《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 正弦定理和余弦定理課件

第二十二講正弦定理和余弦定理回歸課本1.正弦定理(1)內(nèi)容:=2R(其中R為△ABC外接圓的半徑).(2)正弦定理的幾種常見變形①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②(其中R是△ABC外接圓半徑)③asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA;④a:b:c=sinA:sinB:sinC.2.余弦定理(1)余弦定理的內(nèi)容c2=b2+a2-2bacosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA.(2)余弦定理的變形(3)勾股定理是余弦定理的特殊情況在余弦定理表達(dá)式中分別令A(yù)?B?C為90°,則上述關(guān)系式分別化為:a2=b2+c2,b2=a2+c2,c2=a2+b2.

3.解斜三角形的類型在△ABC中,已知a、b和A時(shí),解的情況如下:4.測(cè)距離的應(yīng)用5.測(cè)高的的應(yīng)用用6.仰角?俯角?方位角角?視角(1)在視線線和水水平線線所成成的角角中,視線在在水平平線上上方的的角叫叫做仰角,在水平平線下下方的的角叫叫做俯角,如下左左圖所所示.(2)如上右右圖所所示,P點(diǎn)的方方向角角為南偏東東60°°.(3)由物體體兩端端射出出的兩兩條光光線,在眼球球內(nèi)交交叉而而成的的角叫叫做視角.7.△△ABC的面積積公式式有考點(diǎn)陪陪練答案:C答案:C答案:D4.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊邊為a,b,c,若B=45°°,則角A等于()A.30°°B.30°°或105°C.60°°D.60°°或120°答案:D5.(2010·湖南)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的的邊長(zhǎng)長(zhǎng)分別別為a,b,c.若∠C=120°,a,則()A.a>bB.a<bC.a=bD.a與b的大小小關(guān)系系不能能確定定解析:c2=a2+b2-2abcos120°°?a2-b2-ab=0?b=<a,故選A.答案:A類型一一正正弦定定理和和余弦弦定理理的應(yīng)應(yīng)用解題準(zhǔn)準(zhǔn)備:1.正弦定定理和和余弦弦定理理揭示示的都都是三三角形形的邊邊角關(guān)關(guān)系,根據(jù)題題目的的實(shí)際際情況況,我們可可以選選擇其其中一一種使使用,也可以以綜合合起來(lái)來(lái)運(yùn)用用.2.在求角角時(shí),能用余余弦定定理的的盡量量用余余弦定定理,因?yàn)橛糜谜蚁叶ɡ砝黼m然然運(yùn)算算量較較小,但容易易產(chǎn)生生增解解或漏漏解.3.綜合運(yùn)運(yùn)用正正?余弦定定理解解三角角形問問題時(shí)時(shí),要注意意以下下關(guān)系系式的的運(yùn)用用:A+B+C=π,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-【典例1】在△ABC中,若∠B=30°°,AC=2,求△ABC的面積積.[解]解法一一:根據(jù)正正弦定定理有有∴sinC=由AB>AC知∠C>∠∠B,則∠C有兩解解.(1)當(dāng)C為銳角角時(shí),∠C=60°°,∠∠A=90°,由三角角形面面積公公式得得:S=AB·AC·sinA=××2×sin90°=.(2)當(dāng)C為鈍角角時(shí),∠C=120°,∠A=30°°,由三角角形面面積公公式得得:S=AB·AC·sinA=∴△ABC的面積積為或或解法二二:由余弦弦定理理得:|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|·|BC|cosB,即:4=12+|BC|2-2××××|BC|××∴|BC|2-6|BC|+8=0,∴|BC|=2或|BC|=4.(1)當(dāng)|BC|=2時(shí),S△=|AB|·|BC|·sinB(2)當(dāng)|BC|=4時(shí),S△=|AB|·|BC|·sinB∴△ABC的面積積為或或[反思感感悟]本題主主要考考查正正弦定定理?三角形形面積積公式式及分分類討討論的的數(shù)學(xué)學(xué)思想想,同時(shí)也也考查查了三三角函函數(shù)的的運(yùn)算算能力力及推推理能能力.類型二二判判斷三三角形形的形形狀解題準(zhǔn)準(zhǔn)備:1.這類題題型主主要是是利用用正?余弦定定理及及其變變形,把題設(shè)設(shè)條件件中的的邊?