第四章 圖像變換

圖像變換傅立葉變換圖像FFTDCT變換點運算

用途：改變亮度，對比度等代數(shù)運算

是圖像之間點對點的運算幾何運算

涉及到空間位置變化，和灰度插值點運算線性灰度變換（線性點運算）非線性灰度變換（非線性點運算）分段線性灰度變換（分段線性點運算）MATLAB中文論壇http:///forum.php第三章小結(jié)

基本運算matlab實現(xiàn)

Imadd(A,B)對圖像進行加法運算J=imnoise(I,‘gaussian’,m,v)

m:均值v：方差imresize(A,m,method)J=imrotate(A,m,method);默認最鄰近差值法進行插值，默認旋轉(zhuǎn)出界的部分不被截出C:\ProgramFiles\MATLAB\R2007a\toolbox\images\imdemosMatlab軟件圖片庫消除背景影響cleara=imread('rice.png');subplot(1,3,1);imshow(a);background=imopen(a,strel('disk',15));在a上進行形態(tài)學(xué)運算；IM2=imopen(IM,NHOOD)使用結(jié)構(gòu)元素strel(NHOOD)進行開運算，這里的NHOOD是一個指定結(jié)構(gòu)元素鄰域的由0和1組成的數(shù)組。strel('disk',15)：創(chuàng)建一個半徑為15個像素的盤狀的結(jié)構(gòu)元素。

ap=imsubtract(a,background);subplot(1,3,2);imshow(background);subplot(1,3,3);imshow(ap);圖像裁剪I1=imcrop(I)I可以是灰度圖像、真彩色圖像或邏輯陣列。返回一個裁剪后的圖像為I1，和I類型相同。I1=imcrop(I,[xmin

yminwidthheight])對單次剪裁而言：xmin

ymin是剪裁的起始坐標，也就是剪裁后圖的左上角頂點，所以用xmin

ymin表示，是剪裁后圖的最小坐標。I=imread('cameraman.jpg');I1=imcrop(I,[80605050]);figure;subplot(121);imshow(I);subplot(122);imshow(I1);圖像裁剪動畫I=imread('cameraman.jpg');n=50;m=50;figure;imshow(I);fori=1:50n=n-1;m=m+1;I1=imcrop(I,[n,n,m,m]);figure;imshow(I1);end圖像旋轉(zhuǎn)clearall;I=imread('cameraman.jpg');figure;subplot(131);imshow(I);I1=imrotate(I,30,'crop');subplot(132);imshow(I1);I2=imrotate(I,30);subplot(133);imshow(I2);使用imrotate函數(shù)旋轉(zhuǎn)圖像，制作動畫效果I=imread('cameraman.jpg');fori=1:25I1=imrotate(I,15*i,'crop');figure;imshow(I1);end第四章圖像變換4.1引言4.2數(shù)字圖像的傅立葉變換4.3數(shù)字圖像的離散余弦變換圖像傅里葉變換的意義我們四周無時不被變化著色彩的光和變化著音調(diào)的聲音等在周期變化著的現(xiàn)象包圍著。頻率是最基本的感覺之一。4.1引言

空間域表示法變換域表示法空間域處理法（或稱空域法）頻域法（或稱變換域法）圖像表示法圖像處理法像素的二維陣列（矩陣）傅里葉變換-把圖像看成一組正弦、余弦諧波合成

1、圖像變換：把圖像從空間域轉(zhuǎn)換到變換域。方法：對圖象信息進行變換，使能量保持但重新分配。

2、圖像變換的意義：在變換域?qū)崿F(xiàn)圖像處理，用于圖像去噪、圖像壓縮、特征提取和圖像識別。如圖象增強：低通濾波，平滑噪聲；高通濾波，銳化邊緣。空間域->變換域->處理->逆變換->空間域

