第三章 流體靜力學(xué)

ChapterThree流體靜力學(xué)FluidStatics第三章流體靜力學(xué)第三章 流體靜力學(xué)

§3.1

流體靜壓強(qiáng)及其特性§3.2

流體平衡(微分)方程式§3.3

流體靜力學(xué)基本方程式(重力場中流體的平衡帕斯卡原理)§3.4

絕對壓強(qiáng)計(jì)示壓強(qiáng)液柱式測壓計(jì)§3.5

液體的相對平衡§3.6

靜止液體作用在平面上的總壓力§3.7 靜止液體作用在平面上的總壓力§3.8 靜止液體作用在潛體和浮體上的浮力流體模型分類

流體模型

按粘性分類

無粘性流體

粘性流體

牛頓流體

非牛頓流體

按可壓縮性分類

可壓縮流體

不可壓縮流體

其他分類

完全氣體

正壓流體

斜壓流體

均質(zhì)流體

等熵流體

恒溫流體本章基本要求

流體靜壓強(qiáng)及其特性，流體的平衡微分方程式，絕對與相對靜止流體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律及計(jì)算，平面與曲面上的流體總壓力?！办o”——絕對靜止、相對靜止質(zhì)量力表面力作用在流體上的力

表面力的分類內(nèi)法線方向:法向應(yīng)力——壓強(qiáng)

切線方向：切向應(yīng)力——剪切力流體相對運(yùn)動時因粘性而產(chǎn)生的內(nèi)摩擦力ΔFΔAΔFnΔFτ第二章流體靜力學(xué)§3.1流體靜壓強(qiáng)及其特性流體處于絕對靜止或相對靜止時的壓強(qiáng)一、流體的靜壓強(qiáng)

ΔFΔAΔFnΔFτ第三章流體靜力學(xué)§3.1流體靜壓強(qiáng)及其特性二、流體靜壓強(qiáng)的兩個特性

1.方向性

流體靜壓力的方向總是沿著作用面的內(nèi)法線方向；(2)因流體幾乎不能承受拉力，故p指向受壓面。原因:(1)靜止流體不能承受剪力，即τ=0，故p垂直受壓面；第三章流體靜力學(xué)§3.1流體靜壓強(qiáng)及其特性二、流體靜壓強(qiáng)的兩個特性

2.大小性

流體靜壓力與作用面在空間的方位無關(guān)，僅是該點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)。略去無窮小項(xiàng)o

zxdz

dx

dy

yBDCo

靜壓強(qiáng)特征1.靜壓強(qiáng)方向沿作用面的內(nèi)法線方向2.任一點(diǎn)靜壓強(qiáng)的大小與作用面的方位無關(guān)

第三章流體靜力學(xué)§3.2流體平衡微分方程式一、平衡微分方程式

在靜止流體中取如圖所示微小六面體。設(shè)其中心點(diǎn)a(x,y,z)的密度為ρ，壓強(qiáng)為p，所受質(zhì)量力為f。

y

z

o

y

x

z

y

dx

dz

dy

a

f,p,ρ

第二章流體靜力學(xué)§3.2流體平衡微分方程式以x方向?yàn)槔?列力平衡方程式表面力：

質(zhì)量力:

p-p/x?dx/2

p+p/x?dx/2

y

z

o

y

x

z

y

dx

dz

dy

b

a

c

f,p,ρ

第三章流體靜力學(xué)§3.2流體平衡微分方程式同理，考慮y，z方向，可得:上式即為流體平衡微分方程

(歐拉平衡微分方程)

一、平衡微分方程式（續(xù)）

1.平衡微分方程式（續(xù)）物理意義：

在靜止流體中，單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力與靜壓強(qiáng)的合力相平衡適用范圍：所有靜止流體或相對靜止的流體。第三章流體靜力學(xué)§3.2流體平衡微分方程式流體靜壓強(qiáng)的增量決定于質(zhì)量力。一、平衡微分方程式（續(xù)）

2.壓強(qiáng)差公式

物理意義：第三章流體靜力學(xué)§3.2流體平衡微分方程式二、力的勢函數(shù)和有勢力

1.力的勢函數(shù)

若存在函數(shù)π(x,y,z)滿足f=-gradπ,則稱f有勢，π為f

的勢函數(shù)。若質(zhì)量力f存在勢函數(shù)，則π為質(zhì)量力

的勢函數(shù)，質(zhì)量力為有勢力

（1）不可壓流體第三章流體靜力學(xué)§3.2流體平衡微分方程式二、力的勢函數(shù)和有勢力（續(xù)）

2.正壓流體重力是否有勢？重力有勢！第三章流體靜力學(xué)§3.2流體平衡微分方程式三、等壓面

1.定義

流場中壓強(qiáng)相等的各點(diǎn)組成的面。2.微分方程

3.性質(zhì)

