人教版八年級數(shù)學(xué)下冊第17章勾股定理

第十七章

勾股定理17.1勾股定理第1課時

勾股定理1課堂講解2課時流程逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)勾股定理勾股定理與圖形的面積相傳2500年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來觀察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？A、B、C的面積有什么關(guān)系？直角三角形三邊有什么關(guān)系？ABC讓我們一起探索這個古老的定理吧！1知識點勾股定理知1－導(dǎo)我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.圖1稱為“弦圖”，最早是由三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作法時給出的.

弦股勾圖1知1－導(dǎo)ABCABC(圖中每個小方格代表一個單位面積)圖2-1圖2-2(1)觀察圖2-1

正方形A中含有

個

小方格，即A的面積

是

個單位面積.正方形B的面積是

個單位面積.正方形C的面積是

個單位面積.99918知1－導(dǎo)ABCABC(圖中每個小方格代表一個單位面積)圖2-1圖2-2分“割”成若干個直角邊為整數(shù)的三角形=18(單位面積)S正方形c知1－導(dǎo)ABCABC(圖中每個小方格代表一個單位面積)圖2-1圖2-2(2)在圖2-2中，正方形A，B，

C中各含有多少個小方格？

它們的面積各是多少？(3)你能發(fā)現(xiàn)圖2-1中三個正方

形A，B，C的面積之間有

什么關(guān)系嗎？SA+SB=SC

即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積.知1－導(dǎo)ABCacbSa+Sb=Sc觀察所得到的各組數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？猜想:兩直角邊a、b與斜邊c之間的關(guān)系？a2+b2=c2知1－講┏a2+b2=c2acb

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股弦

勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)知1－講定義：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2＋b2＝c2.數(shù)學(xué)表達(dá)式：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，則a2＋b2＝c2.分清斜邊和直角邊．因為在Rt△ABC中，a，b，c是三邊，所以可以用勾股定理解決問題．例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的

對邊分別是a，b，c.(1)已知a＝b＝6，求c；

(2)已知c＝3，b＝2，求a；(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.知1－講導(dǎo)引：(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，∴由勾股定理，得(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，∴由勾股定理，得(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.

又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，

解得b＝知1－講解：總

結(jié)知1－講

利用勾股定理求直角三角形的邊長的方法：一般都要經(jīng)過“一分二代三化簡”這“三步曲”，即一分：分清哪條邊是斜邊，哪些是直角邊；二代：將已知邊長及兩邊之間的關(guān)系式代入a2＋b2＝c2（假設(shè)c是斜邊）；三化簡．1

設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，斜邊

長為c.(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=5，b=12，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.知1－練（來自《教材》）(1)(2)(3)解：知1－練下列說法中正確的是(

)A．已知a，b，c是三角形的三邊長，則a2＋b2＝c2B．在直角三角形中，兩邊的平方和等于第三邊的

平方C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2＋b2＝c2D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2＋b2＝c2C2知1－練3

若一個直角三角形的兩直角邊的長分別為a，b，

斜邊長為c，則下列關(guān)于a，b，c的關(guān)系式中不正確的是(

)A．b2＝c2－a2B．a(chǎn)2＝c2－b2C．b2＝a2－c2

D．c2＝a2＋b2C知1－練【中考·東營】在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC邊上的高AD＝6，則另一邊BC等于(

)A．10B．8C．6或10D．8或10C4知1－練【中考·陜西】如圖，將兩個大小、形狀完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中點A′與點A重合，點C′落在邊AB上，連接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，則B′C的長為(

)A．3B．6C．3D.A5知1－練【中考·漳州】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是線段BC上的動點(不含端點B，C)，若線段AD長為正整數(shù)，則點D的個數(shù)共有(

)A．5個B．4個C．3個D．2個C6知1－練如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，且AB＝4，BD＝5，則點D到BC的距離是(

)A．3

B．4

C．5

D．6A72知識點勾股定理與面積的關(guān)系知2－導(dǎo)