一般來說，圖像的邊緣和噪聲對應(yīng)Fourier變換中的高頻部分，所以低通濾波能夠平滑圖像、去除噪聲。圖像灰度發(fā)生聚變的部分與頻譜的高頻分量對應(yīng)，所以采用高頻濾波器衰減或抑制低頻分量，能夠?qū)D像進行銳化處理。所謂頻域，就是由圖像f(x,y)的二維傅立葉變換和相應(yīng)的頻率變量(u,v)的值所組成的空間。在空間域圖像強度的變化模式（或規(guī)律）可以直接在該空間得到反應(yīng)。F(0,0)是頻域中的原點，反應(yīng)圖像的平均灰度級，即圖像中的直流成分；低頻反映圖像灰度發(fā)生緩慢變化的部分；而高頻對應(yīng)圖像中灰度發(fā)生更快速變化的部分，如邊緣、噪聲等。但頻域不能反應(yīng)圖像的空間信息?！飯D像變換應(yīng)用原理圖像空間域數(shù)據(jù)圖像頻率域數(shù)據(jù)處理后的頻率域數(shù)據(jù)最終圖像正變換處理反變換4.2數(shù)字圖像的傅里葉變換圖像可看作線性疊加系統(tǒng)圖像變換是一維數(shù)字信號處理的推廣一維信號：任何波形=基波加權(quán)和圖像：image=基圖像加權(quán)和

在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用傅立葉變換，需要解決兩個問題：在數(shù)學(xué)中進行傅立葉變換的f(x)為連續(xù)（模擬）信號，而計算機處理的是數(shù)字信號（圖像數(shù)據(jù)）；數(shù)學(xué)上采用無窮大概念，而計算機只能進行有限次計算。通常，將受這種限制的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換（DiscreteFourierTransform，DFT)。設(shè){f(x)|f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}為一維信號f(x)的N個抽樣，其離散傅立葉變換對為式中：x，u=0，1，2，…,N－1。

N為階數(shù)(order)

考慮兩個變量，將一維離散傅立葉變換推廣到二維。二維離散傅立葉變換對定義為

式中：u,x=0,1,2,…,M-1；v,y=0,1,2,…,N-1；x,y為時域變量，u,v為頻域變量。二維離散函數(shù)的傅立葉頻譜、相位譜和能量譜分別為

式中，R(u,v)和I(u,v)分別是F(u,v)的實部和虛部。

離散傅立葉變換的性質(zhì)

二維離散傅立葉變換的性質(zhì)

1.可分離性

由可分離性可知，一個二維傅立葉變換可分解為兩步進行，其中每一步都是一個一維傅立葉變換。先對f(x,y)按行進行傅立葉變換得到F(x,v)，再對F(x,v)按列進行傅立葉變換，便可得到f(x,y)的傅立葉變換結(jié)果。顯然，對f(x,y)先按列進行離散傅立葉變換，再按行進行離散傅立葉變換也是可行的。

用兩次一維DFT計算二維DFT

用兩次一維DFT計算二維DFT

DFT取的區(qū)間是[0,N-1]，在這個區(qū)間內(nèi)頻譜是由兩個背靠背的半周期組成的，要顯示一個完整的周期，必須將變換的原點移至u=N/2點。

將f(x,y)與一個指數(shù)項相乘就相當(dāng)于把其變換后的頻域中心移動到新的位置。類似地，將F(u，v)與一個指數(shù)項相乘就相當(dāng)于把其反變換后的空域中心移動到新的位置。2.平移性質(zhì)對f(x，y)旋轉(zhuǎn)對應(yīng)于將其傅里葉變換F(u，v)也旋轉(zhuǎn)。3.旋轉(zhuǎn)不變性卷積定理如果f(x)的傅立葉變換是F(u)，并且g(x)的傅立葉變換是G(u)，那么即f(x)*g(x)的傅立葉變換是F(u)G(u)

一個類似的結(jié)果是，在頻域中的卷積歸結(jié)為在x域中的乘積，即

以上兩個結(jié)論稱為卷積定理?？沼蛑械木矸e等價于頻域中的相乘，可借助此特性來計算空域中的卷積。卷積是空間域濾波和頻率域濾波之間的紐帶。直流成分DFT的原點，即F(0,0)被設(shè)置在u=M/2和v=N/2上。(0,0)點的變換值為：即f(x,y)的平均值。如果是一幅圖像，在原點的傅里葉變換F(0,0)等于圖像的平均灰度級，也稱作頻率譜的直流成分。DFT變換進行圖像處理時有如下特點：（1）直流成分為F(0,0)。（2）幅度譜|F(u,v)|對稱于原點。（3）圖像f(x,y)平移后，幅度譜不發(fā)生變化，僅有相位發(fā)生了變化。離散函數(shù)的傅里葉變換數(shù)字圖像的二維離散傅里葉變換所得結(jié)果的頻率成分的分布示意圖如圖所示。即變換結(jié)果的左上、右上、左下、右下四個角的周圍對應(yīng)于低頻成分，中央部位對應(yīng)于高頻成分。為使直流成分出現(xiàn)在變換結(jié)果數(shù)組的中央，可采用圖示的換位方法。（a）原始圖像(b)中心化前的頻譜圖(c)中心化后的頻譜圖圖像頻譜的中心化

