高階模擬電路的仿真分析及MATLAB實(shí)現(xiàn)

摘要模擬電路是典型的連續(xù)系統(tǒng)。通過將電路圖和方程框圖轉(zhuǎn)化成微分方程的方法，對高階線性模擬電路進(jìn)行連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析和頻域分析及其穩(wěn)定性分析。本文對系統(tǒng)的分析流程、系統(tǒng)模型的創(chuàng)建、時(shí)域分析、頻域分析和穩(wěn)定性分析等方面對連續(xù)系統(tǒng)分析所使用的方法進(jìn)行了介紹。主要介紹了采用時(shí)域經(jīng)典法和變換域分析法結(jié)合MATLAB來進(jìn)行時(shí)域分析和頻域分析。通過拉普拉斯變換來得出系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖分布和其頻率響應(yīng)函數(shù)并根據(jù)其來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通過此次課題設(shè)計(jì)，掌握線性模擬電路的系統(tǒng)分析方法，培養(yǎng)使用MATLAB實(shí)現(xiàn)線性模擬電路的系統(tǒng)分析能力。關(guān)鍵詞：線性電路；系統(tǒng)分析；MATLAB實(shí)現(xiàn)；連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)；系統(tǒng)分析。AbstractAnalogcircuitsaretypicalcontinuoussystems.Byconvertingthecircuitdiagramandequationblockdiagramintodifferentialequations,thetime-domainandfrequency-domainanalysisandstabilityanalysisofhigh-orderlinearanalogcircuitsforcontinuoustimesystemsarecarriedout.Thisarticleintroducesthemethodsusedincontinuoussystemanalysisfromtheaspectsofsystemanalysisprocess,systemmodelcreation,time-domainanalysis,frequency-domainanalysis,andstabilityanalysis.Thisarticlemainlyintroducestheuseoftime-domainclassicalmethodandtransformdomainanalysismethodcombinedwithMATLABfortime-domainandfrequency-domainanalysis.ObtainthedistributionofthezeropolemapanditsfrequencyresponsefunctionofthesystemthroughLaplacetransform,andanalyzethestabilityofthesystembasedonit.Throughthisprojectdesign,masterthesystemanalysismethodsoflinearanalogcircuitsandcultivatetheabilitytouseMATLABtoachievesystemanalysisoflinearanalogcircuits.Keywords:analog

circuits,

continuous-time

systems,

MATLAB

implementation,

simulation

analysis,frequency-domain

analysis.目錄TOC\o"1-3"\h\u13369摘要 I22534Abstract II10118第一章緒論 1143331.1課題研究背景 1150091.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 1173551.3課題設(shè)計(jì)步驟 111650第二章MATLAB的介紹 3305702.1介紹MATLAB的常用的功能和使用方法 31212.2進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)所需要的函數(shù) 332044第三章對系統(tǒng)進(jìn)行分析及模型創(chuàng)建 568813.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)概念 5133153.2系統(tǒng)分析流程 5186363.2.1系統(tǒng)模型的創(chuàng)建 513043.2.2使用方程框圖進(jìn)行模型的創(chuàng)建 6201373.2.3使用傳遞函數(shù)法進(jìn)行模型的創(chuàng)建 727464第四章對電路進(jìn)行時(shí)域分析 1029234.1自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng) 10253904.2暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 1094214.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 11289074.4沖激響應(yīng) 11221604.5計(jì)算響應(yīng) 114304第五章對電路進(jìn)行頻域分析 1712705.1對電路進(jìn)行頻率響應(yīng)分析 17211265.2在S域中得出系統(tǒng)的各個(gè)響應(yīng) 1829634第六章對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析 2067776.1求電路的零極點(diǎn) 20200986.2對電路的穩(wěn)定性進(jìn)行分析 219098第七章結(jié)論 2221496參考文獻(xiàn) 2427472致謝 26第一章緒論1.1課題研究背景，數(shù)學(xué)模型一般是微分方程，一般來說采用經(jīng)典法來求解。