角關(guān)系系轉(zhuǎn)化化為角角或邊邊的簡(jiǎn)簡(jiǎn)單關(guān)關(guān)系,從而進(jìn)進(jìn)行判判斷.2.判斷三三角形形的形形狀的的思路路大致致有兩兩種:一是化化邊為為角,以角為為著眼眼點(diǎn),利用正正?余弦定定理及及變形形,把已知知條件件轉(zhuǎn)化化為內(nèi)內(nèi)角三三角函函數(shù)之之間的的關(guān)系系,走三角角變形形之路路;二是化化角為為邊,以邊為為著眼眼點(diǎn),利用正正?余弦定定理及及變形形,把已知知條件件轉(zhuǎn)化化為邊邊的關(guān)關(guān)系,走代數(shù)數(shù)變形形之路路.在運(yùn)用用這些些方法法對(duì)等等式變變形時(shí)時(shí),一般兩兩邊不不約去去公因因式,應(yīng)移項(xiàng)項(xiàng)提公公因式式,以免產(chǎn)產(chǎn)生漏漏解.【典例2】在△ABC中,a、b、c分別表表示三三個(gè)內(nèi)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊邊,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)?sin(A+B),試判斷斷該三三角形形的形形狀.[分析]利用正正、余余弦定定理進(jìn)進(jìn)行邊邊角互互化,轉(zhuǎn)化為為邊邊邊關(guān)系系或角角角關(guān)關(guān)系.[解]解法一一:由已知知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)?sin(A+B).得a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)]∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA.由正弦弦定理理得sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA,即sin2A?sinAsinB=sin2B?sinAsinB.∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=∴△ABC是等腰腰三角角形或或直角角三角角形.解法二二:同解法法一可可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,由正、、余弦弦定理理得a2b?=b2a?∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∴∴a=b或c2=a2+b2,∴△ABC為等腰腰三角角形或或直角角三角角形.[反思感感悟]判斷三三角形形形狀狀主要要有如如下兩兩條途途徑:(1)利用正正、余余弦定定理把把已知知條件件轉(zhuǎn)化化為邊邊邊關(guān)關(guān)系,通過因因式分分解、、配方方等得得出邊邊的相相應(yīng)關(guān)關(guān)系,從而判判斷三三角形形的形形狀;(2)利用正正、余余弦定定理把把已知知條件件轉(zhuǎn)化化為內(nèi)內(nèi)角的的三角角函數(shù)數(shù)間的的關(guān)系系,通過三三角函函數(shù)恒恒等變變形,得出內(nèi)內(nèi)角的的關(guān)系系,從而判判斷出出三角角形的的形狀狀,此時(shí)要要注意意應(yīng)用用A+B+C=ππ這個(gè)結(jié)結(jié)論.在兩種種解法法的等等式變變形中中,一般兩兩邊不不要約約去公公因式式,應(yīng)移項(xiàng)項(xiàng)提取取公因因式,以免漏漏解.類型三三測(cè)測(cè)量高高度和和角度度問題題解題準(zhǔn)準(zhǔn)備:1.在測(cè)量量高度度的問問題中中,要正確確理解解仰角角?俯角和和坡角角?坡度等等特定定的相相關(guān)概概念,畫出準(zhǔn)準(zhǔn)確的的示意意圖.2.(1)仰角?俯角:在視線線和水水平線線所成成的角角中,視線在在水平平線上上方的的角叫叫仰角角,視線在在水平平線下下方的的角叫叫俯角角.(2)坡角?坡度:坡面與與水平平面的的夾角角叫做做坡角角;坡面的的豎直直高度度與水水平寬寬度的的比值值叫做做坡度度.3.測(cè)量角角度問問題,首先要要明確確方位位角?方向角角的含含義:指北或或指南南方向向線與與目標(biāo)標(biāo)方向向線所所成的的0°~90°的角叫叫做方方向角角:從指正正北方方向線線順時(shí)時(shí)針轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)到目目標(biāo)方方向線線所成成的角角度叫叫做方方位角角.4.方向角角是解解三角角形實(shí)實(shí)際問問題中中經(jīng)常常出現(xiàn)現(xiàn)的.