數(shù)列的極限知識(shí)點(diǎn)方法技巧及例題（拓展文本）

數(shù)列的極限知識(shí)點(diǎn)、方法技巧及例題一、知識(shí)要點(diǎn)1數(shù)列極限的定義：一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí)，無窮數(shù)列的項(xiàng)無限趨近于某個(gè)常數(shù)（即|an－a|無限地接近于0），那么就說數(shù)列以為極限記作．（注：a不一定是｛an｝中的項(xiàng)）2幾個(gè)重要極限：（1）（2）（C是常數(shù)）（3）（4）3.數(shù)列極限的運(yùn)算法則:如果那么4．無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和（1）公比的絕對(duì)值小于1的無窮等比數(shù)列前n項(xiàng)的和，當(dāng)n無限增大時(shí)的極限，叫做這個(gè)無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和，記做（2）二、方法與技巧（1）只有無窮數(shù)列才可能有極限，有限數(shù)列無極限.（2）運(yùn)用數(shù)列極限的運(yùn)算法則求數(shù)列極限應(yīng)注意法則適應(yīng)的前提條件.（參與運(yùn)算的數(shù)列都有極限，運(yùn)算法則適應(yīng)有限個(gè)數(shù)列情形）（3）求數(shù)列極限最后往往轉(zhuǎn)化為或型的極限.（4）求極限的常用方法：①分子、分母同時(shí)除以或.②求和（或積）的極限一般先求和（或積）再求極限.③利用已知數(shù)列極限（如等）.④含參數(shù)問題應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論求極限.⑤∞－∞,,0－0,等形式，必須先化簡成可求極限的類型再用四則運(yùn)算求極限題型講解例1求下列式子的極限：①；②；③；④;⑤（－n）；⑥（++…+）例2的（）A充分必要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分又不必要條件例3數(shù)列{an}和{bn}都是公差不為0的等差數(shù)列，且=3,求的值為求（a>0);已知,求實(shí)數(shù)a,b的值;已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,且有（－qn）=,求a1的取值范圍例7已知數(shù)列｛an｝是由正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，a1＝3，且滿足lgan＝lgan－1＋lgc，其中n是大于1的整數(shù)，c是正數(shù)．（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式及前n和Sn；（2）求的值．例題解析答案例1分析：①的分子有界，分可以無限增大，因此極限為0；②的分子次數(shù)等于分母次數(shù)，極限為兩首項(xiàng)(最高項(xiàng))系數(shù)之比；③的分子次數(shù)小于于分母次數(shù)，極限為0解：①；②；③點(diǎn)評(píng)：分子次數(shù)高于分母次數(shù)，極限不存在；分析:（4）因?yàn)榉肿臃帜付紵o極限，故不能直接運(yùn)用商的極限運(yùn)算法則，可通過變形分子分母同除以n2后再求極限；（5）因與n都沒有極限，可先分子有理化再求極限；（6）因?yàn)闃O限的運(yùn)算法則只適用于有限個(gè)數(shù)列，需先求和再求極限解:（1）==（2）（－n）===（3）原式===（1+）=1點(diǎn)評(píng)：對(duì)于（1）要避免下面兩種錯(cuò)誤：①原式===1,②∵（2n2+n+7）,（5n2+7）不存在，∴原式無極限對(duì)于（2）要避免出現(xiàn)下面兩種錯(cuò)誤：①（－n）=－n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存在對(duì)于（3）要避免出現(xiàn)原式=++…+=0+0+…+0=0這樣的錯(cuò)誤例2B例3數(shù)列{an}和{bn}都是公差不為0的等差數(shù)列，且=3,求的值為解：由=3d1=3d2，∴==點(diǎn)評(píng)：化歸思想例4求（a>0);解：=點(diǎn)評(píng)：注意分類討論例5已知,求實(shí)數(shù)a,b的值;解：=1，∴a=1,b=─1例6已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,且有（－qn）=,求a1的取值范圍解:（－qn）=,∴qn一定存在∴0＜|q|＜1或q=1當(dāng)q=1時(shí)，－1=,∴a1=3當(dāng)0＜|q|＜1時(shí)，由（－qn）=得=,∴2a1－1=q∴0＜|2a1－1|＜1∴0＜a1＜1且a1≠綜上,得0＜a1＜1且a1≠或a1=3例7已知數(shù)列｛an｝是由正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，a1＝3，且滿足lgan＝lgan－1＋lgc，其中n是大于1的整數(shù)，c是正數(shù)．（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式及前n和Sn；（2）求的值．解:（1）由已知得an＝ｃ·an－1,∴｛an｝是以a1＝3，公比為c的