第三章 多維隨機(jī)變量

§3.1多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布函數(shù)§3.2多維（離散型）隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列§3.3多維（連續(xù)型）隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)§3.4邊際分布于條件分布§3.5隨機(jī)變量的獨立性§3.6多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布第三章多維隨機(jī)變量

(Multidimensionalrandomvariable&itsdistributions)一、多維隨機(jī)變量的概念

定義3.1.1

若X,Y是兩個定義在同一個樣本空間上的隨機(jī)變量，則稱(X,Y)是二維隨機(jī)變量.

同理可定義n維（元）隨機(jī)變量

(隨機(jī)向量).§3.1

多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布函數(shù)二維隨機(jī)變量圖示:ω.(X(ω),Y(ω))炮彈的彈著點的位二維隨機(jī)變量(X,Y)

的性質(zhì)不僅與X

，Y考查某一地區(qū)學(xué)說明

實例1實例2而且還依賴于這兩個隨機(jī)變量的相互關(guān)系.有關(guān),構(gòu)成二維隨機(jī)變量(H,W).童的身高H

和體重W就前兒童的發(fā)育情況,機(jī)變量.置(X,Y)就是一個二維隨則兒推廣:n維隨機(jī)變量的概念二、多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)

定義3.1.2

F(x,y)=P(X

x,Yy)為(X,Y)的（聯(lián)合）分布函數(shù).

(以下僅討論兩維隨機(jī)變量)任對實數(shù)x

和y,

稱注意：F(x,y)為(X,Y)落在點(x,y)的左下區(qū)域的概率.XYxy(x,y)分布函數(shù)的三維圖像F(x,y)的用處：？圖示證明如：

聯(lián)合分布函數(shù)的基本性質(zhì)(1)F(x,y)關(guān)于x和y分別單調(diào)增.(2)0F(x,y)1，且F(,y)=F(x,)

=0，F(xiàn)(-,-)=0,

F(+,+)=1.(3)F(x,y)關(guān)于x和y分別右連續(xù).(4)當(dāng)a<c,b<d時，有F(c,d)

F(a,d)-F(c,b)+F(a,b)0.注意：上式左邊=P(a<Xc,b<Yd).(單調(diào)性)(有界性)(右連續(xù)性)(非負(fù)性)推廣:n維隨機(jī)變量的分布函數(shù)

二維離散隨機(jī)變量

一、二維離散型隨變量的聯(lián)合分布列定義3.2.1若(X,Y)的可能取值為有限對、或可列對，則稱(X,Y)為二維離散隨機(jī)變量.§3.2

多維（離散型）隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列二維離散型分布的聯(lián)合分布列稱pij

=P(X=xi,Y=yj)，i,j=1,2,...,為(X,Y)的聯(lián)合分布列，其表格形式如下:YXy1

y2…yj…x1x2…xi…

p11

p12…p1j…

p21

p22…p2j………………

pi1

pi2…pij………………聯(lián)合分布列的基本性質(zhì)(1)pij

0,

i,j=1,2,…(2)pij

=1.

(非負(fù)性)(規(guī)范性)(3)

P{(X,Y)∈D}=說明離散型隨機(jī)變量(X,Y)

的分布函數(shù)歸納為確定聯(lián)合分布列的方法

(1)確定隨機(jī)變量(X,Y)的所有取值數(shù)對.

(2)計算取每個數(shù)值對的概率.

(3)列出表格.解且由乘法公式得例3.2.1設(shè)隨機(jī)變量X

在1，2，3三個整數(shù)中等可能地取值，另一個隨機(jī)變量Y在1到X

中等可能地取一整數(shù)值。試求（X,Y）的聯(lián)合分布列及P（X=Y）.YX12311/30021/61/6031/91/91/9P（X=Y）=P（X=1，Y=1）+P（X=2，Y=2）+P（X=3，Y=3）=1/3+1/6+1/9=11/18.例

設(shè)隨機(jī)變量Y~N(0,1),解:

(X1,X2)的可能取值數(shù)對及相應(yīng)的概率如下：P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2)=P(|Y|≥2)=22Φ(2)=0.0455P(X1=0,X2=1)=P(|Y|≥1,|Y|<2)=P(1≤|Y|<2)=2[Φ(2)Φ(1)]=0.2719P(X1=1,X2=0)=P(|Y|<1,|Y|≥2)=0P(X1=1,X2=1)=P(|Y|<1,|Y|<2)=P(|Y|<1)=0.6826求

