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文檔簡介
第四十二講拋物線回歸課本1.拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條直線l(F?l)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.2.拋物線的標準方程和幾何意義考點陪練1.(2010·湖南)設拋物線y2=8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點的距離是()A.4 B.6C.8 D.12解析:由拋物線的方程得 再根據(jù)拋物線的定義,可知所求距離為4+2=6,故選B.答案:B解析:如圖,由直線的斜率為得∠AFH=60°,∠FAH=30°,∴∠PAF=60°.又由拋物線的定義知|PA|=|PF|,∴△PAF為等邊三角形,由|HF|=4得|AF|=8,∴|PF|=8.答案:B3.(2010·陜西)已知拋物線y2=2px(p>0)的準線與圓(x-3)2+y2=16相切,則p的值為()
解析:由已知,可知拋物線的準線與圓(x-3)2+y2=16相切.圓心為(3,0),半徑為4,圓心到準線的距離 解得p=2.故選C.答案:C4.若點P到點F(0,2)的距離離比它它到直直線y+4=0的距離離小2,則P的軌跡跡方程程為()A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y解析:由題意意知,P到F(0,2)的距離離比它它到y(tǒng)+4=0的距離離小2,因此P到F(0,2)的距離離與到到直線線y+2=0的距離離相等等,故P的軌跡跡是以以F為焦點點,y=-2為準線線的拋拋物線線,所以P的軌跡跡方程程為x2=8y.答案:C答案:A類型一一拋拋物線線的定定義解題準準備:利用拋拋物線線定義義可將將拋物物線上上的點點到拋拋物線線的焦焦點和和準線線的距距離相相互轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化.例如若若點P0(x0,y0)是拋物物線y2=2px(p>0)上的任任一點點,則該點點到拋拋物線線的焦焦點F的距離離(焦半徑徑公式式),這一公公式的的直接接運用用會為為我們們求解解有關關到焦焦點或或準線線的距距離的的問題題帶來來方便便.在求過過焦點點的一一弦長長時,經(jīng)常將將其轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為為兩端端點到到準線線的距距離之之和,再用根根與系系數(shù)關關系求求解,有時也也把點點到準準線的的距離離轉(zhuǎn)化化為點點到焦焦點的的距離離進行行求解解.【典例1】(1)在拋物物線y2=4x上找一一點M,使|MA|+|MF|最小,其中A(3,2),F(1,0),求M點的坐標及及此時的最最小值.(2)已知拋物線線y2=2x和定點拋拋物線上有有動點P,P到點A的距離為d1,P到拋物線準準線的距離離為d2,求d1+d2的最小值及及此時P點的坐標.[解]要求最小值值問題,可考慮拋物物線的定義義,通過定義轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為“兩兩點之間線線段最短””及“三角角形兩邊之之和大于第第三邊”這這一結(jié)論.(1)如圖,點A在拋物線y2=4x的內(nèi)部,由拋物線的的定義可知知,|MA|+|MF|=|MA|+|MH|,其中|MH|為M到拋物線的的準線的距距離.過A作拋物線的的準線的垂垂線交拋物物線于M1,垂足為B,則|MA|+|MF|=|MA|+|MH|≥|AB|=4(當且僅當點點M在M1的位置時),此時M點的坐標為為(1,2).(2)如圖,點在在拋物線y2=2x的外部,由拋物線的的定義可知知,(其中F為拋物線的的焦點).此時P點的坐標為為(2,2).[反思感悟]熟練掌握和和靈活運用用定義是解解題的關鍵鍵.利用拋物線線定義可將將拋物線上上的點到拋拋物線的焦焦點和準線線的距離相相互轉(zhuǎn)化.例如若點點P0(x0,y0)是拋物線線y2=2px(p>0)上的任一一點,則該點到到拋物線線的焦點點F的距離(焦半徑公公式),這一公式式的直接接運用會會為我們們求解有有關到焦焦點或準準線的距距離的問問題帶來來方便.在求過焦焦點的一一弦長時時,經(jīng)常將其其轉(zhuǎn)化為為兩端點點到準線線的距離離之和,再用韋達達定理求求解,有時也把把點到準準線的距距離轉(zhuǎn)化化為點到到焦點的的距離進進行求解解.類型二求求拋物物線的方方程解題準備備:求拋物線線的標準準方程常常用的方方法是待待定系數(shù)數(shù)法.為避免開開口方向向不確定定而設成成多種形形式的麻麻煩,可以將焦焦點在x軸上的拋拋物線的的標準方方程統(tǒng)一一設為y2=ax(a≠0);焦點在y軸上的拋拋物線的的標準方方程統(tǒng)一一設為x2=ay(a≠0).【典例2】求下列各各拋物線線的方程程:(1)頂點在坐坐標原點點,對稱軸為為坐標軸軸,且經(jīng)過點點M(-2,-4);(2)頂點在坐坐標原點點,焦點在y軸上,拋物線上上一點Q(m,-3)到焦點的的距離等等于5.[解](1)設拋物線線為y2=mx或x2=ny,則(-4)2=m(-2)?m=-8或(-2)2=n(-4)?n=-1.