離散型隨機(jī)變量的方差練習(xí)題高二數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修隨機(jī)變量及其分布Word含答案解析

離散型隨機(jī)變量的方差1.(多選題)已知隨機(jī)變量X的分布列為X-101Pa則下列式子正確的是()(X=0)= =(X)=- (X)=2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為X-101P若Y=2X+2,則D(Y)等于() B. C. D.3.拋擲一枚硬幣,規(guī)定正面向上得1分,反面向上得-1分,則得分X的均值與方差分別為()(X)=0,D(X)=1 (X)=,D(X)=(X)=0,D(X)= (X)=,D(X)=14.(多選題)編號為1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號為1,2,3的三個座位,每位學(xué)生坐一個座位,設(shè)與座位編號相同的學(xué)生的人數(shù)是ξ,則()A.ξ的所有取值是1,2,3 (ξ=1)=(ξ)=1 (ξ)=15.若某事件在一次試驗中發(fā)生次數(shù)的方差等于,則該事件在一次試驗中發(fā)生的概率為________.

6.有10張卡片,其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5,若從中隨機(jī)抽出3張,設(shè)這3張卡片上的數(shù)字和為X,則D(X)=________.

7.根據(jù)以往經(jīng)驗,一輛從北京開往天津的長途汽車在無雨天盈利230元,小雨天盈利163元,中雨天盈利90元.根據(jù)天氣預(yù)報,明天無雨的概率是,有小雨的概率是,有中雨的概率是.問:明天發(fā)一輛長途汽車盈利的期望是多少元?方差和標(biāo)準(zhǔn)差各是多少?8.設(shè)在12個同類型的零件中有2個次品,抽取3次進(jìn)行檢驗,每次抽取一個,并且取出不再放回,若以X和Y分別表示取出次品和正品的個數(shù).(1)求X的分布列、均值及方差;(2)求Y的分布列、均值及方差.擴(kuò)展練習(xí)1.某同學(xué)上學(xué)路上要經(jīng)過3個路口,在每個路口遇到紅燈的概率都是,且在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的,記X為遇到紅燈的次數(shù),若Y=3X+5,則Y的標(biāo)準(zhǔn)差為()A. C. 2.若X是離散型隨機(jī)變量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,又已知E(X)=,D(X)=,則x1+x2的值為()A. B. D.3.已知離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1=-1,x2=0,x3=1,且E(X)=,D(X)=,則對應(yīng)x1,x2,x3的概率p1,p2,p3分別為________,_______,_______.4.一個口袋中裝有大小相同的2個白球和4個黑球.若采取放回抽樣方式,從中摸出兩個球,則兩球恰好顏色不同的概率為________,若采取不放回抽樣方式,從中摸出兩個球,則摸出白球的個數(shù)的方差為________.

5.已知隨機(jī)變量X的分布列為:X01xPp若E(X)=.(1)求D(X)的值;(2)若Y=3X-2,求的值.6.甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機(jī)變量ξ,η,已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán),且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為,3a,a,,乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為,,.(1)求ξ,η的分布列;(2)求ξ,η的均值與方差,并以此比較甲、乙的射擊技術(shù).,B兩個投資項目的利潤率分別為隨機(jī)變量X1和X2.根據(jù)市場分析,X1和X2的分布列分別為X15%10%PX22%8%12%P(1)在A,B兩個項目上各投資100萬元,Y1(萬元)和Y2(萬元)分別表示投資項目A和B所獲得的利潤,求方差D(Y1),D(Y2);(2)將x(0≤x≤100)萬元投資A項目,(100-x)萬元投資B項目,f(x)表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x為何值時,f(x)取到最小值.參考答案1.(多選題)已知隨機(jī)變量X的分布列為X-101Pa則下列式子正確的是()(X=0)= =(X)=- (X)=分析：選ABC.由分布列可知,P(X=0)=,a=1--=,E(X)=(-1)×+0×+1×=-;D(X)=×+×+×=.2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為X-101P若Y=2X+2,則D(Y)等于() B. C. D.分析：選D.由題意知,E(X)=-1×+0×+1×=-,故D(X)=×+×+×=,D(Y)=D(2X+2)=4D(X)=4×=.3.拋擲一枚硬幣,規(guī)定正面向上得1分,反面向上得-1分,則得分X的均值與方差分別為()(X)=0,D(X)=1 (X)=,D(X)=(X)=0,D(X)= (X)=,D(X)=1分析：選A.拋擲一枚硬幣,規(guī)定正面向上得1分,反面向上得-1分,則得分X的分布列為X1-1P所以E(X)=1×+(-1)×=0,D(X)=(1-0)2×+(-1-0)2×=1.4.(多選題)編號為1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號為1,2,3的三個座位,每位學(xué)生坐一個座位,設(shè)與座位編號相同的學(xué)生的人數(shù)是ξ,則()A.ξ的所有取值是1,2,3 (ξ=1)=(ξ)=1 (ξ)=1分析：選BCD.ξ的所有可能取值為0,1,3,ξ=0表示三位同學(xué)全坐錯了,有2種情況,即編號為1,2,3的座位上分別坐了編號為2,3,1或3,1,2的學(xué)生,則P(ξ=0)==;ξ=1表示三位同學(xué)只有1位同學(xué)坐對了,則P(ξ=1)==;ξ=3表示三位同學(xué)全坐對了,即對號入座,則P(ξ=3)==.所以ξ的分布列為ξ013PE(ξ)=0×+1×+3×=1.D(ξ)=×(0-1)2+×(1-1)2+×(3-1)2=1.5.若某事件在一次試驗中發(fā)生次數(shù)的方差等于,則該事件在一次試驗中發(fā)生的概率為________.