在一張紙上畫4個與圖所示的全等的直角三邊形，并把它們剪下來．如圖所示，用這四個直角三角形進行拼擺，將得到一個以a+b為邊長的大正方形和以直角形斜邊c為邊長的小正方形．歸納知2－導(dǎo)

觀察圖形，容易得到大正方形的邊長為

a+b，所以大正方形的面積是(a+b)2．又因為大正方形是由4個全等的直角三角形和中間的正方形拼成的，所以大正方形的面積又可表示成

ab×4+c2．因此有(a+b)2=ab×4+c2．整理得a2+b2=c2，即a、b、c為邊的直角三角形滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．知2－講例2觀察如圖所示的圖形，回答問題：(1)如圖①，△DEF為直角三角形，正方形P的面積

為9，正方形Q的面積為15，則正方形M的面積

為________；(2)如圖②，分別以直角

三角形ABC的三邊長為直徑向三角形外作三個半圓，

則這三個半圓形的面積之間的關(guān)系式是________；(用圖中字母表示)(3)如圖③，如果直角三角形兩直角邊的長分別為3和4，分別以直角三角形的三邊長為直徑作半圓，請你

利用(2)中得出的結(jié)論求陰影部分的面積．知2－講(1)根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理可得DF2＝DE2＋EF2，即正方形M的面積＝9＋15＝24；(2)

另外由勾股定理可知AC2＋BC2＝AB2，所以S1＋S2＝S3；(3)陰影部分的面積＝兩個小半圓形的面積和＋直角三角

形的面積－大半圓形的面積，由(2)可知兩個小半圓形

的面積和＝大半圓形的面積，所以陰影部分的面積＝

直角三角形的面積．導(dǎo)引：知2－講(1)24

(2)S1＋S2＝S3(3)設(shè)兩個小半圓形的面積分別為S1，S2，大半圓

形的面積為S3，三角形的面積為S△，

則S陰影＝S1＋S2＋S△－S3

＝S△＝×3×4＝6.解：總

結(jié)知2－講

與直角三角形三邊相連的正方形、半圓及正多邊形、圓都具有相同的結(jié)論：兩直角邊上圖形面積的和等于斜邊上的圖形面積．本例考查了勾股定理及正方形的面積公式，半圓形面積的求法，解答此類題目的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察所給圖形，面積與邊長、直徑有平方關(guān)系，就很容易聯(lián)想到勾股定理．1

如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊

形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的邊長分

別是12，16，9，12，求最大正方形E的面積.知2－練（來自《教材》）SE＝(122＋162)＋(92＋122)

＝400＋225

＝625.解：2(中考·株洲)如圖，以直角三角形的三邊a，b，c為

邊或直徑，分別向外作等邊三角形，半圓，等腰直

角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1＋S2＝S3的圖形個數(shù)是(

)A．1B．2C．3D．4知2－練D知2－練3如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面

積分別為3和4，則b的面積為(

)A．3B．4C．5D．7D知2－練如圖，已知△ABC為直角三角形，分別以直角邊AC，BC為直徑作半圓AmC和BnC，以AB為直徑作半圓ACB，記兩個月牙形陰影部分的面積之和為S1，△ABC的面積為S2，則S1與S2的大小關(guān)系為(

)A．S1＞S2

B．S1＜S2

C．S1＝S2

D．不能確定4C知2－練【中考·溫州】四個全等的直角三角形按如圖所示方式圍成正方形ABCD，過各較長直角邊的中點作垂線，圍成面積為S的小正方形EFGH，已知AM為Rt△ABM較長直角邊，AM＝2EF，則正方形ABCD的面積為(

)A．12S

B．10SC．9S

D．8S5C1.勾股定理的適用條件：直角三角形；它反映了直角

三角形三邊關(guān)系．2．由勾股定理的基本關(guān)系式：a2＋b2＝c2可得到一些

變形關(guān)系式：c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2

＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．1知識小結(jié)

在△ABC中，邊AB＝15，AC＝13，高AD＝12，則△ABC的周長是(

)A．42B．32C．42或32D．不能確定C2易錯小結(jié)本題應(yīng)分△ABC為銳角三角形和△ABC為鈍角三角形兩種情況討論．解本題時常常容易忽略其中一種情況而出錯．易錯點：考慮問題不全面而漏解.第十七章