的聯(lián)合分布列.列表為：X101X2010.04550.271900.68261、多項分布二、常用的多維離散型分布

若每次試驗有r

種結(jié)果：A1,A2,……,Ar記P(Ai)=pi

,i=1,2,……,r記Xi

為n

次獨立重復(fù)試驗中Ai

出現(xiàn)的次數(shù).則(X1,X2,……,Xr)的聯(lián)合分布列為：例3.2.2

一批產(chǎn)品100件,其中一等品，二等品，三等品各有50，30，20件。從中有放回任取3件,以X,Y

分別記取到的第一等和第二等品件數(shù),求(X,Y)

的分布列.

(X,Y)

服從三項分布解

YX012300.0080.0360.0540.02710.0600.1800.135020.1500.2250030.1250002、多維超幾何分布從中任取n

只，記Xi

為取出的n

只球中，第i

種球的只數(shù).口袋中有N只球，分成r

類。第i

類球有Ni

只，

N1+N2+……+Nr

=N.則(X1,X2,……,Xr)的聯(lián)合分布列為：例3.2.3

一批產(chǎn)品7件,其中一等品，二等品，三等品各有3，2，2件。從中不放回任取4件,以X,Y

分別記取到的第一等和第二等品件數(shù),求(X,Y)

的分布列.

(X,Y)

服從二維超幾何分布解YX0120001/35106/356/3523/3512/353/3532/352/350P（X≤2,Y≤1）=21/35.定義3.3.1設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x,y)，使得一、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量。稱f(x,y)

為(聯(lián)合)概率密度函數(shù)?！?.3

多維（連續(xù)型）隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)多維隨機(jī)變量及其分布用mvnpdf和mvncdf函數(shù)可以計算二維正態(tài)分布隨機(jī)變量在指定位置處的概率和累積分布函數(shù)值。下面左圖和右圖分別為二維正態(tài)分布隨機(jī)變量的概率密度圖和累積分布圖。聯(lián)合密度函數(shù)的基本性質(zhì)(1)f(x,y)

0.

(非負(fù)性)

(2)(規(guī)范性)

注意：表示介于f(x,y)和xoy

平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于1.

說明例3.3.1

若(X,Y)～試求常數(shù)A及F(x,y).解:所以,A=6=A/6例3.3.1(續(xù))若(X,Y)～試求

P(X<1,Y>1);

P(X<Y).xy解:P(X<1,Y>1)11{x<1,y>1}例3.3.1續(xù)若(X,Y)～試求

P{(X,Y)D},其中D為2x+3y≤6.322x+3y=6xy0解:例

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為求概率P{X+Y≤1}.解:

P{X+Y≤1}=y=xx+y=11/2例3.3.2

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為推廣：n維聯(lián)合概率密度函數(shù)1、二維均勻分布若二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為：則稱(X,Y)服從D

上的

二維均勻分布，記為(X,Y)

U(D).其中SD為D的面積.二、常用的多維連續(xù)型分布

特別地，當(dāng)D為矩形區(qū)域時，即D＝｛（x，y）｜a≤x≤b，c≤y≤d｝則此二維均勻分布的聯(lián)合密度函數(shù)為推廣：n維均勻分布例

設(shè)D是以原點為圓心、以r為半徑的圓，（X，Y）服從D上的二維均勻分布,求概率P(|X|≤r/2).

(X,Y)

服從D上二維均勻分布，解2、二維(元)正態(tài)分布若二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為：則稱(X,Y)

服從二維(元)正態(tài)分布，記為(X,Y)

N(

).正態(tài)密度的圖形二維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率密度圖像二維正態(tài)分布的圖形：例3.3.2§3.4

邊際分布與條件分布問題：已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布，如何求出X和Y各自的分布（稱為邊際分布(marginaldistribution)）？一、邊際分布1.

邊際分布函數(shù)結(jié)論：巳知(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，則

YFY

(y)=F(+,y).

XFX

(x)=F(x,+),事實上:解例3.4.1

其它依次類推.推廣：多維邊際分布函數(shù)2.