或等壓面恒與質(zhì)量力正交。

第三章流體靜力學(xué)§3.3流體靜力學(xué)基本方程式一、流體靜力學(xué)基本方程式

作用在流體上的質(zhì)量力只有重力

均勻的不可壓縮流體積分得：z

x

p11

基準(zhǔn)面

z2p22

p0g

o

z11.基本方程式第三章流體靜力學(xué)§3.3流體靜力學(xué)基本方程式一、流體靜力學(xué)基本方程式（續(xù)）2.物理意義

位勢能壓強(qiáng)勢能hp總勢能

在重力作用下的連續(xù)均質(zhì)不可壓所靜止流體中，各點(diǎn)的單位重力流體的總勢能保持不變。第三章流體靜力學(xué)§3.3流體靜力學(xué)基本方程式一、流體靜力學(xué)基本方程式（續(xù)）3.幾何意義

位置水頭壓強(qiáng)水頭靜水頭在重力作用下的連續(xù)均質(zhì)不可壓靜止流體中，靜水頭線為水平線。p02

p2z2z11

p1完全真空

z11

2

z2pe2/g

A

A

A'

A'

基準(zhǔn)面

pe1/g

pa/g

p2/g

p1/g

p1p0p2pa第三章流體靜力學(xué)§3.3流體靜力學(xué)基本方程式一、流體靜力學(xué)基本方程式（續(xù)）4.帕斯卡原理

在重力作用下不可壓縮流體表面上的壓強(qiáng)，將以同一數(shù)值沿各個方向傳遞到流體中的所有流體質(zhì)點(diǎn)。a點(diǎn)壓強(qiáng)：壓強(qiáng)分布規(guī)律的最常用公式：——帕斯卡原理（壓強(qiáng)的傳遞性）適用范圍：1.重力場、不可壓縮的流體2.同種、連續(xù)、靜止第三章流體靜力學(xué)§3.4絕對壓強(qiáng)計(jì)示壓強(qiáng)液柱式測壓計(jì)

一、壓強(qiáng)的計(jì)量1.絕對壓強(qiáng)以完全真空為基準(zhǔn)計(jì)量的壓強(qiáng)。2.計(jì)示壓強(qiáng)以當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)為基準(zhǔn)計(jì)量的壓強(qiáng)。表壓：真空：完全真空p=0

大氣壓強(qiáng)p=p

a

p

o

絕對

壓強(qiáng)

絕對

壓強(qiáng)

a

p>p

a

p<p

計(jì)示

壓強(qiáng)

（真空）

計(jì)示

壓強(qiáng)

2.壓強(qiáng)的表示方法a.絕對壓強(qiáng)p以絕對真空為零點(diǎn)壓強(qiáng)pa——當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)paAhb.相對壓強(qiáng)（計(jì)算壓強(qiáng)、表壓）pgc.真空度pv以當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)為零點(diǎn)壓強(qiáng)注意：pv表示絕對壓強(qiáng)小于當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)而形成真空的程度，讀正值！pv3.壓強(qiáng)單位工程大氣壓（at）=0.9807×105Pa=735.5mmHg=10mH2O=1kg/cm2（每平方厘米千克力，簡讀公斤）標(biāo)準(zhǔn)大氣壓（atm）=1.013×105Pa=760mmHg=10.33mH2O換算：1kPa=103Pa

1bar=105PaPa(應(yīng)力單位）1Pa=1N/m2

第三章流體靜力學(xué)§3.4絕對壓強(qiáng)計(jì)示壓強(qiáng)液柱式測壓計(jì)

二、液柱式測壓計(jì)1.測壓管

測壓管是一根直徑均勻的玻璃管，直接連在需要測量壓強(qiáng)的容器上，以流體靜力學(xué)基本方程式為理論依據(jù)。表壓真空優(yōu)點(diǎn)：結(jié)構(gòu)簡單缺點(diǎn)：只能測量較小的壓強(qiáng)第三章流體靜力學(xué)§3.4絕對壓強(qiáng)計(jì)示壓強(qiáng)液柱式測壓計(jì)

二、液柱式測壓計(jì)2.U形管測壓計(jì)p

h11

2

A

h2ρ2ρ

pa優(yōu)點(diǎn)：可以測量較大的壓強(qiáng)第三章流體靜力學(xué)§3.4絕對壓強(qiáng)計(jì)示壓強(qiáng)液柱式測壓計(jì)