但是如果面對高階系統(tǒng)或者是復(fù)雜的激勵(lì)信號(hào)，求解微分方程的過程變得相當(dāng)困難。因此使用MATLAB軟件來簡化計(jì)算，求解高階微分方程是非常必要的。對于線性模擬電路系統(tǒng)的分析其實(shí)質(zhì)上就是對一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域分析和頻域分析及其穩(wěn)定性分析。主要是根據(jù)電路圖或者方框圖寫出能夠表示該線性模擬電路的數(shù)學(xué)模型微分方程，然后通過對微分方程的求解分析其系統(tǒng)響應(yīng)，并借助MATLAB軟件的幫助來簡化計(jì)算過程。在這其中，根據(jù)電路圖或者方框圖寫出正確線性模擬電路的微分方程尤為重要，因?yàn)樗窍盗蟹治龅幕A(chǔ)，其次，就是對微分方程的求解，我們一般采用經(jīng)典法跟拉普拉斯的方法來對微分方程進(jìn)行求解，采用這兩種方法通俗易懂、高效簡單，在這其中當(dāng)然也需要MATLAB軟件來幫助我們更好的實(shí)現(xiàn)目的，分析系統(tǒng)的時(shí)域特性和頻域特性；求出系統(tǒng)的各個(gè)響應(yīng)；判斷系統(tǒng)是否是穩(wěn)定系統(tǒng)等等，從而更加了解該系統(tǒng)的功能和作用，更加了解這個(gè)系統(tǒng)的構(gòu)造，能夠方便我們將這些理論應(yīng)用到實(shí)際操作中。這就是我們對線性模擬電路系統(tǒng)分析的意義。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀20世紀(jì)50年代以前，時(shí)域分析方法著重研究微分方程的經(jīng)典法求解。對于高階系統(tǒng)或激勵(lì)信號(hào)較復(fù)雜的情況,計(jì)算過程相當(dāng)繁復(fù),求解過程很不方便。正是由于這一原因，在相當(dāng)長的一段時(shí)間內(nèi)，人們的興趣集中于變換域分析，例如借助拉普拉斯變換求解微分方程。而20世紀(jì)60年代以后，由于計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用和各種軟件工具的開發(fā)，從時(shí)域求解微分方程的技術(shù)顯得比較方便。本文中使用拉氏變化來求解微分方程，并且借助MATLAB軟件來幫助我們更好的對系統(tǒng)進(jìn)行分析。1.3課題設(shè)計(jì)步驟課題目標(biāo)：通過利用MATLAB來實(shí)現(xiàn)對相應(yīng)的電路的課題的步驟：對線性模擬電路進(jìn)行分析，其實(shí)質(zhì)就是對一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)進(jìn)行分析。本文首先解釋連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的基本概念，介紹了使用狀態(tài)空間法根據(jù)其電路圖模型得出微分方程,并且還介紹了通過方程框圖得到系統(tǒng)的微分方程。之后利用時(shí)域經(jīng)典法或者是拉普拉斯變化結(jié)合MATLAB求微分方程的解計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)。接下來使用函數(shù)繪制出系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖并對其進(jìn)行系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。最后對課題進(jìn)行總結(jié)。第二章MATLAB的介紹MATLAB（Matrix

Laboratory）是一款強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算和可視化軟件，它的主要優(yōu)勢在于其出色的數(shù)值計(jì)算。MATLAB是一種交互式的環(huán)境，可以通過命令行交互式操作，也可以通過可視化界面來進(jìn)行操作。其強(qiáng)大的計(jì)算能力和豐富的工具箱使得MATLAB可以支持各種領(lǐng)域的應(yīng)用，例如控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)、信號(hào)處理、圖像處理、機(jī)器學(xué)習(xí)、統(tǒng)計(jì)分析等等。此外，MATLAB還具有很好的跨平臺(tái)性，可以在多種操作系統(tǒng)上運(yùn)行，例如Windows、Linux、Mac等。MATLAB的工具箱包含了豐富的函數(shù)，使得用戶可以快速地進(jìn)行各種計(jì)算和分析。用戶還可以使用MATLAB編寫腳本和函數(shù)來實(shí)現(xiàn)自己的應(yīng)用程序。2.1介紹MATLAB的常用的功能和使用方法MATLAB可以進(jìn)行各種數(shù)值計(jì)算，例如矩陣運(yùn)算、線性代數(shù)運(yùn)算、微積分、解方程、數(shù)值積分等。同時(shí)，MATLAB還支持符號(hào)計(jì)算，可以進(jìn)行符號(hào)表達(dá)式的簡化、展開、求導(dǎo)、積分等。MATLAB可以繪制各種類型的圖形和圖表，例如函數(shù)圖形、曲線圖、散點(diǎn)圖、柱狀圖、3D圖形等等。用戶可以使用各種參數(shù)來定制圖形的樣式和屬性，使得圖形更加清晰、美觀。用戶可以編寫MATLAB腳本來執(zhí)行一系列操作，也可以編寫MATLAB函數(shù)來完成特定的任務(wù)。腳本和函數(shù)可以被保存和共享，方便其他用戶使用。