邊際分布列結(jié)論：巳知(X,Y)的聯(lián)合分布列為pij，則

X的分布列為：

Y的分布列為：

事實上:XY1例如求邊際分布列：X01Y010.050.300.65例3.4.5

一批產(chǎn)品7件,其中一等品，二等品，三等品各有3，2，2件。從中不放回任取4件,以X,Y

分別記取到的第一等和第二等品件數(shù),求(X,Y)

的聯(lián)合分布列及邊際分布列.

(X,Y)

服從二維超幾何分布解

YX012pi.0123001/3506/356/35

3/3512/353/352/352/3501/3512/3518/354/35p.j1/74/72/71X0123P1/3512/3518/354/35即：Y012P

1/74/72/73.

邊際密度函數(shù)結(jié)論：巳知(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)，則

X的密度函數(shù)為：

Y的密度函數(shù)為：

設(shè)連續(xù)型二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為f(x,y)則從而得到X和Y的概率密度函數(shù)分別為例3.4.4

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為求fX(x),fY(y).解:y=x

1y=-x例

設(shè)(X,Y)服從區(qū)域D={(x,y),x2+y2<1}

上的均勻分布，求X的邊際密度fX(x).解:

由題意得xy-11當(dāng)|x|≥1時，f(x,y)=0，所以fX(x)=0當(dāng)|x|<1時,二維均勻分布的邊際分布不一定是一維均勻分布.二維正態(tài)分布的邊際分布是一維正態(tài)（例3.4.3，P106）：

即若(X,Y)

N(

)，注意點(1)

則X

N(

)，

Y

N(

).二維正態(tài)分布的兩個邊際分布都是一維正態(tài)分布,并且不依賴參數(shù)ρ.（1）（X,Y）關(guān)于X的邊際密度函數(shù)

（2）（X，Y）關(guān)于Y的邊際密度函數(shù)二維正態(tài)分布的邊際分布是一維正態(tài)（例3.4.3，P106）：解由于于是則有即同理可得二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布,由聯(lián)合分布可以求出邊際分布.但由邊際分布一般無法求出聯(lián)合分布.所以聯(lián)合分布包含更多的信息.注意點(2)聯(lián)合分布邊際分布問由

的邊緣分布能否確定聯(lián)合分布？固定

x,截面曲邊梯形面積正態(tài)密度的圖形及邊緣密度的幾何意義

邊緣密度是正態(tài)曲線是否是正態(tài)曲線？二維正態(tài)分布和其邊際分布的關(guān)系單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出推廣：多維邊際概率密度函數(shù)1.二維離散型隨機(jī)變量的

條件分布列：二、條件分布

條件分布函數(shù)：例

已知隨機(jī)變量X，Y的聯(lián)合分布列為求在Y=1下，X的條件分布列。XY01-110.20.40.20.2

得在Y=1下，X的條件分布列：解即X|Y=1下的條件分布列為：而X的無條件分布列為：01X|Y=1P2/31/301

XP0.60.4解:例

設(shè)在一段時間內(nèi)進(jìn)入某一商店的顧客人數(shù)X服從泊松分布，每個顧客購買某種物品的概率為p，并且各個顧客是否購買該種物品相互獨立，求進(jìn)入商店的顧客購買這種物品的人數(shù)Y的分布列.在進(jìn)入商店的人數(shù)X=m的條件下，購買某種商品的人數(shù)Y的條件分布為,B(m,p)，即2.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布密度函數(shù)例3.4.7解例

設(shè)(X,Y)~N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ),求條件概率密度函數(shù).三、

連續(xù)場合的全概率公式與貝葉斯公式：例

（習(xí)題3.28）設(shè)X服從區(qū)間（0,1）上的均勻分布，在X=x(0<x<1)的條件下，隨機(jī)變量Y

在區(qū)間(0,x)上服從均勻分布，求Y的密度函數(shù).解:

由題意得例3.4.8解：主要介紹兩個隨機(jī)變量的獨立性.若滿足以下之一:i)F(x,y)=FX(x)FY(y)ii)pij=pipjiii)f(x,y)=fX(x)fY(y)

則稱X與Y是獨立的，一、兩個隨機(jī)變量的獨立性§3.5隨機(jī)變量的獨立性1.定義3.5.1兩事件A,B獨立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨立

.解例(1)X與Y是獨立的其本質(zhì)是：注意點任對實數(shù)a,b,c,d，有(2)

