空間直線平面的垂直【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修講義

空間直線、平面的垂直空間直線、平面的垂直1、了解求異面直線所形成的角的步驟2、掌握直線與平面垂直的證明方法探索新知3、理解平面與平面垂直的證明方法探索新知一、直線與直線垂直兩條異面直線所成的角的定義已知兩條異面直線a,b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線，，把直線，所成的角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）兩條異面直線垂直的定義如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直，直線a與直線b垂直，記作a⊥b異面直線所成的角的范圍異面直線所成的角必須是銳角或直角，即的取值范圍是直線與平面垂直1.定義：一般地，如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面互相垂直，記作直線叫做平面的垂點(diǎn)，平面叫做直線的垂面，直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足2.點(diǎn)到平面的距離（1）過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條（2）定義：過一點(diǎn)做垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離3.直線與平面垂直判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直4.直線與平面垂直性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行5.直線與平面、平面與平面之間的距離（1）一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離（2）如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面的距離6.直線與平面所成的角一條直線1與一個(gè)平面相交,但不與這個(gè)平面垂直,這條直線叫做這個(gè)平面的斜線,斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足.過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線A0叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角7.直線與平面所成角的范圍(1）一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角是90°;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),我們說它們所成的角是0°(2）直線與平面所成的角的取值范圍是0°≤0≤90°(3)斜線與平面所成的角是斜線與平面中所有直線所成角中最小的角.三、平面與平面垂直1.二面角如圖,從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面二面角的記法棱為AB,面分別為的二面角記作二面角在內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取P,Q，將這個(gè)二面角記作二面角(3)如果棱記作,那么這個(gè)二面角記作二面角或二面角二面角的平面角如圖,在二面角的棱上任取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為垂足,在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線OA和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.二面角的度量(1)二面角的大小可以用它的平面角來度量,二面角的平面角是多少度,就說這個(gè)二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.(2)二面角的平面角的取值范圍是2.平面與平面垂直平面與平面垂直的定義定義:一般地,兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直.平面與垂直,記作(2)畫法:如圖,畫兩個(gè)互相垂直的平面時(shí),通常把表示平面的兩個(gè)平行四邊形的一組邊畫成垂直平面與平面垂直的判定及性質(zhì)自然語言符號語言判定定理如果一個(gè)平面過另個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直,如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線,那么這條直線與另一個(gè)平面垂直概念辨析概念辨析思考1思考11.如圖，在四棱錐P-ABCD的展開圖中，點(diǎn)P分別對應(yīng)點(diǎn)P1，P2，P3，P4，已知A，D均在線段P1P3上，且P1P（1）若M為線段BC的中點(diǎn)，證明：BC⊥平面PDM.（2）求二面角A-PB-C的余弦值.【答案】（1）證明：由P1P3⊥P2C，P因?yàn)锳D∩CD=D，所以PD⊥平面ABCD，則PD⊥BC.連接BD，取CD的中點(diǎn)E，連接BE，因?yàn)锳B=1所以BC=CD，BE=AD=3CE，所以從而△BCD為正三角形，又因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以DM⊥BC.又因?yàn)镻D∩DM=D，PD,DM?平面PDM，所以BC⊥平面PDM（2）解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA的方向?yàn)閤軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.設(shè)AB=1，則D(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,1,0)，從而PB=(3,1,-1)，BC設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z)則{n?PB令x=1，得n=(1,平面PAB的法向量m=(則{m?PB=0m?AB=0，即所以cos?由圖可知二面角A-PB-C為鈍角，故二面角A-PB-C的余弦值為-7【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定，用空間向量求平面間的夾角【解析】(1)根據(jù)題意與線面垂直的性質(zhì)定理即可得出線線垂直，再由正三角的性質(zhì)即可得出線線垂直然后與線面垂直的判定定理即可的得證出結(jié)論。

(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量和平面PBC法向量的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求出平面PBC的法向量的坐標(biāo)，同理即可求出平面PAB的法向量；結(jié)合空間數(shù)量積的運(yùn)算公式代入數(shù)值即可求出夾角的余弦值，由此得到二面角A-PB-C的余弦值。思考2思考2

2.如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PC⊥AC，BC⊥AC，AC=PC=2，CB=4，M是PA的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：PA⊥平面MBC；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)N是PB的中點(diǎn)，求二面角N-MC-B的余弦值．【答案】解：（Ⅰ）平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，∵PA?平面PAC，∴BC⊥PA，∵AC=PC，M是PA的中點(diǎn)，∴CM⊥PA，∵CM∩BC=C，CM,BC?平面MBC，∴PA⊥平面MBC．（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PC?平面PAC，PC⊥AC∴PC⊥平面ABC，∵BC?平面ABC，∴PC⊥BC，以C為原點(diǎn)，CA，CB，CP為x，y，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，A(2,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,0)，P(0,0,2)，M(1,0,1)，N(0,2,1)，則CM=(1,0,1)，CN=(0,2,1)，由（Ⅰ）知PA=(2,0,-2)是平面MBC設(shè)n=(x,y,z)是平面MNC則有{CM?n令y=1，則z=-2，x=2，∴n=(2,1,-2)設(shè)二面角N-MC-B所成角為θ，由圖可得θ為銳角，則cosθ=|【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定，用空間向量求平面間的夾角【解析】（1）利用已知條件結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理推出線線垂直，即BC⊥AC，再利用線線垂直證出線面垂直，即BC⊥平面PAC，再利用線面垂直的定義證出線線垂直，即BC⊥PA，思考3因?yàn)锳C=PC，M是PA的中點(diǎn)，再利用等腰三角形三線合一，進(jìn)而推出線線垂直，即CM⊥PA，再利用線線垂直證出線面垂直，即證出PA⊥平面MBC。

