簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修同步講義

第八章立體幾何初步數(shù)第八章立體幾何初步數(shù)§簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積88知識(shí)索引索引1：幾何體的表面積（1）棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是面面積之和（2）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和索引2：表面積、全面積和側(cè)面積表面積：立體圖形的所能觸摸到的面積之和叫做它的表面積。（每個(gè)面的面積相加）全面積：是立體幾何里的概念，相對(duì)于截面積（“截面積”即切面的面積）來(lái)說(shuō)的，就是表面積總和側(cè)面積：指立體圖形的各個(gè)側(cè)面的面積之和（除去底面）索引3：體積1.概念幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積V長(zhǎng)方體=abcV長(zhǎng)方體=abc例圖推論1、長(zhǎng)方體的體積等于它的底面積s和高h(yuǎn)的積。VV長(zhǎng)方體=sh例圖：推論2、正方體的體積等于它的棱長(zhǎng)a的立方。VV正方體=a3例圖：索引4：柱、錐、臺(tái)的體積(1)長(zhǎng)方體的體積V長(zhǎng)方體＝abc＝Sh.(其中a、b、c為長(zhǎng)、寬、高，S為底面積，h為高)(2)柱體(圓柱和棱柱)的體積V柱體＝Sh.其中，V圓柱＝πr2h(其中r為底面半徑)．(3)錐體(圓錐和棱錐)的體積V錐體＝Sh.其中V圓錐＝1∕3πr2h,r為底面半徑．(4)臺(tái)體的體積公式V臺(tái)＝h(S＋＋S′)．其中V圓臺(tái)＝1∕3πR3注：h為臺(tái)體的高，S′和S分別為上下兩個(gè)底面的面積．索引5：球的體積一個(gè)半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個(gè)以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)圓錐后，所得的幾何體的體積與一個(gè)半徑為R的半球的體積相等索引6：規(guī)律總結(jié)1．直棱柱的側(cè)面展開圖是一些矩形，正棱錐的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰三角形，正棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰梯形．2．斜棱柱的側(cè)面積等于它的直截面(垂直于側(cè)棱并與每條側(cè)棱都相交的截面)的周長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)的乘積．3．如果直棱柱的底面周長(zhǎng)是c，高是h，那么它的側(cè)面積是S直棱柱側(cè)＝ch.4．應(yīng)注意各個(gè)公式的推導(dǎo)過(guò)程，不要死記硬背公式本身，要熟悉柱體中的矩形、錐體中的直角三角形、臺(tái)體中的直角梯形等特征圖形在公式推導(dǎo)中的作用．5．如果不是正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)，在求其側(cè)面積或全面積時(shí)，應(yīng)對(duì)每一個(gè)側(cè)面的面積分別求解后再相加．6．求球的體積和表面積的關(guān)鍵是求出球的半徑．反之，若已知球的表面積或體積，那么就可以得出其半徑的大?。?．計(jì)算組合體的體積時(shí)，首先要弄清楚它是由哪些基本幾何體構(gòu)成，然后再通過(guò)軸截面分析和解決問(wèn)題．8．計(jì)算圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解．8精例探究精例探究精例1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A.

4

B.

3

C.

42

D.

【答案】D【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征，球的體積和表面積【解析】【解答】解：因?yàn)椤螦BC=π2，所以將直三棱柱ABC-A設(shè)球的半徑為R，則4πR2=16π設(shè)直三棱柱的高為h，則4R2=解得h=22，所以直三棱柱的高為2故答案為：D

【分析】因?yàn)椤螦BC=π2，所以將直三棱柱ABC-A精例1.如圖，一個(gè)四棱柱形容器中盛有水，在底面ABCD中，AB//CD，AB=3，CD=1，側(cè)棱AA1=4，若側(cè)面AA1A.

2

B.

52

C.

3

D.

【答案】B【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【解析】【解答】設(shè)四棱柱的底面梯形的高為2a，AD,BC的中點(diǎn)分別為F,E，所求的水面高為h，則水的體積V=S所以h=5故答案為：B。

【分析】設(shè)四棱柱的底面梯形的高為2a，AD,BC的中點(diǎn)分別為F,E，所求的水面高為h，再利用四棱柱的體積公式，進(jìn)而求出水的體積，再結(jié)合已知條件，進(jìn)而求出水面的高8課堂反饋課堂反饋練習(xí)1牙雕套球又稱“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當(dāng)繁復(fù)，工藝要求極高.明代曹昭在《格古要論·珍奇·鬼工毬》中寫道：“嘗有象牙圓毬兒一箇，中直通一竅，內(nèi)車數(shù)重，皆可轉(zhuǎn)動(dòng)，故謂之鬼工毬”.現(xiàn)有某“鬼工球”，由外及里是兩層表面積分別為100π?cm2和64π?cm2的同心球（球壁的厚度忽略不計(jì)），在外球表面上有一點(diǎn)A，在內(nèi)球表面上有一點(diǎn)B，連接線段

41cm

B.

9cm

C.

3cm

D.

2cm練習(xí)2.高二A班計(jì)劃在學(xué)校即將舉辦的夏季游園會(huì)上為同學(xué)們提供單球冰激凌的銷售服務(wù).已知購(gòu)買一圓柱形桶裝冰激凌需要1300元，此桶裝冰激凌桶內(nèi)底面直徑為25厘米，冰激凌凈高20厘米.單球冰激凌的平均直徑約為5厘米，一副一次性杯勺的成本約1元(其他成本忽略不計(jì)).根據(jù)前期調(diào)查，冰激凌球能全部售完.高二A班打算將每個(gè)單球冰激凌定價(jià)為15元，你認(rèn)為這樣的定價(jià)是否合理？請(qǐng)作出必要的計(jì)算，結(jié)合計(jì)算結(jié)果闡述你的理由.8參考答案.參考答案練習(xí)1【答案】C【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義，球的體積和表面積【解析】【解答】因?yàn)橥馇虻谋砻娣e為100π?cm2所以外球的半徑為5cm，內(nèi)球的半徑為4cm，如圖，以外球表面上一點(diǎn)A、內(nèi)球表面上有一點(diǎn)B以及球心O作截面，因?yàn)榫€段AB不穿過(guò)小球內(nèi)部，所以當(dāng)線段AB與內(nèi)球相切時(shí)線段AB的長(zhǎng)度最大，則線段AB最長(zhǎng)為52故答案為：C.【分析】根據(jù)題意由球的表面積公式求出半徑的值，結(jié)合題意所以當(dāng)線段AB與內(nèi)球相切時(shí)線段AB的長(zhǎng)度最大，結(jié)合勾股定理計(jì)算