圖像的傅立葉變換原圖像

幅度譜相位譜

對于一幅圖像，圖像中灰度變化比較緩慢的區(qū)域可以用較低頻譜的正弦信號近似，而灰度變化比較大的邊緣地帶則要用高頻正弦信號近似。一幅圖像中大部分都是灰度變化緩慢的區(qū)域，只有一小部分是邊緣，因此，其變換域的圖像，能量主要集中在低頻部分（對應(yīng)幅值較高），只有一小部分能量集中在高頻部分（對應(yīng)幅值較低）。圖像傅立葉變換從幅度譜中我們

可以看出明亮線

反映出原始圖像

的灰度級變化，

這正是圖像的輪

廓邊圖像傅立葉變換從幅度譜中我們

可以看出明亮線

和原始圖像中對

應(yīng)的輪廓線是垂

直的。如果原始

圖像中有圓形區(qū)

域那么幅度譜中

也呈圓形分布圖像傅立葉變換圖像中的顆粒狀對

應(yīng)的幅度譜呈環(huán)狀，

但即使只有一顆顆

粒，其幅度譜的模

式還是這樣。圖像傅立葉變換這些圖像沒有特定

的結(jié)構(gòu)，左上角到

右下角有一條斜線，

它可能是由帽子和

頭發(fā)之間的邊線產(chǎn)

生的兩個圖像都存在一

些小邊界例

實際圖像的傅里葉頻譜

下圖給出兩幅實際圖像和他們的傅里葉頻譜圖。圖(a)的圖像反差比較柔和，反映在傅里葉頻譜上低頻分量較多，頻譜圖中心值較大（中心為頻域原點）。圖(b)的圖象中有較規(guī)則的線狀物，反映在傅里葉頻譜上也有比較明顯的射線狀條帶。

(a)(b)★ＭＡＴＬＡＢ中圖像的FFT注意：為了能看出細節(jié)，顯示時一般用log|F（u，v）|或log（1+k|F（u，v）|）！fft2()fftshift()ifftshift()ifft2()頻域變換MatLab實現(xiàn)例：傅立葉正反變換I=imread('lena.jpg');J=fft2(I);K=ifft2(J);subplot(2,2,1);imshow(I);subplot(2,2,2);imshow(log(abs(J)),[]);subplot(2,2,3);imshow(log(abs(fftshift(J))),[]);subplot(2,2,4);imshow(uint8(abs(K)));原始圖像頻譜（無平移）頻譜（平移）逆變換圖像DFT的應(yīng)用-圖像頻譜顯示

【例】頻譜圖像二維顯示clfI=imread('demo.jpg');imshow(I,[]);

結(jié)果1clfI=imread('demo.jpg');I1=fftshift(fft2(I));imshow(abs(I1),[]),colormap(jet(256)),colorbar

%在坐標軸中顯示顏色標尺

用colormap來定義圖像顯示用的顏色查找表，比如用colormap(pink)，可以把黑白圖像顯示成帶粉紅色的圖像.結(jié)果2clfI=imread('demo.jpg');I1=fftshift(fft2(I));imshow(log(1+10*abs(I1)),[])colormap(jet(256)),colorbarabs:求絕對值或者復(fù)數(shù)的模

DFT的應(yīng)用-圖像頻譜顯示

【例】頻譜圖像三維顯示I=zeros(256,256);構(gòu)造原始圖像I(28:228,108:148)=1;imshow(I);求原始圖像的傅里葉頻譜J=fft2(I);F=abs(J);J1=fftshift(F);figureimshow(J1,[550]);構(gòu)造原始圖像I=zeros(256,256);I(28:228,108:148)=1;J=imrotate(I,315,‘bilinear’,‘crop’);旋轉(zhuǎn)figureimshow(J);J1=fft2(J);求旋轉(zhuǎn)后傅里葉頻譜F=abs(J1);J2=fftshift(F);figureimshow(J2,[550])驗證二維離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)性a）原始圖像（b）原圖像的傅里葉頻譜（c）旋轉(zhuǎn)后的圖像（d）旋轉(zhuǎn)后圖像的傅里葉頻譜上例表明，對旋轉(zhuǎn)一個角度對應(yīng)于將其傅里葉變換也旋轉(zhuǎn)相同的角度。

