《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 拋物線課件

第四十二講拋物線回歸課本1.拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條直線l(F?l)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何意義考點(diǎn)陪練1.(2010·湖南)設(shè)拋物線y2=8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4,則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是()A.4 B.6C.8 D.12解析:由拋物線的方程得 再根據(jù)拋物線的定義,可知所求距離為4+2=6,故選B.答案:B解析:如圖,由直線的斜率為得∠AFH=60°,∠FAH=30°,∴∠PAF=60°.又由拋物線的定義知|PA|=|PF|,∴△PAF為等邊三角形,由|HF|=4得|AF|=8,∴|PF|=8.答案:B3.(2010·陜西)已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓(x-3)2+y2=16相切,則p的值為()

解析:由已知,可知拋物線的準(zhǔn)線與圓(x-3)2+y2=16相切.圓心為(3,0),半徑為4,圓心到準(zhǔn)線的距離 解得p=2.故選C.答案:C4.若點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,2)的距離離比它它到直直線y+4=0的距離離小2,則P的軌跡跡方程程為()A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y解析:由題意意知,P到F(0,2)的距離離比它它到y(tǒng)+4=0的距離離小2,因此P到F(0,2)的距離離與到到直線線y+2=0的距離離相等等,故P的軌跡跡是以以F為焦點(diǎn)點(diǎn),y=-2為準(zhǔn)線線的拋拋物線線,所以P的軌跡跡方程程為x2=8y.答案:C答案:A類型一一拋拋物線線的定定義解題準(zhǔn)準(zhǔn)備:利用拋拋物線線定義義可將將拋物物線上上的點(diǎn)點(diǎn)到拋拋物線線的焦焦點(diǎn)和和準(zhǔn)線線的距距離相相互轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化.例如若若點(diǎn)P0(x0,y0)是拋物物線y2=2px(p>0)上的任任一點(diǎn)點(diǎn),則該點(diǎn)點(diǎn)到拋拋物線線的焦焦點(diǎn)F的距離離(焦半徑徑公式式),這一公公式的的直接接運(yùn)用用會為為我們們求解解有關(guān)關(guān)到焦焦點(diǎn)或或準(zhǔn)線線的距距離的的問題題帶來來方便便.在求過過焦點(diǎn)點(diǎn)的一一弦長長時,經(jīng)常將將其轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為為兩端端點(diǎn)到到準(zhǔn)線線的距距離之之和,再用根根與系系數(shù)關(guān)關(guān)系求求解,有時也也把點(diǎn)點(diǎn)到準(zhǔn)準(zhǔn)線的的距離離轉(zhuǎn)化化為點(diǎn)點(diǎn)到焦焦點(diǎn)的的距離離進(jìn)行行求解解.【典例1】(1)在拋物物線y2=4x上找一一點(diǎn)M,使|MA|+|MF|最小,其中A(3,2),F(1,0),求M點(diǎn)的坐標(biāo)及及此時的最最小值.(2)已知拋物線線y2=2x和定點(diǎn)拋拋物線上有有動點(diǎn)P,P到點(diǎn)A的距離為d1,P到拋物線準(zhǔn)準(zhǔn)線的距離離為d2,求d1+d2的最小值及及此時P點(diǎn)的坐標(biāo).[解]要求最小值值問題,可考慮拋物物線的定義義,通過定義轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為“兩兩點(diǎn)之間線線段最短””及“三角角形兩邊之之和大于第第三邊”這這一結(jié)論.(1)如圖,點(diǎn)A在拋物線y2=4x的內(nèi)部,由拋物線的的定義可知知,|MA|+|MF|=|MA|+|MH|,其中|MH|為M到拋物線的的準(zhǔn)線的距距離.過A作拋物線的的準(zhǔn)線的垂垂線交拋物物線于M1,垂足為B,則|MA|+|MF|=|MA|+|MH|≥|AB|=4(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)M在M1的位置時),此時M點(diǎn)的坐標(biāo)為為(1,2).(2)如圖,點(diǎn)在在拋物線y2=2x的外部,由拋物線的的定義可知知,(其中F為拋物線的的焦點(diǎn)).