二、液柱式測壓計(jì)3.U形管差壓計(jì)測量同一容器兩個不同位置的壓差或不同容器的壓強(qiáng)差。1A

△z

2

h2h

B

第三章流體靜力學(xué)§3.4絕對壓強(qiáng)計(jì)示壓強(qiáng)液柱式測壓計(jì)

二、液柱式測壓計(jì)4.傾斜微壓計(jì)

p2

l

p1

a

h1

r

0

h2r

A2A1優(yōu)點(diǎn)：可以測量較小的壓強(qiáng)第三章流體靜力學(xué)§3.4絕對壓強(qiáng)計(jì)示壓強(qiáng)液柱式測壓計(jì)

二、液柱式測壓計(jì)5.補(bǔ)償式微壓計(jì)pap

r

par

pa三重密封容器上都裝有真空表,它們的讀數(shù)均相同,p1=p2=p3=20kPa(真空度),試求圖示U型水銀測壓計(jì)的的高度h及最里邊的窗口中的氣體壓強(qiáng)p.

h1=1.2m,h2=1m,h3=0.8m,h4=1m,h5=1.5m,Pa=101300Pa,ρ水=1000kg/m3,ρ酒精=760kg/m3

,試求各點(diǎn)的壓強(qiáng)及表1,3,6的讀數(shù).

兩杯中分別裝入互不相溶密度相近的兩種液體,ρ酒精=870kg/m3,ρ煤油=830kg/m3,當(dāng)氣體壓強(qiáng)差這P1-P2=0時,兩種液體的初始交界面在標(biāo)尺O處,已知U形管直徑d=5mm,兩杯直徑相同D=50mm.試確定使交界面上升至h=280mm時的壓強(qiáng)差.第三章流體靜力學(xué)§3.5液體的相對平衡

一、等加速水平運(yùn)動容器中液體的相對平衡

流體相對于地球有相對運(yùn)動，而流體微團(tuán)及流體與容器壁之間沒有相對運(yùn)動。質(zhì)量力

g

f

a

h

z

s

z

p

0

o

z

a

x

m

容器以等加速度a向右作水平直線運(yùn)動第三章流體靜力學(xué)§3.5液體的相對平衡

一、等加速水平運(yùn)動容器中液體的相對平衡（續(xù)）質(zhì)量力

g

f

a

h

z

s

z

p

0

o

z

a

x

m

1.等壓面方程積分等壓面是一簇平行的斜面。自由液面：第三章流體靜力學(xué)§3.5液體的相對平衡

一、等加速水平運(yùn)動容器中液體的相對平衡（續(xù)）g

f

a

h

z

s

z

p

0

o

z

a

x

m

2.靜壓強(qiáng)分布規(guī)律積分得：利用邊界條件：第三章流體靜力學(xué)§3.5液體的相對平衡

一、等加速水平運(yùn)動容器中液體的相對平衡（續(xù)）g

f

a

h

z

s

z

p

0

o

z

a

x

m

3.與絕對靜止情況比較（2）壓強(qiáng)分布（1）等壓面絕對靜止：相對靜止：絕對靜止：相對靜止：水平面斜面h－任一點(diǎn)距離自由液面的淹深例一灑水車以等加速a=0.98m/s2在平地行駛，靜止時，B點(diǎn)處水深1m，距o點(diǎn)水平距1.5m，求運(yùn)動時B點(diǎn)的水靜壓強(qiáng)(計(jì)示壓強(qiáng))(mmH2O)解：a=0.98m/s2，x=－1.5m，z=－1m，代入注意坐標(biāo)的正負(fù)號aoBzx計(jì)示壓強(qiáng)質(zhì)量力

1.等壓面方程等壓面是一簇平行的水平面。自由液面：§3.5液體的相對平衡

二、等加速鉛垂向下運(yùn)動容器中液體的相對平衡2.靜壓強(qiáng)分布規(guī)律利用邊界條件：§3.5液體的相對平衡

二、等加速鉛垂向下運(yùn)動容器中液體的相對平衡失重系數(shù)Weightlessnesscoefficient超重系數(shù)Overweightcoefficient第三章流體靜力學(xué)§3.5液體的相對平衡