總之，MATLAB具有廣泛的功能和使用方式，可以被應(yīng)用于各種領(lǐng)域和行業(yè)，包括工程、科學(xué)、數(shù)學(xué)、金融等。2.2進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)所需要的函數(shù)ss2tf函數(shù)調(diào)用方法:[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,m)ss2tf函數(shù)可以將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)。其中A,B,C,D是狀態(tài)空間模型的系數(shù)矩陣REF_Ref29409\w\h[3]，m是指定輸出的通道數(shù)或輸出的向量。函數(shù)將返回兩個(gè)向量num是轉(zhuǎn)換后的傳遞函數(shù)的分子,den是分母系數(shù)REF_Ref30009\w\h[4]REF_Ref29409\w\h。compose函數(shù)調(diào)用方法:compose(f,g,x,y,z)返回復(fù)合函數(shù)f(g(z))，其中有f,g,x,y,z均為符號(hào)函數(shù)和符號(hào)變量。vpa函數(shù)調(diào)用方法：vpa(A,B)，A為運(yùn)算表達(dá)式，B為運(yùn)算精度。用該函數(shù)控制計(jì)算數(shù)據(jù)精度。lsim函數(shù)調(diào)用方法：[y,t]=lsim(sys,u,t)，s其中，sys為線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型或傳遞函數(shù)模型，u為輸入信號(hào)，t為時(shí)間向量，y為輸出信號(hào)，t為時(shí)間向量REF_Ref30120\w\h[5]。initial函數(shù)調(diào)用方法[y,t,x]=initial(sys,x0),其中，sys是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的模型，x0是系統(tǒng)的初始狀態(tài)，y是系統(tǒng)的響應(yīng)輸出，t時(shí)間向量，x是系統(tǒng)的狀態(tài)變量。用于求解動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的初值問題。用于求解給定的系統(tǒng)的初始條件下的響應(yīng)。impulse(sys)函數(shù)調(diào)用方法：impulse(sys)sys是一個(gè)連續(xù)或離散時(shí)間系統(tǒng)的模型繪制出系統(tǒng)模型sys的單位沖激響應(yīng)圖。第三章對系統(tǒng)進(jìn)行分析及模型創(chuàng)建3.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)概念連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)具有時(shí)間上的連續(xù)性和無限細(xì)微的時(shí)間分辨率，在時(shí)間上的變化是連續(xù)的，可以用連續(xù)函數(shù)來描述其變化規(guī)律。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)都是連續(xù)信號(hào)。線性模擬電路對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型為微分方程，在本文中，我們設(shè)這個(gè)系統(tǒng)的輸入信號(hào)為e(t)，輸出信號(hào)為r(t)，系統(tǒng)的微分方程模型可以利用表示為REF_Ref30914\w\h[6]：C0d3.2系統(tǒng)分析流程要分析一個(gè)線性模擬電路所表示的系統(tǒng)，首先先要明白電路的基本特性，之后利用基本特性，搭建出正確的微分方程，然后用數(shù)學(xué)方法(或計(jì)算仿真等)求出它的解答,并對所得結(jié)果分析信號(hào)和系統(tǒng)之間的關(guān)系REF_Ref30973\w\h[7]。按數(shù)學(xué)模型的不同，系統(tǒng)可分為連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)是連續(xù)信號(hào)時(shí),若其響應(yīng)也是連續(xù)信號(hào)，則稱其為連續(xù)系統(tǒng)。系統(tǒng)的激勵(lì)是離散信號(hào)時(shí),若其響應(yīng)也是離散信號(hào)，則稱其為離散系統(tǒng)REF_Ref21685\w\h[8]。本文介紹了三種建立數(shù)學(xué)模型微分方程的方法，通過借助電路的基本特性，得出狀態(tài)方程和輸出方程，并通過MATLAB將其轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間模型。第二種方法是通過方程框圖建立狀態(tài)空間模型REF_Ref19556\w\h[9]。在建立好方程后，之后利用時(shí)域經(jīng)典法和拉普拉斯變化進(jìn)行轉(zhuǎn)換計(jì)算。最后一種我們直接對電路進(jìn)行頻域分析來得出該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)REF_Ref8432\w\h[10]。3.2.1系統(tǒng)模型的創(chuàng)建在建立電路系統(tǒng)模型的過程中，為了方便得到狀態(tài)空間模型可以將電路的各個(gè)元件以及它們之間的關(guān)系表示為一組一階或二階微分方程。對于高階電路，可以將電路元件的狀態(tài)變量定義為電壓或電流，并利用電路的結(jié)構(gòu)和元件特性建立狀態(tài)方程。