X與Y是獨立的直觀含義與判定：X與Y取值互不影響，互不關(guān)聯(lián).(3)X與Y是獨立的，則g(X)與h(Y)也是獨立的.2.判定定理

(1)若離散隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布列為例

(X,Y)的聯(lián)合分布列為:X01Y01

0.30.40.20.1問X與Y是否獨立？解:

邊際分布列分別為:X01P0.70.3Y01P0.50.5因為所以不獨立例3.5.3已知(X,Y)的聯(lián)合密度為

問X與Y是否獨立？所以X與Y獨立。注意：f(x,y)可分離變量.解:

邊際分布密度分別為:例3.5.2

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為解:y=x

1y=-x問X與Y是否獨立？例3.5.4在長為a

的線段中點的兩邊各任取一點X與Y，求兩點間的距離小于a/3的概率.注意:(2)在獨立的條件下，聯(lián)合分布與邊際分布相互唯一確定。

(1)簡言之，隨機(jī)變量相互獨立的充要條件是：聯(lián)合分布等于邊際分布之積；聯(lián)合分布邊際分布(3)二維正態(tài)分布

的兩個分量X與Y獨立充要條件是=0.

證明:因為X,Y的聯(lián)合分布概率密度為又因為關(guān)于X,Y的邊緣概率密度函數(shù)分別為所以(1)若ρ=0,則對于所有的x,y,有f(x,y)=fX(x)fY(y)即X和Y相互獨立.(2)如果X和Y相互獨立,則對于所有的x,y有f(x,y)=fX(x)fY(y)特別,令x=μ1,y=μ2,則有注意點(1)

(1)

(X,Y)服從矩形上的均勻分布，則X與Y獨立.

(2)

(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，則X與Y不獨立.

見前面例子

(3)聯(lián)合密度f(x,y)的表達(dá)式中，若x

的取值與y

的取值有關(guān)系，則X與Y不獨立.注意點(2)

(4)若聯(lián)合密度f(x,y)可分離變量，即

f(x,y)=g(x)h(y)

則X與Y獨立。

(5)若(X,Y)服從二元正態(tài)N(

)

則X與Y獨立的充要條件是=0.推廣：n維隨機(jī)變量的獨立性二、多個隨機(jī)變量的獨立性例3.5.5設(shè)X~B（n,p),將其分解為獨立變量之和：由二項分布的背景，X是n重貝努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，每次試驗中P（A）=p.

相互獨立性進(jìn)一步推廣：三、隨機(jī)變量函數(shù)的獨立性（P126)定理

定理3.6.1

§3.6

多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題：已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布，如何求出Z=g(X,Y)的分布？一般地，設(shè)(X1,X2,……,Xn)是n維隨機(jī)變量，如何求Z=g(X1,……,Xn)的分布？(1)

設(shè)(X1,X2,……,Xn)是n維離散隨機(jī)變量，則Z=g(X1,……,Xn)是一維離散隨機(jī)變量.一、二（多）維離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布（律）(2)多維離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布是容易求的：

i)對(X1,X2,……,Xn)的各種可能取值對，寫出Z

相應(yīng)的取值.

ii)對Z的

相同的取值，合并其對應(yīng)的概率.結(jié)論例3.6.1

已知隨機(jī)變量X，Y的聯(lián)合分布列為求如下隨機(jī)變量的分布列.解：隨機(jī)向量(X,Y)總共有六對取值，我們將它們情況與概率列于下表中,并根據(jù)此表求出Z的取值如下：化簡整理，得各函數(shù)的分布列為：例

設(shè)X與Y獨立，且X,Y等可能地取值0

和1.求Z=max(X,Y)的分布列.解:X01P1/21/2Y01P1/21/2Z=max(X,Y)的取值為:0,1P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0)=1/4P(Z=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=3/4離散場合的卷積公式設(shè)離散隨機(jī)變量X與Y獨立，則

Z=X+

Y的分布列為分布的可加性若同一類分布的獨立隨機(jī)變量和的分布仍是此類分布，則稱此類分布具有可加性.泊松分布的可加性（例3.6.2）若XP(1)，Y

P(2)，注意：

X

Y不服從泊松分布.且獨立，則Z=X+

YP(1+2).解：依題意

由卷積公式i=0,1,2,…j=0,1,2,…即Z服從參數(shù)為的泊松分布.k=0,1，…二項分布的可加性(例3.6.3)若XB(n,p)，Y

B(m,p)，注意：若Xi

B(1,p)，且獨立，則

Z=X1+

X2+……+Xn

B(n,p).且獨立，則Z=X+

YB(n+m,p).