勾股定理17.1勾股定理第2課時

勾股定理的實際應(yīng)用1課堂講解2課時流程逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)求實際中長（高）度的應(yīng)用求實際中的最短距離的應(yīng)用

如圖所示，一棱長為3cm的正方體．把所有的面都分成3×3個小正方形，假若一只螞蟻每秒爬2cm，則它從下底面A點，沿表面爬行至右側(cè)的B點，最少要花幾秒?1知識點求實際中長（高）度的應(yīng)用問題

如圖所示，從電線桿離地面8m處向地面拉一條鋼索，若這條鋼索在地面的固定點距離電線桿底部6m，那么需要多長的鋼索?知1－導(dǎo)歸納知1－導(dǎo)

應(yīng)用勾股定理解決實際問題，首先需要構(gòu)造直角三角形，把問題轉(zhuǎn)化為已知兩邊求直角三角形中第三邊的問題.然后確定好直角邊和斜邊，根據(jù)勾股定理a2＋b2=c2求出待求的線段長度，即三角形的邊長.勾股定理在生活中有廣泛應(yīng)用，例如長度，高度，距離，面積，體積等問題都可以利用勾股定理來解答.可以看出，木板橫著或豎著都不能從門框內(nèi)通過，只能試試斜著能否通過.門框?qū)蔷€AC的長度是斜著能通過的最大長度.求出AC，再與木板的寬比較，就能知道木板能否通過.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5.AC=≈2.24.因為AC大于木板的寬2.2m，所以木板能從門框內(nèi)通過.例1一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，

寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通

過？為什么？知1－講（來自《教材》）分析：解：總

結(jié)知1－講

實際問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，也就是建立直角三角形模型，利用勾股定理來解答.解：可以看出，BD=OD-OB.

在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理，

OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.OB==1.

在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4

-0.5)2=3.15.OD

=≈1.77,

BD=OD-OB≈l.77-1=0.77.

所以梯子的頂端沿墻下滑0.5m時，梯子底端并不是也外

移0.5m，而是外移約0.77m.例2如圖,一架2.6m長的梯子AB斜靠在一豎直的

墻AO上，這時AO為2.4m.如果梯子的頂端A沿

墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？知1－講（來自《教材》）總

結(jié)知1－講

生活中的一些實際問題常常通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型(直角三角形)來求解，勾股定理在生活中應(yīng)用面廣，建立的模型有時并不是已知兩邊求第三邊，而只是告訴了其中的一些關(guān)系，一般可設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)表示它們之間的關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理列方程解決問題．1

如圖，池塘邊有兩點A，B，點C是與BA方向成

直角的AC方向上一點，測得BC=60m，AC=20m.求A，B兩點間的距離(結(jié)果取整數(shù)).知1－練（來自《教材》）在Rt△BAC中，BC＝60m，AC＝20m，由勾股定理，得AB＝

＝≈57(m)．答：A，B兩點間的距離約為57m.解：2

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點

A(5，0)和B(0，4).求這兩點之間的距離.知1－練（來自《教材》）由點A(5，0)，B(0，4)可知OA＝5，OB＝4，又因為∠BOA＝90°，所以根據(jù)勾股定理，得AB＝

＝解：3(中考·安順)如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一

棵高4米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹

頂飛到另一棵樹的樹頂，小鳥至少飛行(

)A．8米

B．10米

C．12米

D．14米知1－練B【中考·紹興】如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻腳的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為(