∴所求的拋拋物線方方程為y2=-8x或x2=-y.(2)依題意,拋物線開開口向下下,故設其方方程為x2=-2py.則準線方方程為又又設焦焦點為F,則故拋物線線方程為為x2=-8y.[反思感悟悟]這里易犯犯的錯誤誤就是缺缺乏對開開口方向向的討論論,先入為主主,設定一種種形式的的標準方方程后求求解,以致失去去另一解解.類型三拋拋物線線的幾何何性質(zhì)解題準備備:1.以拋物線線的標準準方程y2=2px(p>0)為例,有如下幾何性性質(zhì):①范圍:拋物線y2=2px(p>0)開口向右,且向右上方和和右下方無限限延伸;②拋物線只有一一條對稱軸x軸,沒有對稱中心心;③頂點:拋物線和它的的軸的交點叫叫做拋物線的的頂點,即坐標原點.頂點是焦點向向準線所作垂垂線段的中點點;④離心率:拋物線上的點點M與焦點的距離離和它到準線線的距離的比比,叫拋物線的離離心率,e=1.2.拋物線的每一一條過焦點的的弦被焦點分分成兩段焦半半徑,由焦半徑公式式可推出拋物物線的焦點弦弦長公式:設過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的弦為AB,設A(x1,y1),B(x2,y2),則弦長|AB|=|AF1|+|BF1|=x1+x2+p.特別地,當弦AB與拋物線的對對稱軸垂直時時,這條弦稱為通通徑,其長度為2p.[分析]考查拋物線的的過焦點的弦弦的性質(zhì).將拋物線的焦焦點弦的方程程設出,代入拋物線方方程,利用韋達定理理等解決問題題.類型四 直線線與拋物線的的位置關系解題準備:直線和拋物線線的位置關系系,可通過直線方方程與拋物線線方程組成的的方程組實數(shù)數(shù)解的個數(shù)來來確定,同時注意過焦焦點的弦的一一些性質(zhì),如:弦長l=x1+x2+p.(2)當直線l的斜率不存在在時,x=8與拋物線沒有有交點,不合題意.當直線l的斜率存在時時,設直線l的斜率為k,則l:y=k(x-8).設M(x1,y1),N(x2,y2),即x1x2+x1+x2+1+k2(x1-8)(x2-8)=97,∴(1+k2)x1x2+(1-8k2)(x1+x2)+1+64k2=97,②將y=k(x-8)代入y2=-4x得k2x2+(4-16k2)x+64k2=0,∴代入②②式得得:64(1+k2)+(1-8k2)整理得得∴l(xiāng)的方程程為:即x-2y-8=0或x+2y-8=0.錯源一一對對拋拋物線線的定定義理理解不不透而而致錯錯【典例1】若動點點M到定點點F(1,0)的距離離等于于它到到定直直線l:x-1=0距離,則動點點M的軌跡跡是()A.拋物線線B.直線C.圓D.橢圓[錯解]由拋物物線的的定義義知動動點M的軌跡跡是拋拋物線線,故選A.[剖析]拋物線線的定定義中中隱含含一個個條件件“定定點F不在定定直線線l上”.若“定定點F在定直直線l上”,那么動動點的的軌跡跡就不不再是是拋物物線,而是過過定點點F且與定定直線線l垂直的的直線線.[正解]因定點點F(1,0)在定直直線l:x-1=0上,故動點點M的軌跡跡是直直線,應選B.[答案]B錯源二二對對拋物物線的的標準準方程程認識識不清清而致致誤[答案]C錯源三三對對問題題考慮慮不全全面而而致錯錯【典例3】過點M(1,-2)的拋物物線的的標準準方程程為________.[錯解]設拋物物線方方程為為y2=2px,把點M(1,-2)的坐標標代入入得2p=4,故拋物物線的的標準準方程程為y2=4x.[剖析]上面的的解法法漏掉掉了拋拋物線線的焦焦點還還可以以在y軸的負負半軸軸上的的情形形.[正解]當拋物物線的的焦點點在x軸上時時,設方程程為y2=mx(m≠0),把點M(1,-2)的坐標標代入入得m=4,故拋物物線的的標準準方程程為y2=4x;當拋物物線的的焦點點在y軸上時時,設方方程程為為x2=ny(n≠≠0),把點點M(1,-2)的坐坐標標代代入入得得故故拋拋物物線線的的標標準準方方程程為為故應應填填y2=4x和[答案案]錯源源四四對對直直線線與與拋拋物物線線只只有有一一個個公公共共點點認認識識不不清清【典例例4】】求過過點點(0,1)且與與拋拋物物線線y2=2x只有有一一個個公公共共點點的的直直線線l的方方程程.[剖析析]事實實上上,上述述解解法法只只考考慮慮了了直直線線l的斜斜率率存存在在且且不不為為0時[正解](1)當直線l的斜率為0時,則l:y=1,此時l平行于拋物線的對稱軸,且于拋物線只有一個公共點(2)當直線l的斜率k≠0時,同錯解.(3)當k不存在時,則l:x=0與拋物線y2=2x相切于點(0,0).綜上可知,所求直線l的方程為:
技法法一一拋拋物物線線中中過過定定點點直直線線的的性性質(zhì)質(zhì)【典例例1】】已知知拋拋物物線線y2=2px(p>0),過(2p,0)作直直線線交交拋拋物物線線于于兩兩點點,請寫寫出出你你所所能能得得出出的的不不同同結(jié)結(jié)論論.[分析析]設直直線線與與拋拋物物線線交交于于A??B兩點點,有以以下下結(jié)結(jié)論論:結(jié)論論1:OA⊥⊥OB.[證明明]設P(2p,0),當AB不垂直于于x軸時,△OPM為直角三三角形,M在以OP為直徑的的圓周上上,方程為(x-p)2+y2=p2.當AB⊥x軸時,M點與P點重合,滿足上述述
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