我們給出不需要計算的另一種證法:回憶第二章對服從二項分布的隨機(jī)變量所作的直觀解釋:同樣，Y是在m次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù),每次試驗中A出現(xiàn)的概率為p.若X~B(n,p),則X

是在n次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù),每次試驗中A出現(xiàn)的概率都為p.故Z=X+Y是在n+m次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗中A出現(xiàn)的概率為p，于是Z是以（n+m，p）為參數(shù)的二項隨機(jī)變量，即Z~B(n+m,p).

解依題知X+Y的可能取值為0,1,2,...,n+m,因此對于k(k=0,1,2,...,n+m)，由獨立性有由得所以Z=X+Y服從二項分布B(n+m,p)k=0,1,2,...,n+m設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y),記Z=g(X,Y).(1)求Z的分布函數(shù)(2)對FZ(z)求導(dǎo)即得Z的概率密度函數(shù)fZ(z).隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度函數(shù)一般求法--分布函數(shù)法:二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

例

（習(xí)題3-44）設(shè)隨機(jī)變量X

與Y

相互獨立，且均服從

N（0，1），試求的密度函數(shù)

解由于X和Y相互獨立，且服從N（0，1）則（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為：所以1.Z=X+Y和的分布公式（卷積公式）：

設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)密度函數(shù)為f(x,y)，則

Z=X+

Y的密度函數(shù)為

和的分布（卷積公式）推導(dǎo):由此可得Z=X+Y概率密度函數(shù)為(卷積公式）：由于X與Y

對稱,獨立情形卷積公式：

設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X與Y獨立，則

Z=X+

Y的密度函數(shù)為卷積公式的應(yīng)用例3.6.4

X與Y是獨立的正態(tài)變量,

求Z=X+

Y的分布.解：正態(tài)分布的可加性若XN(

)，Y

N(

)，注意：

X

Y不服從N().且獨立，則Z=X+YN().

X

YN().獨立正態(tài)變量的線性組合仍為正態(tài)變量.(見下)獨立正態(tài)變量的線性組合仍為正態(tài)變量Xi

~N(i,i2),i=1,2,...n.且Xi

間相互獨立,實數(shù)a1,a2,...,an

不全為零,則伽瑪分布的可加性(例3.6.5)若XGa(1,)，Y

Ga(2,)，注意：

X

Y不服從Ga(12,).且獨立，則Z=X+YGa(1+2,).證明2分布的可加性若X2(n1

)，Y

2(n2

)，注意：

(1)X

Y不服從2分布.且獨立，則Z=X+Y2(n1+n2).

(2)若Xi

N(0,1)，且獨立，則

Z=2(n).注意點

(1)獨立的0-1分布隨機(jī)變量之和服從二項分布.

(2)獨立的指數(shù)分布隨機(jī)變量之和服從伽瑪分布.例

設(shè)X與Y獨立，X～U(0,1),Y～Exp(1).

試求

Z=X+Y的密度函數(shù).解:被積函數(shù)的非零區(qū)域為：0<x<1且

zx>0用卷積公式：(見下圖)xz1z=x因此有(1)z<0時fZ(z)=0;(2)0<z<1時,fZ(z)=(3)1<z時,fZ(z)=1***.Z=X-Y差的分布公式：

設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)密度函數(shù)為f(x,y)，則

Z=X-Y的密度函數(shù)為2.Z=XY積的分布公式：

設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)密度函數(shù)為f(x,y)，則

Z=XY的密度函數(shù)為3.Z=X/Y商的分布公式：

設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)密度函數(shù)為f(x,y)，則

Z=X/Y的密度函數(shù)為三、極值的分布Y=max{X1,X2,…,Xn};Z=min{X1,X2,…,Xn}.一般情況結(jié)論(例3.6.7-3.6.10)例解

例

設(shè)系統(tǒng)L由兩個相互獨立的子系統(tǒng)L1和L2聯(lián)接布成，聯(lián)接方式分別為（1）串聯(lián)（2）并聯(lián)（3）備用（當(dāng)系統(tǒng)L１損壞時，系統(tǒng)L２開始工作），如圖所示。設(shè)L１和L２的壽命X,

Y分別服從指數(shù)分布