分析：事件在一次試驗中發(fā)生次數(shù)記為X,則X服從兩點分布,則D(X)=p(1-p),所以p(1-p)=,解得p=.答案:6.有10張卡片,其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5,若從中隨機(jī)抽出3張,設(shè)這3張卡片上的數(shù)字和為X,則D(X)=________.

分析：由題意得,隨機(jī)變量X的可能取值為6,9,12.P(X=6)==,P(X=9)==,P(X=12)==,則E(X)=6×+9×+12×=,D(X)=×2+×2+×2=.答案:7.根據(jù)以往經(jīng)驗,一輛從北京開往天津的長途汽車在無雨天盈利230元,小雨天盈利163元,中雨天盈利90元.根據(jù)天氣預(yù)報,明天無雨的概率是,有小雨的概率是,有中雨的概率是.問:明天發(fā)一輛長途汽車盈利的期望是多少元?方差和標(biāo)準(zhǔn)差各是多少?分析：用X表示明天發(fā)一輛車的盈利,由題意知P(X=230)=,P(X=163)=,P(X=90)=,所以E(X)=230×+163×+90×=(元).所以明天發(fā)一輛長途汽車盈利的期望是元.方差D(X)=2×+2×+2×=3,標(biāo)準(zhǔn)差=≈55.所以方差和標(biāo)準(zhǔn)差各是3,55.8.設(shè)在12個同類型的零件中有2個次品,抽取3次進(jìn)行檢驗,每次抽取一個,并且取出不再放回,若以X和Y分別表示取出次品和正品的個數(shù).(1)求X的分布列、均值及方差;(2)求Y的分布列、均值及方差.分析：(1)X的可能值為0,1,2.若X=0,表示沒有取出次品,其概率為P(X=0)==,同理,有P(X=1)==,P(X=2)==.所以X的分布列為X012P所以E(X)=0×+1×+2×=.D(X)=×+×+×=.(2)Y的可能值為1,2,3,顯然X+Y=3.P(Y=1)=P(X=2)=,P(Y=2)=P(X=1)=,P(Y=3)=P(X=0)=.所以Y的分布列為Y123P所以Y=-X+3,所以E(Y)=E(3-X)=3-E(X)=3-=,D(Y)=(-1)2D(X)=.擴(kuò)展練習(xí)1.某同學(xué)上學(xué)路上要經(jīng)過3個路口,在每個路口遇到紅燈的概率都是,且在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的,記X為遇到紅燈的次數(shù),若Y=3X+5,則Y的標(biāo)準(zhǔn)差為()A. C. 分析：選A.因為該同學(xué)經(jīng)過每個路口時,是否遇到紅燈互不影響,所以可看成3次獨立重復(fù)試驗,即X～B,則X的方差D(X)=3××=,所以Y的方差D(Y)=32·D(X)=9×=6,所以Y的標(biāo)準(zhǔn)差為=.2.若X是離散型隨機(jī)變量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,又已知E(X)=,D(X)=,則x1+x2的值為()A. B. D.分析：選C.x1,x2滿足解得或因為x1<x2,所以x1=1,x2=2,所以x1+x2=3.3.已知離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1=-1,x2=0,x3=1,且E(X)=,D(X)=,則對應(yīng)x1,x2,x3的概率p1,p2,p3分別為________,_______,_______.分析：由題意知,-p1+p3=,++=.又p1+p2+p3=1,解得p1=,p2=,p3=.答案:4.一個口袋中裝有大小相同的2個白球和4個黑球.若采取放回抽樣方式,從中摸出兩個球,則兩球恰好顏色不同的概率為________,若采取不放回抽樣方式,從中摸出兩個球,則摸出白球的個數(shù)的方差為________.

分析：“有放回摸取”可看作獨立重復(fù)試驗,每次摸出一球是白球的概率為p==.所以“有放回摸兩次,顏色不同”的概率為××=.“不放回抽取”時,設(shè)摸出白球的個數(shù)為X,依題意得P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.所以E(X)=0×+1×+2×=,D(X)=×+×+×=.答案:5.已知隨機(jī)變量X的分布列為:X01xPp若E(X)=.(1)求D(X)的值;(2)若Y=3X-2,求的值.分析：由分布列的性質(zhì),得++p=1,解得p=,因為E(X)=0×+1×+x=,所以x=2.(1)D(X)=×+×+×==.(2)因為Y=3X-2,所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5,所以=.6.甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機(jī)變量ξ,η,已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán),且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為,3a,a,,乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為,,.(1)求ξ,η的分布列;(2)求ξ,η的均值與方差,并以此比較甲、乙的射擊技術(shù).分析：(1)由題意得:+3a+a+=1,解得a=.因為乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為,,.所以乙射中7環(huán)的概率為1-++=.所以ξ,η的分布列分別為ξ10987Pη10987P(2)由(1)得E(ξ)=10×+9×+8×+7×=;E(η)=10×+9×+8×+7×=;D(ξ)=2×+2×+2×+2×=;D(η)=2×+2×+2×+2×=.由于E(ξ)>E(η),D(ξ)<D(η),說明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高,且成績比較穩(wěn)定,所以甲比乙的射擊技術(shù)好.,B兩個投資項目的利潤率分別為隨機(jī)變量X1和X2.根據(jù)市場分析,X1和X2的分布列分別為X15%10%PX22%8%12%P(1)在A,B兩個項目上各投資100萬元,Y1(萬元)和Y2(萬元)分別表示投資項目A和B所獲得的利潤,求方差D(Y1),D(Y2);(2)將x(0≤x≤100)萬元投資A項目,(100-x)萬元投資B項目,f(x)表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差