目標(biāo)方方向角角一般般可用用“x偏x多少度度”來(lái)表示示,這里第第一個(gè)個(gè)“x”是“北”或“南”,第二個(gè)個(gè)“x”是“東”或“西”.如北偏偏東25°°等.5.在解此此類應(yīng)應(yīng)用題題時(shí),分析題題目條條件,理清已已知與與所求求,再根據(jù)據(jù)題意意正確確畫出出示意意圖,這是最最關(guān)鍵鍵?最重要要的一一步.通過這這一步步可將將實(shí)際際問題題轉(zhuǎn)化化成可可用數(shù)數(shù)學(xué)方方法解解決的的問題題,解題中中也要要注意意體會(huì)會(huì)正?余弦定定理““聯(lián)袂袂”使使用的的優(yōu)點(diǎn)點(diǎn).【典例3】在湖面面上高高h(yuǎn)m處,測(cè)得天天空中中一朵朵云的的仰角角為α,測(cè)得云云在湖湖中之之影的的俯角角為β.試證云云距湖湖面的的高度度為[證明]如圖,設(shè)湖面面上高高h(yuǎn)m處為A,測(cè)得云云C的仰角角為α,測(cè)得C在湖中中之影影D的俯角角為β,CD與湖面面交于于M,過A的水平平線交交CD于E.[反思感感悟]在測(cè)量量高度度時(shí),要理解解仰角角?俯角的的概念念.仰角和和俯角角都是是在同同一鉛鉛垂面面內(nèi),視線與與水平平線的的夾角角,當(dāng)視線線在水水平線線之上上時(shí),稱為仰仰角;當(dāng)視線線在水水平線線之下下時(shí),稱為俯俯角.解斜三三角形形應(yīng)用用題的的一般般步驟驟是:①準(zhǔn)確理理解題題意,分清已已知與與所求求;②依題意意畫出出示意意圖;③分析與與問題題有關(guān)關(guān)的三三角形形;④運(yùn)用正正?余弦定定理,有序地地解相相關(guān)的的三角角形,逐步求求解問問題的的答案案;⑤注意方方程思思想的的運(yùn)用用;⑥要把立立體幾幾何知知識(shí)與與平面面幾何何知識(shí)識(shí)綜合合運(yùn)用用.[探究]如圖,在海岸岸A處發(fā)現(xiàn)現(xiàn)北偏偏東45°°方向,距A處海海里的的B處有一一艘走走私船船.在A處北偏偏西75°°方向,距A處2海里的的C處的我我方緝緝私船船奉命命以海海里里/小時(shí)的的速度度追截截走私私船,此時(shí)走走私船船正以以10海里/小時(shí)的的速度度,從B處向北北偏東東30°°方向逃逃竄.問:緝私船船沿什什么方方向行行駛才才能最最快截截獲走走私船船?并求出出所需需時(shí)間間.[解]設(shè)緝私私船應(yīng)應(yīng)沿CD方向行行駛t小時(shí),才能最最快截截獲(在D點(diǎn))走私船船,則CD=t海里,BD=10t海里,在△ABC中,由余弦弦定理理,有BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,()2+22-2()·2·cos120°°=6,∴BC=海里.又∵∴sin∠ABC=∴∠ABC=45°°,∴∴B點(diǎn)在C點(diǎn)的正正東方方向上上,∴∠CBD=90°°+30°°=120°.在△BCD中,由正弦弦定理理,得∴sin∠BCD=∴∠BCD=30°°,∴∴緝私船船沿北北偏東東60°°的方向向行駛駛.又在△△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°°,∴∠D=30°°,∴∴BD=BC,即∴∴t=小時(shí)≈≈15分鐘.∴緝私船船應(yīng)沿沿北偏偏東60°°的方向向行駛駛,才能最最快截截獲走走私船船,大約需需要15分鐘.[評(píng)析]應(yīng)用解解三角角形的的知識(shí)識(shí)解決決實(shí)際際問題題的基基本步步驟是是:(1)根據(jù)題題意,抽象或或者構(gòu)構(gòu)造出出三角角形;(2)確定實(shí)實(shí)際問問題所所涉及及的數(shù)數(shù)據(jù)以以及要要求解解的結(jié)結(jié)論與與所構(gòu)構(gòu)造的的三角角形的的邊和和角的的對(duì)應(yīng)應(yīng)關(guān)系系;(3)選用正弦弦定理或或余弦定定理或者者二者相相結(jié)合求求解;(4)給出結(jié)論論.錯(cuò)源一因因忽視視邊角關(guān)關(guān)系而致致錯(cuò)【典例1】在△ABC中,已知A=60°,,b=2,則角B=________.[錯(cuò)解]在△ABC中,由正弦定定理,可得sinB=所以B=45°或B=135°.[剖析]上述錯(cuò)解解中的錯(cuò)錯(cuò)誤十分分明顯,若B=135°,則A+B=195°>180°°,故B=135°不適合題題意,是個(gè)增解解.這個(gè)增解解產(chǎn)生的的根源是是忽視了了a>b這一條件件,根據(jù)三角角形的邊邊角關(guān)系系,角B應(yīng)小于角角A,故B=135°應(yīng)舍去.