二、等角速旋轉(zhuǎn)容器中液體的相對平衡質(zhì)量力

容器以等角速度ω旋轉(zhuǎn)z

z

s

h

z

m

p

0

o

o

y

2y2r2xx

x

y

r

y

第二章流體靜力學(xué)§3.5液體的相對平衡

質(zhì)量力

1.等壓面方程積分等壓面是一簇繞z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面。自由液面：二、等角速旋轉(zhuǎn)容器中液體的相對平衡（續(xù)）z

z

s

h

z

m

p

0

o

o

y

2y2r2xx

x

y

r

y

第三章流體靜力學(xué)§3.5液體的相對平衡

2.靜壓強(qiáng)分布規(guī)律積分得：利用邊界條件：z

z

s

h

z

m

p

0

o

o

y

2y2r2xx

x

y

r

y

二、等角速旋轉(zhuǎn)容器中液體的相對平衡（續(xù)）第三章流體靜力學(xué)§3.5液體的相對平衡

3.與絕對靜止情況比較（2）壓強(qiáng)分布（1）等壓面絕對靜止：相對靜止：絕對靜止：相對靜止：水平面旋轉(zhuǎn)拋物面h－任一點(diǎn)距離自由液面的淹深z

z

s

h

z

m

p

0

o

o

y

2y2r2xx

x

y

r

y

二、等角速旋轉(zhuǎn)容器中液體的相對平衡（續(xù)）等壓面EquipressureSurface在表面上頂蓋上的作用力中心開口表壓強(qiáng)絕對壓強(qiáng)Absolutepressure壓力邊緣開口第三章流體靜力學(xué)§3.5液體的相對平衡

4.實(shí)例二、等角速旋轉(zhuǎn)容器中液體的相對平衡（續(xù)）應(yīng)用（1）：離心鑄造機(jī)中心開孔ω例澆鑄生鐵車輪的砂型，已知h=180mm，D=600mm，鐵水密度ρ=7000kg/m3，求M點(diǎn)的壓強(qiáng)；為使鑄件密實(shí)，使砂型以n=600r/min的速度旋轉(zhuǎn)，則M點(diǎn)的壓強(qiáng)是多少？解：當(dāng)砂型旋轉(zhuǎn)壓強(qiáng)增大約100倍應(yīng)用（2）：離心泵（邊緣開口）zo邊界條件：當(dāng)r=R，p=pa=0在r=0處，壓力最低真空抽吸作用ω應(yīng)用（3）：清除雜質(zhì)（容器敞開）雜質(zhì)m1，流體m雜質(zhì)受力：ωmg（浮力）m1g（自重）m1ω2r（慣性離心力）mω2r（向心力）m1=m不可清除m1<m斜上m1>m斜下例1

一半徑為R的圓柱形容器中盛滿水，然后用螺栓連接的蓋板封閉，蓋板中心開有一小孔，當(dāng)容器以ω轉(zhuǎn)動時，求作用于蓋板上螺栓的拉力解：蓋板任一點(diǎn)承受的壓強(qiáng)為任一微小圓環(huán)受力整個蓋板受力（即螺栓承受的拉力）注意：就是壓力體的體積V例2

在D=30cm，高H=50cm的圓柱形容器中盛水，h=30cm，當(dāng)容器繞中心軸等角速度轉(zhuǎn)動時，求使水恰好上升到H時的轉(zhuǎn)數(shù)解：O點(diǎn)的位置由上題可知Hhωoz’z結(jié)論：未轉(zhuǎn)動時的水位在轉(zhuǎn)動時最高水位與最低水位的正中間Hhωoz’z解得：例3

一圓筒D=0.6m，h=0.8m，盛滿水，現(xiàn)以n=60rpm轉(zhuǎn)動，求筒內(nèi)溢出的水量解：利用例2結(jié)論溢出的水量體積rad/smz第三章流體靜力學(xué)§3.6靜止液體作用在平面上的總壓力

各點(diǎn)壓強(qiáng)大小：一、水平平面上的液體總壓力處處相等各點(diǎn)壓強(qiáng)方向：方向一致b

c

d

a

p

a

A

a

b

A

p

a

d

c

c

A

b

a

p

a

d

b

a

p

a

A

c

d

h

第二章流體靜力學(xué)§2.6靜止液體作用在平面上的總壓力

各點(diǎn)壓強(qiáng)大小：二、傾斜平面上的液體總壓力處處不相等各點(diǎn)壓強(qiáng)方向：方向一致作用在微分面積dA上的壓力：xo

yA

C

D

dA

a

b

p

F

dF

p

hDhCy

yCyDh

作用在平面ab上的總壓力：2.總壓力的大小1.總壓力的方向總壓力的方向垂直于受壓的平面第二章流體靜力學(xué)§3.6靜止液體作用在平面上的總壓力

二、傾斜平面上的液體總壓力(續(xù)）x

o

yA

C

D

dA

a

b

p

F

dF

p

hDhCy

yCyDh

作用在平面ab上的總壓力：由工程力學(xué)知：故即靜止液體作用在平面上的總壓力等于受壓面面積與其形心處的相對壓強(qiáng)的乘積。受壓面面積A對OY軸的靜矩第三章流體靜力學(xué)§3.6靜止液體作用在平面上的總壓力

