【優(yōu)化方案】高中數(shù)學 第2章2.2.2反證法課件 新人教選修12

2．2.2反證法學習目標1.了解反證法是間接證明的一種基本方法．2．理解反證法的思考過程，會用反證法證明數(shù)學問題．知能優(yōu)化訓練課前自主學案

2．2.2反證法課堂互動講練課前自主學案綜合法是“________”，而分析法則是“________”．它們是截然相反的兩種證明方法，分析法便于我們?nèi)ふ宜悸?，而綜合法便于過程的敘述，兩種方法各有所長，在解決具體的問題時，綜合運用效果會更好．溫故夯基由因?qū)Ч麍?zhí)果索因1．反證法假設(shè)原命題______(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明________，從而證明了__________，這種證明方法叫做反證法．2．反證法常見矛盾類型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以是與________、____、____、____等矛盾．知新益能不成立假設(shè)錯誤原命題成立已知條件公理定義定理用反證法證明命題“若p，則q”時，為什么q假q就真？提示：在證明數(shù)學命題時，要證明的結(jié)論要么正確，要么錯誤，二者必居其一，所以命題結(jié)論q的反面q錯誤時，q就一定正確．問題探究課堂互動講練考點一用反證法證明否定性命題考點突破結(jié)論中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等詞語的命題，此類命題的反面比較具體，適于應(yīng)用反證法．【思路點撥】直接說明，不易入手，故應(yīng)用反證法.例1【思維總結(jié)】本題涉及方程的根，所以應(yīng)從根的范圍上或者從值域的表達式上尋找矛盾．變式式訓訓練練1已知知a＋b＋c＝0，求求證證：：ab＋bc＋ca不大大于于零零．．證明明：：假設(shè)設(shè)ab＋bc＋ca>0，因為為a2＋b2＋c2≥0.則(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)>0.所以以(a＋b＋c)2>0，即即a＋b＋c≠0，這這與與a＋b＋c＝0矛盾盾，，所所以以假假設(shè)設(shè)不不成成立立，，故故ab＋bc＋ca≤0.當命命題題中中出出現(xiàn)現(xiàn)“至少少………””、“至多多………””、“不都都………””、“都不不………””、“沒有有………””、“唯一一”等指指示示性性詞詞語語時時，，宜宜用用反反證證法法．．注注意意“至少少有有一一個個”、“至多多有有一一個個”、“都是是”的否否定定形形式式分分別別為為“一個個也也沒沒有有”、“至少少有有兩兩個個”、“不都都是是”．考點二用反證法證明存在性問題已知知a≥－1，求證三三個方程程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少少有一一個方方程有有實數(shù)數(shù)解．．例2【思維總總結(jié)】反證法法的主主要依依據(jù)是是邏輯輯中的的排中中律，，排中中律的的一般般表現(xiàn)現(xiàn)形式式是：：或者者是A，或者者非A，即在在同一一討論論過程程中，，A和非A有一個個且僅僅有一一個是是對的的，不不能有有第三三種情情形出出現(xiàn)．．結(jié)論以以“有且只只有一一個”、“只有一一個”、“唯一存存在”等形式式出現(xiàn)現(xiàn)的命命題，，由于于反設(shè)設(shè)結(jié)論論易于于導出出矛盾盾，所所以用用反證證法證證其唯唯一性性簡單單明了了．已知：：一點點A和平面面α.求證：：經(jīng)過過點A只能有有一條條直線線和平平面α垂直．．考點三用反證法證明唯一性問題例3【思路點點撥】【證明】根據(jù)點A和平面α的位置關(guān)系系，分兩種種情況證明明．圖1(1)如圖1，點A在平面α內(nèi)，假設(shè)經(jīng)經(jīng)過點A至少有平面面α的兩條垂線線AB、AC，那么AB、AC是兩條相交交直線，它它們確定一一個平面β，平面β和平面α相交于經(jīng)過過點A的一條直線線a.因為AB⊥平面α，AC⊥平面α，a?α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β內(nèi)經(jīng)過點A有兩條直線線都和直線線a垂直，這與與平面幾何何中經(jīng)過直直線上一點點只能有已已知直線的的一條垂線線相矛盾．．(2)如圖2，點A在平面α外，假設(shè)經(jīng)經(jīng)過點A至少有平面面α的兩條垂線線AB和AC(B、C為垂足)，那么AB、AC是兩條相交交直線，它它們確定一一個平面β，平面β和平面α相交于直線線BC，因為AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC?α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.圖2在平面β內(nèi)經(jīng)過點A有兩條直線線都和BC垂直，這與與平面幾何何中經(jīng)過直直線外一點點只能有已已知直線的的一條垂線線相矛盾．．綜上，經(jīng)過過一點A只能有平面面α的一條垂線線．【思維總結(jié)】證明“有且只有一一個”的問題，需需要證明兩兩個命題，，即存在性性和唯一性性．變式訓練3求證方程2x＝3有且僅有一一個實根．．證明：∵2x＝3，∴x＝log23，這說明明方程有有一個根根．下面用反反證法證證明根的的唯一性性．假設(shè)方程程2x＝3有兩個根根b1，b2(b1≠b2)，則2b1＝3,2b2＝3，兩式相相除得2b1－b2＝1，如果b1－b2>0，則2b1－b2>1，這與2b1－b2＝1相矛盾．．如果b1－b2<0，則2b1－b2<1，這與2b1－b2＝1相矛盾．．因此b1－b2＝0，則b1＝b2，這與b1≠b2相矛盾．．如果方程程的根多多于兩個個，同樣樣可推出出矛盾．．故方程2x＝3有且只有有一個根根．方法技巧巧1．反證法法不是直直接去證證明結(jié)論論，而是是先否定定結(jié)論，，在否定定結(jié)論的的基礎(chǔ)上上，運用用演繹推推理，導導出矛盾盾，從而而肯定結(jié)結(jié)論的真真實性．．方法感悟2．結(jié)論為為肯定形形式或者者否定形形式的命命題的證證明常用用反證法法，通過過反設(shè)將將肯定命命題轉(zhuǎn)化化為否定定命題或或?qū)⒎穸ǘ}轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為肯肯定命題題，然后后用轉(zhuǎn)化化后的命命題作為為條件進進行推理理，很容容易推出出矛盾，，從而達達到證題題的目的的．3．常用正正面詞語語的否定定形式正面詞語否定正面詞語否定等于不等于都是不都是(至少有一個不是)小于不小于(大于或等于)