[正解]在△ABC中,由正弦定定理可得得因?yàn)閍>b,所以A>B,所以B=45°.[答案]45°°[評(píng)析]已知兩邊邊和其中中一邊的的對(duì)角,求另一邊邊的對(duì)角角時(shí),一定要注注意根據(jù)據(jù)邊角關(guān)關(guān)系,確定適合合題意的的角是一一個(gè)還是是兩個(gè).錯(cuò)源二因因忽視視邊角關(guān)關(guān)系而致致錯(cuò)【典例2】在△ABC中,tanA=a2,tanB=b2,那么△ABC是()A.銳角三角角形B.直角三角角形C.等腰三角角形D.等腰三角角形或直直角三角角形[剖析]上述錯(cuò)解解忽視了了滿足sin2A=sin2B的另一個(gè)個(gè)角之間間的關(guān)系系:2A+2B=180°.[答案]D[評(píng)析]判斷三角角形形狀狀時(shí),一定要把把邊或角角的關(guān)系系考查周周全,避免遺漏漏.錯(cuò)源三因因忽視視角的范范圍而致致錯(cuò)【典例3】在△ABC中,若A=2B,求的的取值范范圍.[錯(cuò)解]在△ABC中,由正弦定定理,可得因?yàn)?<B<π,所以-1<cosB<1,所以-2<2cosB<2,又,所以0<2cosB<2,所以的的取值范范圍是(0,2).[剖析]上述錯(cuò)解解忽視了了根據(jù)已已知條件件A=2B進(jìn)一步考考查角B的取值范范圍.[正解]在△ABC中,由正弦定定理,可得因?yàn)锳=2B,A+B<ππ,所以所以<cosB<1,所以1<2cosB<2,所以的的取值值范圍圍是(1,2).[評(píng)析]對(duì)于三三角形形的內(nèi)內(nèi)角,一定要要注意意根據(jù)據(jù)三角角形內(nèi)內(nèi)角和和定理理準(zhǔn)確確限定定角的的取值值范圍圍.錯(cuò)源四四因因忽視視隱含含條件件而致致錯(cuò)【典例4】在△ABC中,已知a=4+b,a+c=2b,最大角角為120°,求最大大邊長(zhǎng)長(zhǎng).[錯(cuò)解]由可可得b-c=4,所以a>b>c,即最大大邊長(zhǎng)長(zhǎng)為a,所以A=120°,因?yàn)閎=a-4,c=b-4=a-8,所以在在△ABC中由余余弦定定理,得解得a=14或a=4,所以最最大邊邊長(zhǎng)為為4或14.[剖析]上述錯(cuò)錯(cuò)解忽忽視了了已知知條件件a=4+b中隱含含的a>4這一要要求.[正解]由可可得得b-c=4,所以a>b>c,即最大大邊長(zhǎng)長(zhǎng)為a,所以A=120°,因?yàn)閎=a-4,c=b-4=a-8,所以在在△ABC中由余余弦定定理,得解得a=14或a=4,因?yàn)閍=4+b,所以a>4,所以最最大邊邊長(zhǎng)為為14.[評(píng)析]對(duì)于題題目中中的隱隱含條條件,尤其是是范圍圍條件件,一定要要善于于挖掘掘.錯(cuò)源五五忽忽視內(nèi)內(nèi)角和和定理理的限限制[答案]A技法一一方方程思思想【典例1】如圖,D是直角角△ABC斜邊BC上一點(diǎn)點(diǎn),AB=AD,記∠CAD=αα,∠∠ABC=β.(1)證明:sinαα+cos2ββ=0;(2)若AC=,求β的值.[方法與與技巧巧]第(2)問借助助正弦弦定理理得到到“sinβ=sinαα”,結(jié)合第第(1)問的結(jié)結(jié)論消消去α角,把問題題轉(zhuǎn)化化為關(guān)關(guān)于sinβ的一元元二次次方程程,通過解解方程程求得得.此題靈靈活運(yùn)運(yùn)用了了消元元思想想和方方程思思想.技法二二分分類討討論思思想【典例2】如圖,有兩條條相交交成60°°的直線線xx′′,yy′′,其交點(diǎn)點(diǎn)為O,甲、乙乙兩輛輛汽車車分別別在xx′′,Oy′′上行駛駛,起初甲甲離O點(diǎn)30km,乙離O點(diǎn)10km,后來(lái)兩兩車均均用60km/h的速度度,甲沿xx′′方向,乙沿yy′′方向行行駛(設(shè)甲、、乙兩兩車最最初的的位置置分別別為A,B).(1)起初兩兩車的的距離離是多多少?(2)用包含含t的式子子表示示,t小時(shí)后后兩車車的距距離是是多少少?[解](1)由余弦弦定理理,知AB2=OA2+OB2-2××OA×OB××cos60°°=302+102-2××30×10××=700.故AB=(km).即起初初兩車車的距距離是是(2)設(shè)甲?乙兩車車t小時(shí)后后的位位置分分別為為P,Q,則AP=60t,BQ=60t.①當(dāng)0≤t≤時(shí),∠POQ=60°°.此時(shí)OP=30-60t,OQ=10+60t.由余弦弦定理理,得PQ2=(30-60t)2+(10+60t)2-2××(30-60t)(10+60t)cos60°°=10800