然后，通過進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算，可以得到電路的狀態(tài)空間模型?？梢允褂肕ATLAB來實(shí)現(xiàn)。例1：根據(jù)圖3-1高階模擬電路中圖列寫方程，整理得：代入?yún)?shù)并使用MATLAB編寫m程序如下：clc;closeall;clear;A=[0,1,-1;-1,-2,0;1,0,-2];B=[0;1;0];C=[1,0,0];D=[0];[b,a]=ss2tf(A,B,C,D),sys=tf(b,a),得到系統(tǒng)函數(shù)為:（3-2）由系統(tǒng)函數(shù)寫出的微分方程為：（3-3）圖3,1高階模擬電路圖3.2.2使用方程框圖進(jìn)行模型的創(chuàng)建在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，方程框圖通常用于描述系統(tǒng)的輸入、輸出和內(nèi)部的信號(hào)傳遞過程。通過方程框圖，可以將系統(tǒng)分解為不同的模塊，并建立模塊之間的聯(lián)系，從而方便地推導(dǎo)出系統(tǒng)的微分方程。根據(jù)信號(hào)的輸入和輸出關(guān)系，以及變量和參數(shù)的符號(hào)和關(guān)系，可以推導(dǎo)出系統(tǒng)的微分方程。例2:系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖3-2所示，列出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖的微分方程。圖3.SEQ圖\*ARABIC2結(jié)構(gòu)框圖根據(jù)系統(tǒng)框圖列寫出式子為：將參數(shù)代入轉(zhuǎn)換成系統(tǒng)函數(shù)的MATLAB程序REF_Ref1355\w\h[1]如下：clc;closeall;clear;A=[-4,-6,-4;1,0,0;0,1,0];B=[1;0;0];C=[0,1,2];D=[0];[b,a]=ss2tf(A,B,C,D),sys=tf(b,a),系統(tǒng)函數(shù)為：（3-4）與（3-2）式子一致3.2.3使用傳遞函數(shù)法進(jìn)行模型的創(chuàng)建傳遞函數(shù)是描述電路輸入與輸出之間關(guān)系的數(shù)學(xué)函數(shù)。通過對電路進(jìn)行頻域分析，可以得到電路的傳遞函數(shù)。對于高階電路，可以使用電路理論和網(wǎng)絡(luò)分析技巧，如基爾霍夫定律、電壓分壓定律和電流分流定律，建立電路方程。然后應(yīng)用頻域分析方法，例如拉普拉斯變換，將電路方程轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)。純電阻直流電路的分析相對比較簡單，因?yàn)殡娮璧腣CR就是歐姆定律，即電阻的電壓和電流之間是線性關(guān)系，但含有電容或電感的動(dòng)態(tài)電路的分析，無論是直流電路還是交流電路，學(xué)生理解起來都比較困難，計(jì)算相對也比較復(fù)雜，原因在于電容和電感的VCR不是簡單的線性關(guān)系，而是微積分關(guān)系REF_Ref17834\w\h[18]。所以我們將電路轉(zhuǎn)化為S域等效模型圖。為了區(qū)別前面電路的不同，采用較為復(fù)雜的電路圖3.3二階低通有源濾波器圖3.3二階低通有源濾波器圖上面那個(gè)二階低通有源濾波器如果我們直接使用電流分析法得出微分方程，再求這個(gè)微分方程的齊次解和特解。但初始條件的計(jì)算和求解這個(gè)電路的微分方程都非常麻煩.不如我們換個(gè)思路，直接求其傳遞函數(shù)。通過他的傳遞函數(shù)來對他進(jìn)行分析。首先第一步簡易畫出等效電路圖3.4：圖3.4等效電路圖根據(jù)圖3.4進(jìn)行電路分析由理想運(yùn)放性質(zhì)有v?=v+=那么H(s)=v0根據(jù)虛短和虛斷性質(zhì)，對于vxvx?vi?由(3-6)式可等到下面式子vx=令Wo=由上述式子聯(lián)立可得H（s）=11+代入數(shù)值利用MATLAB程序求其傳遞函數(shù)的代碼如下所示：clc;closeall;clear;%定義傳遞函數(shù)w0=120;%截止頻率num=w0^2;%定義傳遞函數(shù)分子den=[1,sqrt(0.47e-6*2e3/(0.94e-6*2e3))+sqrt(0.47e-6*2e3/(2e3*0.94e-6))*w0,w0^2];%定義傳遞函數(shù)分母H=tf(num,den)%創(chuàng)建傳遞函數(shù)對象%將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型[A,B,C,D]=tf2ss(num,den);sys=ss(A,B,C,D);所得結(jié)果(3-11)第四章對電路進(jìn)行時(shí)域分析時(shí)域分析是電路理論中的重要方法，它用于確定電路在不同輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)。對于線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，可以使用微分方程的方法來描述其響應(yīng)。時(shí)域經(jīng)典法是求解微分方程的基本方法，可以得到系統(tǒng)的齊次解和特解。另一種常用的方法是使用拉普拉斯變換法進(jìn)行分析。 對于高階電路的計(jì)算，由于求解微分方程比較復(fù)雜，可以采用拉普拉斯變換的方法來簡化計(jì)算過程。這種方法不僅可以簡化計(jì)算，還可以幫助工程師更好地理解電路的行為特性，從而更加有效地進(jìn)行設(shè)計(jì)和調(diào)試工作。因此，時(shí)域分析方法在電路理論和實(shí)際工程中具有重要的地位和應(yīng)用價(jià)值。首先，我們可以分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)以及描述連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，需要求其的響應(yīng)。