此時P點(diǎn)的坐標(biāo)為為(2,2).[反思感悟]熟練掌握和和靈活運(yùn)用用定義是解解題的關(guān)鍵鍵.利用拋物線線定義可將將拋物線上上的點(diǎn)到拋拋物線的焦焦點(diǎn)和準(zhǔn)線線的距離相相互轉(zhuǎn)化.例如若點(diǎn)點(diǎn)P0(x0,y0)是拋物線線y2=2px(p>0)上的任一一點(diǎn),則該點(diǎn)到到拋物線線的焦點(diǎn)點(diǎn)F的距離(焦半徑公公式),這一公式式的直接接運(yùn)用會會為我們們求解有有關(guān)到焦焦點(diǎn)或準(zhǔn)準(zhǔn)線的距距離的問問題帶來來方便.在求過焦焦點(diǎn)的一一弦長時時,經(jīng)常將其其轉(zhuǎn)化為為兩端點(diǎn)點(diǎn)到準(zhǔn)線線的距離離之和,再用韋達(dá)達(dá)定理求求解,有時也把把點(diǎn)到準(zhǔn)準(zhǔn)線的距距離轉(zhuǎn)化化為點(diǎn)到到焦點(diǎn)的的距離進(jìn)進(jìn)行求解解.類型二求求拋物物線的方方程解題準(zhǔn)備備:求拋物線線的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方程常常用的方方法是待待定系數(shù)數(shù)法.為避免開開口方向向不確定定而設(shè)成成多種形形式的麻麻煩,可以將焦焦點(diǎn)在x軸上的拋拋物線的的標(biāo)準(zhǔn)方方程統(tǒng)一一設(shè)為y2=ax(a≠0);焦點(diǎn)在y軸上的拋拋物線的的標(biāo)準(zhǔn)方方程統(tǒng)一一設(shè)為x2=ay(a≠0).【典例2】求下列各各拋物線線的方程程:(1)頂點(diǎn)在坐坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn),對稱軸為為坐標(biāo)軸軸,且經(jīng)過點(diǎn)點(diǎn)M(-2,-4);(2)頂點(diǎn)在坐坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,拋物線上上一點(diǎn)Q(m,-3)到焦點(diǎn)的的距離等等于5.[解](1)設(shè)拋物線線為y2=mx或x2=ny,則(-4)2=m(-2)?m=-8或(-2)2=n(-4)?n=-1.∴所求的拋拋物線方方程為y2=-8x或x2=-y.(2)依題意,拋物線開開口向下下,故設(shè)其方方程為x2=-2py.則準(zhǔn)線方方程為又又設(shè)焦焦點(diǎn)為F,則故拋物線線方程為為x2=-8y.[反思感悟悟]這里易犯犯的錯誤誤就是缺缺乏對開開口方向向的討論論,先入為主主,設(shè)定一種種形式的的標(biāo)準(zhǔn)方方程后求求解,以致失去去另一解解.類型三拋拋物線線的幾何何性質(zhì)解題準(zhǔn)備備:1.以拋物線線的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)為例,有如下幾何性性質(zhì):①范圍:拋物線y2=2px(p>0)開口向右,且向右上方和和右下方無限限延伸;②拋物線只有一一條對稱軸x軸,沒有對稱中心心;③頂點(diǎn):拋物線和它的的軸的交點(diǎn)叫叫做拋物線的的頂點(diǎn),即坐標(biāo)原點(diǎn).頂點(diǎn)是焦點(diǎn)向向準(zhǔn)線所作垂垂線段的中點(diǎn)點(diǎn);④離心率:拋物線上的點(diǎn)點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離離和它到準(zhǔn)線線的距離的比比,叫拋物線的離離心率,e=1.2.拋物線的每一一條過焦點(diǎn)的的弦被焦點(diǎn)分分成兩段焦半半徑,由焦半徑公式式可推出拋物物線的焦點(diǎn)弦弦長公式:設(shè)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的弦為AB,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則弦長|AB|=|AF1|+|BF1|=x1+x2+p.特別地,當(dāng)弦AB與拋物線的對對稱軸垂直時時,這條弦稱為通通徑,其長度為2p.[分析]考查拋物線的的過焦點(diǎn)的弦弦的性質(zhì).將拋物線的焦焦點(diǎn)弦的方程程設(shè)出,代入拋物線方方程,利用韋達(dá)定理理等解決問題題.類型四 直線線與拋物線的的位置關(guān)系解題準(zhǔn)備:直線和拋物線線的位置關(guān)系系,可通過直線方方程與拋物線線方程組成的的方程組實數(shù)數(shù)解的個數(shù)來來確定,同時注意過焦焦點(diǎn)的弦的一一些性質(zhì),如:弦長l=x1+x2+p.