【全套解析】高三數學一輪復習 77 立體幾何中的向量方法課件 （理） 新人教A

第七節(jié)

立體幾何中的向量方法1.理解直線的方向向量與平面的法向量．2．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關系．3．能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的一些定理(包括三垂線定理)．4．能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用.

一、平面的法向量1．所謂平面的法向量，就是指所在的直線與

的向量，顯然一個平面的法向量有

多個，它們是

向量．2．在空間中，給定一個點A和一個向量a，那么以向量a為法向量且經過點A的平面是

平面垂直無數共線唯一的．二、利用向量求空間角1．求兩條異面直線所成的角設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則2.求直線與平面所成的角設直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，則sinθ＝

＝

.3．求二面角的大小(1)若AB、CD分別是二面角α—l—β的兩個面內與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小就是

的夾角(如下圖①)．|cos〈a，n〉|(2)設n1，n2分別是二面角α—l—β的兩個面α，β的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補角)的大小就是

(如上圖②③)．二面角的平面角的大小1．已知點A(－3,1，－4)，則點A關于原點的對稱點坐標為(

)A．(1，－3，－4)

B．(－4,1，－3)C．(3，－1,4) D．(4，－1,3)答案：C答案：C4．我們把平面內與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量．在平面直角坐標系中，利用求動點軌跡方程的方法，可以求出過點A(2,1)且法向量為n＝(－1,2)的直線(點法式)方程為－(x－2)＋2(y－1)＝0，化簡后得x－2y＝0.類比以上求法，在空間直角坐標系中，經過點A(2,1,3)，且法向量n＝(－1,2,1)的平面(點法式)方程為____________．(請寫出化簡后的結果)答案：x－2y－z＋3＝05．如下圖圖，已知知三棱錐錐A—BCD中，A(－1,0,0)，B(0,1,0)，C(－4,0,0)，D(0,0,2)，則該三三棱錐的的高為________．熱點之一一利用空間間向量證證明平行行、垂直直問題1．證線線平平行與垂垂直若直線l1和l2的方向向量分分別為v1和v2，則：(1)l1∥l2?v1∥v2.(2)l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.2．證線面平行行與垂直若直線l的方向向量為為v，平面α的法向量為n，則：(1)l∥α?v⊥n.(2)l⊥α?v∥n.3．證面面平行行與垂直若平面α和β的法向量分別別為n1，n2，則(1)α∥β?n1∥n2.(2)α⊥β?n1⊥n2.[例1]如下圖圖，已已知直直三棱棱柱ABC—A1B1C1中，△△ABC為等腰腰直角角三角角形，，∠BAC＝90°°，且AB＝AA1，D、E、F分別為為B1A、C1C、BC的中點點．(1)求證：：DE∥平面ABC；(2)求證：：B1F⊥平面AEF.[思路探探究]可利用用線面面平行行的判判定定定理和和線面面垂直直的判判定定定理；；也可可用向向量法法建立立空間間直角角坐標標系，，用向向量的的坐標標運算算來解解決．．[課堂記記錄]如下圖圖建立立空間間直角角坐標標系A—xyz，令AB＝AA1＝4，則A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面AEF.即時訓訓練如下圖圖，在在直三三棱柱柱ABC—A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點D是AB的中點點．(1)求證：：AC⊥BC1；(2)求證：：AC1∥平面CDB1.證明：：∵直三三棱柱柱ABC—A1B1C1底面三三邊長長AC＝3，BC＝4，AB＝5，且C1C垂直底底面．．∴AC、BC、C1C兩兩垂垂直．．如下圖圖，以以C為坐標標原點點，直直線CA、CB、CC1分別為為x軸、y軸、z軸建立立空間間直角角坐標標系．．熱點之之二利用空空間向向量求求異面面直線線所成成的角角、二二面角角1．求異面面直線線所成成角時時注意意的問問題利用向向量的的夾角角來求求異面面直線線的夾夾角時時，注注意區(qū)區(qū)別：：當異異面直直線的的向量量的夾夾角為為銳角角或直直角時時，就就是該該異面面直線線的夾夾角；；當異異面直直線的的向量量的夾夾角為為鈍角角時，，其補補角才才是異異面直直線的的夾角角．2．利用用向量量法求求線面面角的的方法法．一是分分別求求出斜斜線和和它在在平面面內的的射影影直線線的方方向向向量，，轉化化為求求兩個個方向向向量量的夾夾角(或其補補角)；二是通通過平平面的的法向向量來來求，，即求求出斜斜線的的方向向向量量與平平面的的法向向量所所夾的的銳角角，取取其余余角就就是斜斜線和和平面面所成成的角角．[思路路探探究究](1)利用用所所建建坐坐標標系系，，準準確確寫寫出出所所需需點點的的坐坐標標代代入入夾夾角角公公式式．．(2)先求求面面SAB的一一個個法法向向量量，，代代入入夾夾角角公公式式．．注注意意所所求求角角與與此此夾夾角角的的關關系系．．即時訓練練熱點之三三利用空間間向量求求二面角角利用空間間向量方方法求二二面角，，可以有有兩種辦辦法：一是分別別在二面面角的兩兩個面內內找到一一個與棱棱垂直且且從垂足足出發(fā)的的兩個向向量，則則這兩個個向量的的夾角的的大小就就是二面面角的平平面角的的大?。?；二是通通過平面面的法向向量來求求：設二二面角的的兩個面面的法向向量分別別為n1和n2，則二面面角的大大小等于于〈n1，n2〉(或π－〈n1·n2〉)．注意：利利用空間間向量方方法求二二面角時時，注意意結合圖圖形判斷斷二面角角是銳角角還是鈍鈍角．即時訓練練解：(1)∵∵PA＝AD，M為△PAD的邊PD的中點，，∴AM⊥PD.又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AM，∴AM⊥平面PCD，∴平面面AMN⊥平面PCD.利用空間間向量解解決空間間中線面面位置關關系的論論證、空空間中各各種角的的求解問問題，以以代數運運算代替替復雜的的空間的的想象，，給解決決立體幾幾何問題題帶來了了鮮活的的方法．．另外，，空間向向量還可可以用來來解決許許多探索索性問題題，這類類問題具具有一定定的思維維深度，，更能考考查學生生的能力力，因此此正逐漸漸成為高高考命題題的熱點點題型．．[例4](2010·福建高考考)如右圖，，圓柱OO1內有一個個三棱柱柱ABC－A1B1C1，三棱柱柱的底面面為圓柱柱底面的的內接三三角形，，且AB是圓O的直徑．．(1)證明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；(2)設AB＝AA1.在圓柱OO1內隨機選選取一點，記記該點取取自于三三棱柱ABC－A1B1C1內的概率率為p.(ⅰ)當點C在圓周上上運動時時，求p的最大值值；(ⅱ)記平面A1ACC1與平面B1OC所成的角角為θ(0°<θ≤90°°)．當p取最大值值時，求求cosθ的值．[解](1)∵∵A1A⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A1A⊥BC.∵AB是圓O的直徑，，∴BC⊥AC.又AC∩A1A＝A，∴BC⊥平面A1ACC1.而BC?平面B1BCC1，所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1.(ⅱ)由(ⅰ)可知，p取最大值時時，OC⊥AB.于是，以O為坐標原點點，建立空空間直角坐坐標系O－