大致可以下面四種方式來描述系統(tǒng)全響應(yīng)：系統(tǒng)全響應(yīng)=齊次解y?(t)+特解y系統(tǒng)全響應(yīng)=自然響應(yīng)+強(qiáng)迫響應(yīng)系統(tǒng)全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)響應(yīng)+瞬態(tài)響應(yīng)4.1自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng)在研究連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)時(shí)，常系數(shù)線性微分方程是最常用的建模工具。可以通過經(jīng)典法求解其響應(yīng)。在研究連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)時(shí)，常系數(shù)線性微分方程是最常用的建模工具?？梢酝ㄟ^經(jīng)典法求解其響應(yīng)，這種方法的局限性在于只適用于特定的激勵(lì)信號(hào)和變化，且無法直觀地解釋響應(yīng)的物理概念?？傊谘芯窟B續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)，需要綜合運(yùn)用常系數(shù)線性微分方程、特解形式等方法，以及考慮激勵(lì)信號(hào)的變化和初始條件的影響。對于復(fù)雜的系統(tǒng)，純數(shù)學(xué)方法通常不足以解決問題。自由響應(yīng)是指系統(tǒng)在沒有外界激勵(lì)的情況下的響應(yīng)，由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所決定，它的特征根是系統(tǒng)的特征根。自由響應(yīng)的表達(dá)式通常采用齊次線性微分方程的通解形式。強(qiáng)迫響應(yīng)是指系統(tǒng)在受到外界激勵(lì)時(shí)的響應(yīng)，它的特征根是激勵(lì)信號(hào)的特征根。強(qiáng)迫響應(yīng)的表達(dá)式通常采用特解的形式。4.2暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)指的是系統(tǒng)在接收到新的輸入信號(hào)時(shí)，輸出信號(hào)隨著時(shí)間的推移逐漸趨于穩(wěn)定狀態(tài)的過程。在這個(gè)過程中，輸出信號(hào)會(huì)出現(xiàn)瞬時(shí)的反應(yīng)和振蕩，但最終會(huì)趨于一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)。暫態(tài)響應(yīng)的持續(xù)時(shí)間通常很短，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，暫態(tài)響應(yīng)就消失了。 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)則是指系統(tǒng)在經(jīng)過足夠長時(shí)間后，輸出信號(hào)會(huì)達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)，不再隨時(shí)間變化而發(fā)生明顯的變化。在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)下，系統(tǒng)的輸出信號(hào)與時(shí)間無關(guān)，只與輸入信號(hào)和系統(tǒng)本身的性質(zhì)有關(guān)。4.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)指的是系統(tǒng)在沒有外部輸入信號(hào)作用下，由系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的響應(yīng)。在這種情況下，系統(tǒng)的輸出只受到系統(tǒng)本身的性質(zhì)和初始狀態(tài)的影響，與外部輸入信號(hào)無關(guān)。而零狀態(tài)響應(yīng)則是指系統(tǒng)在有外部輸入信號(hào)作用下，由于輸入信號(hào)的變化所引起的響應(yīng)REF_Ref10134\w\h[14]。在這種情況下，系統(tǒng)的輸出信號(hào)同時(shí)受到輸入信號(hào)和系統(tǒng)的初始狀態(tài)的影響，與之前的狀態(tài)無關(guān)。需要注意的是，系統(tǒng)的總響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的相加。換句話說，系統(tǒng)的總響應(yīng)既包括了系統(tǒng)初始狀態(tài)引起的響應(yīng)，也包括了輸入信號(hào)引起的響應(yīng)REF_Ref10251\w\h[15]。4.4沖激響應(yīng)對于LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是指，系統(tǒng)在單位沖激信作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，不妨代入極限的思想,當(dāng)寬度越來越接近零的時(shí),窄矩形脈沖信號(hào)變?yōu)闆_激信號(hào)，所以我們也可以看作系統(tǒng)響應(yīng)對應(yīng)各個(gè)沖激分量響應(yīng)相加REF_Ref10702\w\h[16]。求解沖激響應(yīng)：將輸入信號(hào)設(shè)置為單位沖激函數(shù)，即U(s)=1，然后將其代入傳遞函數(shù)H(s)中，求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)Y_impulse(s)=H(s)U(s)。