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在在時,x=8與拋物線沒有有交點(diǎn),不合題意.當(dāng)直線l的斜率存在時時,設(shè)直線l的斜率為k,則l:y=k(x-8).設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),即x1x2+x1+x2+1+k2(x1-8)(x2-8)=97,∴(1+k2)x1x2+(1-8k2)(x1+x2)+1+64k2=97,②將y=k(x-8)代入y2=-4x得k2x2+(4-16k2)x+64k2=0,∴代入②②式得得:64(1+k2)+(1-8k2)整理得得∴l(xiāng)的方程程為:即x-2y-8=0或x+2y-8=0.錯源一一對對拋拋物線線的定定義理理解不不透而而致錯錯【典例1】若動點(diǎn)點(diǎn)M到定點(diǎn)點(diǎn)F(1,0)的距離離等于于它到到定直直線l:x-1=0距離,則動點(diǎn)點(diǎn)M的軌跡跡是()A.拋物線線B.直線C.圓D.橢圓[錯解]由拋物物線的的定義義知動動點(diǎn)M的軌跡跡是拋拋物線線,故選A.[剖析]拋物線線的定定義中中隱含含一個個條件件“定定點(diǎn)F不在定定直線線l上”.若“定定點(diǎn)F在定直直線l上”,那么動動點(diǎn)的的軌跡跡就不不再是是拋物物線,而是過過定點(diǎn)點(diǎn)F且與定定直線線l垂直的的直線線.[正解]因定點(diǎn)點(diǎn)F(1,0)在定直直線l:x-1=0上,故動點(diǎn)點(diǎn)M的軌跡跡是直直線,應(yīng)選B.[答案]B錯源二二對對拋物物線的的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方程程認(rèn)識識不清清而致致誤[答案]C錯源三三對對問題題考慮慮不全全面而而致錯錯【典例3】過點(diǎn)M(1,-2)的拋物物線的的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方程程為________.[錯解]設(shè)拋物物線方方程為為y2=2px,把點(diǎn)M(1,-2)的坐標(biāo)標(biāo)代入入得2p=4,故拋物物線的的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方程程為y2=4x.[剖析]上面的的解法法漏掉掉了拋拋物線線的焦焦點(diǎn)還還可以以在y軸的負(fù)負(fù)半軸軸上的的情形形.[正解]當(dāng)拋物物線的的焦點(diǎn)點(diǎn)在x軸上時時,設(shè)方程程為y2=mx(m≠0),把點(diǎn)M(1,-2)的坐標(biāo)標(biāo)代入入得m=4,故拋物物線的的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方程程為y2=4x;當(dāng)拋物物線的的焦點(diǎn)點(diǎn)在y軸上時時,設(shè)方方程程為為x2=ny(n≠≠0),把點(diǎn)點(diǎn)M(1,-2)的坐坐標(biāo)標(biāo)代代入入得得故故拋拋物物線線的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程為為故應(yīng)應(yīng)填填y2=4x和[答案案]錯源源四四對對直直線線與與拋拋物物線線只只有有一一個個公公共共點(diǎn)點(diǎn)認(rèn)認(rèn)識識不不清清【典例例4】】求過過點(diǎn)點(diǎn)(0,1)且與與拋拋物物線線y2=2x只有有一一個個公公共共點(diǎn)點(diǎn)的的直直線線l的方方程程.[剖析析]事實實上上,上述述解解法法只只考考慮慮了了直直線線l的斜斜率率存存在在且且不不為為0時[正解](1)當(dāng)直線l的斜率為0時,則l:y=1,此時l平行于拋物線的對稱軸,且于拋物線只有一個公共點(diǎn)(2)當(dāng)直線l的斜率k≠0時,同錯解.(3)當(dāng)k不存在時,則l:x=0與拋物線y2=2x相切于點(diǎn)(0,0).綜上可知,所求直線l的方程為:

技法法一一拋拋物物線線中中過過定定點(diǎn)點(diǎn)直直線線的的性性質(zhì)質(zhì)【典例例1】】已知知拋拋物物線線y2=2px(p>0),過(2p,0)作直直線線交交拋拋物物線線于于兩兩點(diǎn)點(diǎn),請寫寫出出你你所所能能得得出出的的不不同同結(jié)結(jié)論論.[分析析]設(shè)直直線線與與拋拋物物線線交交于于A??B兩點(diǎn)點(diǎn),有以以下下結(jié)結(jié)論論:結(jié)論論1:OA⊥⊥OB.[證明明]設(shè)P(2p,0),當(dāng)AB不垂直于于x軸時,△OPM為直角三三角形,M在以O(shè)P為直徑的的圓周上上,方程為(x-p)2+y2=p2.當(dāng)AB⊥x軸時,M點(diǎn)與P點(diǎn)重合,滿足上述述