二、傾斜平面上的液體總壓力（續(xù)）x

o

yA

C

D

dA

a

b

p

F

dF

p

hDhCy

yCyDh

3.總壓力的作用點(diǎn)合力矩定理：合力對某軸的矩等于各分力對同一軸的矩的代數(shù)和。受壓面A對ox軸的慣性矩。受壓面A對過形心點(diǎn)C且平行于oy軸的軸線的慣性矩。壓力中心D必位于受壓面形心c之下。常見圖形的xC和IC圖形名稱矩形三角形梯形圓半圓第三章流體靜力學(xué)§3.7靜止液體作用在曲面上的總壓力

各點(diǎn)壓強(qiáng)大小：大小不等各點(diǎn)壓強(qiáng)方向：方向不同因作用在曲面上的總壓力為空間力系問題，為便于分析，擬采用理論力學(xué)中的分解概念將其分解為水平分力和垂直分力求解。一、總壓力的大小和方向作用在微分面積dA上的壓力：x

A

z

d

c

P

a

o

h

c

h

A

x

z

b

a

dA

A

dF

p

dF

p

dF

pz

dF

px

dA

dA

x

dA

z

第三章流體靜力學(xué)§3.7靜止液體作用在曲面上的總壓力

一、總壓力的大小和方向（續(xù)）x

A

z

d

c

P

a

o

h

c

h

A

x

z

b

a

dA

A

dF

p

dF

p

dF

pz

dF

px

dA

dA

x

dA

z

1.水平分力

作用在曲面上的水平分力等于受壓面形心處的相對壓強(qiáng)與其在垂直坐標(biāo)面oyz的投影面積Ax的乘積。第三章流體靜力學(xué)§3.7靜止液體作用在曲面上的總壓力

一、總壓力的大小和方向（續(xù)）2.垂直分力

作用在曲面上的垂直分力等于壓力體的液體重力x

A

z

d

c

P

a

o

h

c

h

A

x

z

b

a

dA

A

dF

p

dF

p

dF

pz

dF

px

dA

dA

x

dA

z

式中：為曲面ab上的液柱體積abcd的體積，稱為壓力體。

第三章流體靜力學(xué)§3.7靜止液體作用在曲面上的總壓力

一、總壓力的大小和方向（續(xù)）

3.總壓力大?。嚎倝毫εc垂線間的夾角方向：A

x

z

b

a

P

a

A

z

x

dF

p

D

D'

（1）水平分力Fpx的作用線通過Ax的壓力中心；（4）將Fp的作用線延長至受壓面，其交點(diǎn)D即為總壓力在曲面上的作用點(diǎn)。（3）總壓力Fp的作用線由Fpx、Fpz的交點(diǎn)和確定；（2）鉛垂分力Fpz的作用線通過Vp的重心；確定方法：二、總壓力的作用點(diǎn)

第三章流體靜力學(xué)§3.7靜止液體作用在曲面上的總壓力

三、壓力體的兩點(diǎn)說明

壓力體僅表示的積分結(jié)果(體積)，與該體積內(nèi)是否有液體存在無關(guān)。

1.壓力體的虛實(shí)性實(shí)壓力體：壓力體abc包含液體體積，垂直分力方向垂直向下。虛壓力體：壓力體abc不包含液體體積，垂直分力方向垂直向上。b

c

a

b

a

c

第三章流體靜力學(xué)§3.7靜止液體作用在曲面上的總壓力

2.壓力體的組成受壓曲面（壓力體的底面）由受壓曲面邊界向自由液面或自由液面的延長面所作的鉛垂柱面（壓力體的側(cè)面）壓力體一般是由三種面所圍成的體積。自由液面或自由液面的延長面（壓力體的頂面）x

d

c

o

b

a

三、壓力體的兩點(diǎn)說明（續(xù)）第三章流體靜力學(xué)§3.8靜止液體作用在潛體和浮體上的浮力

浮體：W<gV，物體上升，浮出液體表面。潛體：W=gV，物體在液體中到處處于平衡狀態(tài)。沉體：W>gV，物體下沉，直至液體底部。物體沉沒在