真彩圖及其傅里葉變換譜I=imread('lena

color.jpg');figure(1);subplot(131);imshow(I);B=rgb2gray(I);subplot(132);imshow(B);s=fftshift(fft2(B));subplot(133);imshow(log(abs(s)),[]);將一幅圖加入高斯噪聲，得出一個有顆粒噪聲的圖，并求其中心移到零點的頻譜圖I=imread('lena.jpg');J=imnoise(I,'gaussian',0,0.01);figure;imshow(J);P=fftshift(fft2(J));figure;imshow(log(abs(P)),[8,10]);圖像如果存在明顯的顆粒噪聲，變換后的高頻幅值數(shù)值增加，分布增多。由此得出，圖像灰度變化緩慢的區(qū)域，對應(yīng)它變換后的低頻分量部分：圖像灰度呈階躍變換的區(qū)域，對應(yīng)變換后的高頻分量部分。除顆粒噪聲外，圖像細節(jié)的邊緣，輪廓處都是灰度變化突變區(qū)域。它們都具有變換后的高頻分量特征。DFT總結(jié)：

可以將傅里葉變換比作一個玻璃棱鏡。棱鏡是可以將光分解為不同顏色的物理儀器，每個成分的顏色由波長（或頻率）來決定。傅里葉變換可以看作是數(shù)學(xué)上的棱鏡，將函數(shù)基于頻率分解為不同的成分。當(dāng)我們考慮光時,討論它的光譜或頻率譜。同樣,傅立葉變換使我們能通過頻率成分來分析一個函數(shù)。

圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。

數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來處理的。從效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話說，傅立葉變換是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)。Fourier變換有兩個好處：1）可以得出信號在各個頻率點上的強度。2）可以將卷積運算化為乘積運算。1.傅立葉變換在圖像濾波中的應(yīng)用

Fourier變換后的圖像，中間部分為低頻部分，越靠外邊頻率越高。因此，可以在Fourier變換圖中，選擇所需要的高頻或是低頻濾波。傅立葉變換在圖象處理中的應(yīng)用傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用(a)有柵格影響的原始圖像

(b)傅里葉變換頻譜圖(c)去除高頻成分(d)傅里葉反變換結(jié)果圖像的平坦區(qū)域，占有圖像的低頻（中心）位置，對于柵格部分，可以認為是一種正弦波，對應(yīng)頻率在頻譜圖上出現(xiàn)較高的值，即原點兩側(cè)的亮點，把正弦波信號去除后，再求傅里葉逆變換，就會達到去除噪聲的目的。(a)原始圖像(b)原始圖像的頻譜(c)增強縱軸上的某一譜段的強度

(d)傅里葉逆變換的結(jié)果同樣，對一幅圖像頻譜的縱向中心軸上增加一個譜段上的強度時就會有橫向的波紋出現(xiàn)2.

傅立葉變換在卷積中的應(yīng)用

傅立葉變換在卷積中的應(yīng)用圖像顯示常用lg(|F(u,v)|)顯示其傅立葉譜，目的是更好的顯示高頻，利于對圖像頻譜的視覺理解Matlab實現(xiàn)函數(shù)fft2(X)fftshift(F)ifft2(F)4.3數(shù)字圖像的離散余弦變換傅立葉變換計算的對象是復(fù)數(shù)，計算速度慢，但功能強大為了提高計算速度，提出了計算對象是實數(shù)的變換，如離散余弦變換（DCT）余弦變換應(yīng)用廣泛圖像壓縮編碼(JPEG)語音信號處理。。。離散余弦變換DCTDCT是先將整體圖像分成N*N像素塊，然后對N*N像素塊逐一進行DCT變換。特性：對一幅典型圖像來說，其大部分可視化信息集中在少數(shù)DCT系數(shù)上?；谶@個特性，DCT常被用于圖像壓縮，如目前的國際壓縮標準的JPEG格式中就用到了DCT變換。應(yīng)用MATLAB實現(xiàn)圖像的DCT變換。解：MATLAB程序如下：

A=imread('pout.tif'); %