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐標(biāo)．例2．給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為．如圖所示，點(diǎn)在以為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)．若，其中，，求的最大值．【分析】對(duì)，兩邊平方并根據(jù)已知條件可得到：，所以，因?yàn)楦鶕?jù)向量加法的平行四邊形法則可知，，，所以，所以，所以得到，所以的最大值是2．【解答】解：由已知條件知：；，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，容易判斷出，，，；，，，即的最大值為2．例3（1）．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，，，，若，則的值A(chǔ)．4 B．3 C． D．0（2）．已知，，，若，則的值是．（3）．已知向量，，．若向量與向量共線，則實(shí)數(shù)．答案（1）【分析】由，得，推導(dǎo)出，由此能求出的值．【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，向量，，，，，，，．故選：．（2）【分析】由平面向量的坐標(biāo)表示與共線定理，列方程求出的值．【解答】解：，，，所以，，又，所以，解得．故答案為：2．（3）【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和共線定理，列方程求出的值．【解答】解：向量，，．則，又向量與向量共線，所以，解得．故答案為：1．【當(dāng)堂檢測(cè)】一．選擇題（共8小題）1．已知向量，，則向量的坐標(biāo)為A． B． C． D．2．已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別是，，，，則向量的坐標(biāo)是A． B． C． D．3．已知，若，則實(shí)數(shù)對(duì)，為A． B． C． D．無(wú)數(shù)對(duì)4．已知向量，，，則的值是A． B． C． D．5．已知，，則A． B． C． D．6．已知，，，且，則A．3 B．2 C．1 D．7．已知平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，，且，若向量與共線，則A．3或 B．1或 C．或2 D．或68．已知點(diǎn)，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B．， C． D．，二．填空題（共2小題）9．設(shè)點(diǎn)，，若點(diǎn)在直線上，且滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．10．若向量與共線，則．

當(dāng)堂檢測(cè)答案一．選擇題（共8小題）1．已知向量，，則向量的坐標(biāo)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，計(jì)算即可．【解答】解：，，所以，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．2．已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別是，，，，則向量的坐標(biāo)是A． B． C． D．【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)和向量的相等、向量的三角形法則即可得出．【解答】解：平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別是，，，，，，，，，，，．，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和向量的相等、向量的三角形法則，屬于基礎(chǔ)題．3．已知，若，則實(shí)數(shù)對(duì)，為A． B． C． D．無(wú)數(shù)對(duì)【分析】利用向量線性運(yùn)算法則和向量相等即可得出．【解答】解：，，，，解得．實(shí)數(shù)對(duì)，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握向量線性運(yùn)算法則和向量相等是解題的關(guān)鍵．4．已知向量，，，則的值是A． B． C． D．【分析】先根據(jù)向量的平行可得，則，代值計(jì)算即可．【解答】解：向量，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和同角的三角函數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．5．已知，，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，計(jì)算即可．【解答】解：，，所以，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．6．已知，，，且，則A．3 B．2 C．1 D．【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和共線定理，列方程求出的值．【解答】解：，，，所以，；又，所以，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和共線定理的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．7．已知平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，，且，若向量與共線，則A．3或 B．1或 C．或2 D．或6【分析】利用向量共線定理和平面向量基本定理即可得出．【解答】解：向量與共線，實(shí)數(shù)，使得，，化為．，是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，解得，或．故選：．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握向量共線定理和平面向量基本定理是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．8．已知點(diǎn)，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B．， C． D．，【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形得出，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出、的值．【解答】解：點(diǎn)，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，如圖所示；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，；且，即，解得，，所以點(diǎn)為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．二．填空題（共2小題）9．設(shè)點(diǎn)，，若點(diǎn)在直線上，且滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【分析】根據(jù)題意知或，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量相等列方程組求出即可．【解答】解：點(diǎn)，，所以；設(shè)點(diǎn)，由在直線上，且，所以或；又，當(dāng)時(shí)，有，解得，所以點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有，解得，所以點(diǎn)；綜上