通過求解Y_impulse(s)的逆Laplace變換，可以得到系統(tǒng)的沖激響應(yīng)Y_impulse(t)。需要注意的是，在求解系統(tǒng)的各個(gè)響應(yīng)時(shí)，通常需要使用復(fù)數(shù)算術(shù)和逆Laplace變換的技巧。此外，如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)比較復(fù)雜，可以使用計(jì)算機(jī)輔助工具，如MATLAB等。4.5計(jì)算響應(yīng)例2：設(shè)例1的系統(tǒng)中微分方程起始狀態(tài)為，激勵(lì)信號(hào)為計(jì)算出系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng).需要注意的是如果沒有特別說明,都是假設(shè)輸入是從t=0開始的。因此t=0是一個(gè)參考點(diǎn)。初始條件為t(0_)和t(0+)所得出的情況不同，求解0時(shí)刻之后的響應(yīng)需要知道加入后瞬間(0+)的初始條件可以采用沖激函數(shù)匹配法REF_Ref23956\w\h[17]。使用MATLAB時(shí)域分析的m程序如下所示REF_Ref19556\w\h：clc;closeall;clear;symsstA=[1,4,6,4];B=[1,2];As=poly2sym(A,sym(‘s’)),Bs=poly2sym(B,sym(‘s’)),xt=t.^2,Xs=laplace(xt),y0=[0,0,2];n=length(A)-1;Cs=0;fork=1:n;forr=0:(k-1);Cs=Cs+A(n-k+1)*y0(r+1)*s^(k-1-r);endendCs,ht=ilaplace(Bs/As);ht1=vpa(ht,4),pretty(ht1),yzit=ilaplace(Cs/As);yzit1=vpa(yzit,4),pretty(yzit1),yzst=ilaplace(Bs*Xs/As);yzst1=vpa(yzst,4),pretty(yzst1),yt=vpa(yzit1+yzst1,4),yt1=vpa(yt,4),pretty(yt1),得到的結(jié)果為沖激響應(yīng)：ht1=exp(-1.0t)sin(t))零輸入響應(yīng)：yzit1=exp(-2.0*t)-1.0*exp(-1.0*t)*(cos(t)-1.0*sin(t))零狀態(tài)響應(yīng)：yzst1=0.5*t^2-0.5*exp(-1.0*t)*(cos(t)-1.0*sin(t))-1.0*t+0.5全響應(yīng)yt1=exp(-2.0*t)-1.0*t-1.5*exp(-1.0*t)*(cos(t)-1.0*sin(t))+0.5*t^2+0.5對圖3.3二階低通有源濾波器圖進(jìn)行系統(tǒng)分析不采用拉氏變化，直接采用MATLAB函數(shù)來求解。利用MATLAB程序?qū)ζ淝蠼獾拇a如下所示clcclearallcloseall%定義傳遞函數(shù)w0=120;%截止頻率num=w0^2;%定義傳遞函數(shù)分子den=[1,sqrt(0.47e-6*2e3/(0.94e-6*2e3))+sqrt(0.47e-6*2e3/(2e3*0.94e-6))*w0,w0^2];%定義傳遞函數(shù)分母H=tf(num,den)%創(chuàng)建傳遞函數(shù)對象%將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型[A,B,C,D]=tf2ss(num,den);sys=ss(A,B,C,D);%計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)t=0:0.00001:1;%定義時(shí)間范圍initial_f=exp(-t);%零狀態(tài)輸入函數(shù)[y0,t]=lsim(sys,initial_f,t);%計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)%繪制零狀態(tài)響應(yīng)圖像figureplot(t,y0);%繪制零狀態(tài)響應(yīng)圖像xlabel('Time(s)');%設(shè)置x軸標(biāo)簽ylabel('Amplitude');%設(shè)置y軸標(biāo)簽title('Zero-stateresponse');%設(shè)置圖像標(biāo)題%計(jì)算單位沖擊響應(yīng)figureimpulse(num,den);%計(jì)算單位沖擊響應(yīng)xlabel('Time(s)');%設(shè)置x軸標(biāo)簽ylabel('Amplitude');%設(shè)置y軸標(biāo)簽title('Unitimpulseresponse');%設(shè)置圖像標(biāo)題%計(jì)算零輸入響應(yīng)figuret1=0:0.00001:0.2;zi=initial(sys,[01],t1);%zi=conv(yi,[1,1,1,1,1]);%計(jì)算輸入信號(hào)為5個(gè)單位沖擊的卷積%zi=zi(1:length(t));%截取與時(shí)間范圍相同的部分plot(t1,zi);%繪制零輸入響應(yīng)圖像xlabel('Time(s)');%設(shè)置x軸標(biāo)簽ylabel('Amplitude');%設(shè)置y軸標(biāo)簽title('Zero-inputresponse');%設(shè)置圖像標(biāo)題%計(jì)算全響應(yīng)圖figurey=lsim(sys,initial_f,t,[00.0001]);%計(jì)算全響應(yīng)圖plot(t,y);%繪制全響應(yīng)圖像xlabel('Time(s)');%設(shè)置x軸標(biāo)簽ylabel('Amplitude');%設(shè)置y軸標(biāo)簽title('Totalresponse');%設(shè)置圖像標(biāo)題figure%計(jì)算幅頻特性bode(H);%計(jì)算相頻特性bode(H);實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下圖所示分別為圖4.1零狀態(tài)響應(yīng)，圖4.2單位沖激響，圖4.3零輸入響應(yīng)，圖4.4全響應(yīng)圖4.1零狀態(tài)響應(yīng)圖4.2沖激響應(yīng)圖4.3零輸入響應(yīng)圖4.4全響應(yīng)第五章對電路進(jìn)行頻域分析首先，我們使用離散傅里葉變換（DFT）將系統(tǒng)的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換為頻域信號(hào)。DFT是一種將有限長序列轉(zhuǎn)換為有限長離散頻率序列的算法。通過DFT，我們可以獲取系統(tǒng)在不同頻率下的頻率響應(yīng)，進(jìn)而分析系統(tǒng)的頻域特性。為了簡化計(jì)算我們選擇拉氏變換來，首先通過把時(shí)域微分方程替換成在域的方程得到響應(yīng)的象函數(shù),把拉普拉斯逆變換應(yīng)用到響應(yīng)象函數(shù)上得到時(shí)域原函數(shù)。首先對微分方程進(jìn)行下限為X(0-)的單邊拉式變化，利用微分性質(zhì)得到：根據(jù)系統(tǒng)的微分方程，可直接寫出A(s)和B(s)，由系統(tǒng)的起始狀態(tài)可算出C(s),H(S)是B(s)/A(s)，將系統(tǒng)輸入進(jìn)行拉氏變換可得到X(s),由C(s)/A(s)得到進(jìn)行拉氏反變換零輸入響應(yīng),B(s)*H(s)得到進(jìn)行拉氏反變換零狀態(tài)響應(yīng)。5.1對電路進(jìn)行頻率響應(yīng)分析對模擬電路進(jìn)行頻域分析可以通過計(jì)算其頻率響應(yīng)來實(shí)現(xiàn)。頻率響應(yīng)描述了電路在不同頻率下的表現(xiàn)，通常以幅度和相位的形式表示。將模擬電路表示為傳遞函數(shù)的形式。傳遞函數(shù)是電路輸入信號(hào)和輸出信號(hào)之間的比率，通常用Laplace變換表示。將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)形式。這可以通過將Laplace變量s替換為復(fù)變量jw來實(shí)現(xiàn)，其中w是頻率。計(jì)算復(fù)數(shù)傳遞函數(shù)的幅度和相位。幅度是復(fù)數(shù)傳遞函數(shù)的模，相位是復(fù)數(shù)傳遞函數(shù)的幅角。繪制幅度和相位隨頻率變化的曲線REF_Ref18154\w\h[19]。這些曲線通常被稱為幅頻特性和相頻特性。分析幅頻和相頻特性以獲得有關(guān)電路性能的信息。例如，可以確定電路的截止頻率、增益、相位延遲等。還是采用上個(gè)二階低通濾波電路圖4.1做分析利用MATLAB實(shí)現(xiàn)頻域分析的主要程序?yàn)椋篶lcclearallcloseall%定義傳遞函數(shù)w0=120;%截止頻率num=w0^2;%定義傳遞函數(shù)分子den=[1,sqrt(0.47e-6*2e3/(0.94e-6*2e3))+sqrt(0.47e-6*2e3/(2e3*0.94e-6))*w0,w0^2];%定義傳遞函數(shù)分母H=tf(num,den)%創(chuàng)建傳遞函數(shù)對象figure%計(jì)算幅頻特性bode(H);%計(jì)算相頻特性bode(H);結(jié)果如圖5.1幅頻與相頻所示圖5.1幅頻與相頻分析圖5.1這個(gè)系統(tǒng)為低通系統(tǒng)5.2在S域中得出系統(tǒng)的各個(gè)響應(yīng)在S域中求系統(tǒng)的各個(gè)響應(yīng)，通常需要使用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是系統(tǒng)的輸出與輸入之間的關(guān)系，通常是通過Laplace變換表示的。在上述例1描述的系統(tǒng)中，并且采用其初始條件。下面利用MATLAB求解各響應(yīng)的m程序REF_Ref18481\w\h[20]：clc;closeall;clear;formatcompact;symsstxt=t.^2,x=[1,3,4,3],y=[0,1,1],y0=[0,0,2],x0=[0,2],As=poly2sym(x,sym('s')),Bs=poly2sym(y,sym('s')),Xs=laplace(xt),n=length(x)-1;Y0s=0;fork=1:n;forr=0:(k-1);Y0s=Y0s+x(n-k+1)*y0(r+1)*s^(k-1-r);endendY0s,m=length(y)-1;X0s=0;fork=1:m;forr=0:(k-1);X0s=X0s+y(m-k+1)*x0(r+1)*s^(k-1-r);endendX0s,Hs=Bs/As;disp('H(s)='),pretty(Hs),Ys=(Bs*Xs-X0s+Y0s)/As,disp('Y(s)='),pretty(Ys),yt=ilaplace(Ys);disp('系統(tǒng)全響應(yīng)：'),yt,yzit0=ilaplace(Y0s/As);yzit=vpa(yzit0,2);disp('零輸入響應(yīng)：'),yzit,yzst0=ilaplace((Bs*Xs-X0s)/As);yzst=vpa(yzst0,2);disp('零狀態(tài)響應(yīng)：'),yzst,disp('零輸入響應(yīng):'),yzit,yzst0=ilaplace((Bs*Xs-X0s)/As);yzst=vpa(yzst0,2);disp('零狀態(tài)響應(yīng):'),yzst,得出結(jié)果為零輸入響應(yīng)：yzit=exp(-2.0*t)-1.0*exp(-1.0*t)*(cos(t)-1.0*sin(t))零狀態(tài)響應(yīng):yzst=0.5*t^2-0.5*exp(-1.0*t)*(cos(t)-1.0*sin(t))-1.0*t+0.5與上述進(jìn)行時(shí)域分析所得結(jié)果一致第六章對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析6.1求電路的零極點(diǎn)模擬電路的零點(diǎn)和極點(diǎn)是分析和設(shè)計(jì)模擬電路時(shí)非常重要的參數(shù)，它們可以幫助我們了解電路的穩(wěn)定性和頻率響應(yīng)等性質(zhì)。