（2）利用平面PAC⊥平面ABC，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理推出線線垂直，即PC⊥AC，再利用線線垂直證出線面垂直，即PC⊥平面ABC，再利用線面垂直的定義證出線線垂直，即PC⊥BC，以C為原點(diǎn)，CA，CB，CP為x，y，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)表示求出向量的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積求向量夾角公式，進(jìn)而結(jié)合中點(diǎn)的性質(zhì)，從而求出二面角N-MC-B的余弦值。思考33.如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB//CD,PD⊥AD,（1）證明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）過PD的平面交AB于點(diǎn)E,若平面PDE把四棱錐P-ABCD分成體積相等的兩部分，求平面PAD與平面PCE所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明：如圖，取AB的中點(diǎn)M,連結(jié)DM,DB，∵CD=1∴CD=MB，∵CD//∴四邊形BCDM為平行四邊形，∴DM=BC，∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB//∴DM=BC=AD，又AD=CD=1∴△AMD為等邊三角形，∴∠DAM=∠DMA=60∴在等腰△MBD中，∠MBD=30∴在△ADB中，∠ADB=90不妨設(shè)2PD=2AD=2CD=AB=PB=2，則BD=3在△PBD中，BD=3∴PD∴PD⊥BD，又PD⊥AD,AD?平面ABCD,BD?平面ABCD,AD∩BD=D，∴PD⊥平面ABCD，又PD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD

（2）解：∵PD⊥AD,PD⊥BD,AD⊥BD，∴以AD,BD,PD分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)PD=1，∵平面PDE把四棱錐P-ABCD分成體積相等的兩部分，三棱錐P-ADE的體積等于四棱錐P-BCDE，∴1∴S設(shè)梯形ABCD的高為h,AE=x則12解得x=3則D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),P(0,0,1)，PN=(-∵y軸⊥平面PAD,∴平面PAD的一個(gè)法向量為n=(0,1,0)設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為m=(x,y,z)則{m即{-取x=-3,則∴m∴cos∴平面PAD與平面PCE所成銳二面角的余弦值為64【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定，用空間向量求平面間的夾角【解析】（1）作DF⊥AB交AB于點(diǎn)F，連結(jié)BD，在△ABD中，利用余弦定理求出BD，然后由勾股定理可證PD⊥BD，再利用線面垂直的判定定理可證PD⊥平面ABCD，由面面垂直的判斷定理證明即可；

（2）利用平面PDE把四棱錐P-ABCD分成體積相等的兩部分，可得S△ADE思考4思考44.如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為平行四邊形，AD=3，AB=5，（1）求證：平面DBE⊥平面ADD（2）求直線AD1和平面【答案】（1）證明：由題意可得BD所以AD2+B在直四棱柱ABCD-ADD1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD又因?yàn)锳D∩DD1=D，AD,DD1?平面因?yàn)锽D?平面DBE，所以平面DBE⊥平面ADD（2）解：由（1）知，DA，DB，DD以D為原點(diǎn)，DA，DB，DD1所在直線為x，y，則D(0,0,0)，A(3,0,0)，D1(0,0,4)，由AB=DC可得C(-3,4,0)，所以則AD1=(-3,0,4)，DB設(shè)n=(x,y,z)是平面BDE則{DB令x=2，可得n=(2,0,3)設(shè)直線AD1和平面BDE所成的角為則sinθ=|【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定，用空間向量求直線與平面的夾角【解析】（1）利用已知條件結(jié)合余弦定理和勾股定理，進(jìn)而證出線線垂直，即AD⊥BD，在直四棱柱ABCD-A1B1C

DD1⊥BD，再利用線線垂直證出線面垂直，所以BD⊥平面ADD1，再利用線面垂直證出面面垂直，從而證出平面DBE⊥平面ADD1。

（2）由（1）知，DA，DB，DD1兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，DA，DB，DD11.已知m，n為兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不同的平面，下列為真命題的是（

）A.

m⊥n,m//α?n⊥α

B.

n//β,β⊥α?n⊥αC.

m//n,m⊥β?n⊥β

D.

m//α,n?α?m//n2.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α,β是兩個(gè)不重合的平面，下列命題中正確的是（

）①m⊥nn?α}?m⊥α

②m⊥αm?β}?α⊥β

③A.

①②

B.

①④

C.

②③

D.

②④3.已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說法正確的是（

）A.

若m//α,n//α,則m//n

B.

若m⊥α，n?α，則m⊥n

C.

若m⊥α，m⊥n，則n//α

D.

若m//α，m⊥n，則n⊥α4.設(shè)m,n是兩條不同的直線，α,β,γ是三個(gè)不同的平面，給出下面四個(gè)命題：⑴若α⊥β,β⊥γ，則α//γ（2）若α⊥β,m?α,n?β,則m⊥n（3）若m//α,n?α，則m//n（4）若α//β,γ∩α=m,γ∩β=n，則m//n其中正確命題個(gè)數(shù)是﹙

﹚A.

1

B.

2

C.

3