一般來說，求模擬電路的零點(diǎn)和極點(diǎn)需要進(jìn)行手工計(jì)算，對于給定的模擬電路，使用理論分析將傳輸函數(shù)表示為分式形式，分子多項(xiàng)式的根即為零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式的根即為極點(diǎn)。對于一些比較復(fù)雜的電路，分式形式可能較為復(fù)雜，此時(shí)可以使用因式分解、配方法等手段簡化分式形式，以方便求解。如果系統(tǒng)是S的是實(shí)系數(shù)有理真分式則可以寫為（6-1）方程A(s)=0時(shí)候，他的根是H(S)的零點(diǎn)，而分子B(s)的根是H(s)的極點(diǎn)。以下就是使用MATLAb求零極點(diǎn)的m程序clc;clearall;closeall;num=[0,0,1,2,];den=[1,4,6,4];pzmap(num,den)得出結(jié)果如下圖6.1零極點(diǎn)所示圖6.1零極點(diǎn)6.2對電路的穩(wěn)定性進(jìn)行分析穩(wěn)定性是系統(tǒng)固有的性質(zhì)，與激勵(lì)信號(hào)無關(guān)，通過系統(tǒng)函數(shù)H(S)也能反映出系統(tǒng)是否穩(wěn)定。對任意有界的激勵(lì)信號(hào)，若系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)REF_Ref15376\w\h[21]，否則，則為不穩(wěn)定系統(tǒng),我們也可以通過系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布可以用來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。具體MATLAb程序方法如下：A=[1464];P=roots(A);ifmax(real(P))<0disp('穩(wěn)定系統(tǒng)');elsedisp('不是穩(wěn)定系統(tǒng)');end通過分析零極點(diǎn)圖得出該系統(tǒng)是個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)。第七章結(jié)論線性模擬電路是電子工程中非常重要的一個(gè)領(lǐng)域，對于系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)都有著至關(guān)重要的作用。線性模擬電路的系統(tǒng)分析實(shí)際上就是將線性模擬電路先轉(zhuǎn)化成微分方程，再對微分方程進(jìn)行求解的過程。在對這一課題進(jìn)行研究的過程中，我也發(fā)現(xiàn)了一些問題：首先是如何解決通過電路圖創(chuàng)建出正確的系統(tǒng)模型，這是分析的第一步也是最重要的一步；其次，在對微分方程進(jìn)行求解過程中，如果其初始條件以及激勵(lì)信號(hào)不同會(huì)導(dǎo)致得出不同結(jié)果，一般來說我們分析系統(tǒng)0時(shí)刻之后的系統(tǒng)響應(yīng)，必須知道信號(hào)加入瞬間0(+)時(shí)刻的初始條件。在計(jì)算這一系列過程中我很大程度上借助了MATLAB進(jìn)行快速計(jì)算，所以程序的編寫正確就很重要，并且需要熟練掌握MATLAB的使用方法以及它的語言特點(diǎn)。通過將任意輸入x(t)用指數(shù)分量表示成為可能的工具就是拉普拉斯變換，我們可以先通過電路圖的基本特性，得出系統(tǒng)的微分方程，然后根據(jù)系統(tǒng)的微分方程對其進(jìn)行單邊的拉氏變化，得到B(S)和A(S)，利用初始條件求出C(S),將系統(tǒng)輸入進(jìn)行拉氏變換可得到X(s),因?yàn)镠(S)=B(S)/A(S)，這樣就直接得出系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。也就是零輸入響應(yīng)yzit=C(S)/A(S)。而零狀態(tài)響應(yīng)就是與輸入信號(hào)有關(guān)，與系統(tǒng)內(nèi)部儲(chǔ)能無關(guān)，所以yzst=B(S)*H(S)。通過電路圖或方框圖寫出系統(tǒng)微分方程是分析線性模擬電路的基礎(chǔ)步驟之一，我們也可以直接從電路圖入手，用拉氏變化分析電路，利用基爾霍夫定律，電壓分壓和電流分流得到電路的傳遞函數(shù)。關(guān)于系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可以通過系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)進(jìn)行判斷，但是前提是這個(gè)系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，因果系統(tǒng)就是當(dāng)前輸出與未來無關(guān)。系統(tǒng)屬于因果系統(tǒng)且極點(diǎn)位于左半平面說明這個(gè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。也可以用穩(wěn)定系統(tǒng)的另外一個(gè)定義：若對于所有的有界輸入