)A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米知1－練4C【中考·黃岡】在黃岡長江大橋的東端一處空地上，有一塊矩形的標(biāo)語牌ABCD(如圖所示)，已知標(biāo)語牌的高AB＝5m，在地面的點E處，測得標(biāo)語牌點A的仰角(即∠AEB)為30°，在地面的點F處，測得標(biāo)語牌點A的仰角(即∠AFB)為75°，且點E，F(xiàn)，B，C在同一直線上，求點E與點F之間的距離．(計算結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73)知1－練5知1－練如圖，作FH⊥AE于H.由題意可知∠HAF＝∠HFA＝45°，∴AH＝HF，設(shè)AH＝HF＝xm，則EF＝2xm，EH＝

xm，在Rt△AEB中，∵∠E＝30°，AB＝5m，∴AE＝2AB＝10m，∴x＋

x＝10，∴x＝5－5，∴EF＝10－10≈7.3(m)，答：點E與點F之間的距離約為7.3m.解：2知識點求實際中的最短距離的應(yīng)用知2－導(dǎo)如圖1所示，有一個圓柱，它的高等于12cm，底面上圓的周長等于18cm.在圓柱下底面的點A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點A相對的點B處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？(1)自己做一個圓柱，嘗試從點A到點B沿圓柱側(cè)面畫出幾條路線，你覺得哪條路線最短呢？問題圖1知2－導(dǎo)(2)如圖2所示，將圓柱側(cè)面剪開展成一個長方形，從點A到點B的最短路線是什么？你畫對了嗎？(3)螞蟻從點A出發(fā)，想吃到點B處的食物，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？(4)若螞蟻先從點A直接爬到點C，然后再從點C沿地面直徑爬到點B，這樣爬的總路程與沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程比較，哪一條更短些？圖2歸納知2－導(dǎo)

最短路徑問題要轉(zhuǎn)化到平面圖形上，建立直角三角形模型，利用勾股定理解答.知2－講例3如圖所示的長方體的高為4cm，底面是長為5cm，寬

為3cm的長方形．一只螞蟻從頂點A出

發(fā)沿長方體的表面爬到頂點B.求：(1)螞蟻經(jīng)過的最短路程；(2)螞蟻沿著棱爬行(不能重復(fù)爬行同一

條棱)的最長路程．(1)螞蟻爬行的最短路線可放在平面內(nèi)，根據(jù)“兩點之間，

線段最短”去探求，而與頂點A，B相關(guān)的兩個面展開共

有三種方式，先根據(jù)勾股定理求出每一種方式下螞蟻

爬行的最短路程，從而可知螞蟻經(jīng)過的最短路程．(2)最長路線應(yīng)該是依次經(jīng)過長為5cm，4cm，5cm，4cm，3cm，4cm，5cm的棱．導(dǎo)引：知2－講(1)將長方體與頂點A，B相關(guān)的兩個面展開，共有三

種方式，如圖所示．若螞蟻沿側(cè)面爬行，如圖①，

則爬行的最短路程為

若螞蟻沿側(cè)面和上面爬行，如圖②③，

解：

知2－講

則爬行的最短路程分別為

因為

＜4＜3，

所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是cm.(2)5＋4＋5＋4＋3＋4＋5＝30(cm)，所以螞蟻沿著棱

爬行的最長路程是30cm.總

結(jié)知2－講

幾何體的表面上兩點間的最短路程問題的解決方法是將幾何體表面展開，即將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題，然后利用“兩點之間，線段最短”去確定路線，最后利用勾股定理計算．知2－練如圖，圓柱的底面周長為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC＝6cm，P是母線BC上一點，且PC＝

BC.一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面爬行到點P的最短距離是(

)A.cm

B．5cm

C．3cm

D．7cm1B知2－練【中考·營口】如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點D在BC上，BD＝3，DC＝1，點P是AB上的動點，則PC＋PD的最小值為(

)A．4B．5C．6D．72B知2－練【中考·安徽】如圖，在長方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，動點P滿足S△PAB＝

S長方形ABCD，則點P到A、B兩點距離之和PA＋PB的最小值為(

)A.B.C．

D.3D1.勾股定理從邊的角度刻畫了直角三角形的重要特征，

應(yīng)用勾股定理可以求出直角三角形中的直角邊或者

斜邊的長度，在實際應(yīng)用中要注意：(1)勾股定理的應(yīng)用是以直角三角形存在(或容易構(gòu)造

直角三角形)為基礎(chǔ)；(2)表示直角三角形邊長的a,b,c不是固定不變的，c不一定是斜邊的長.1知識小結(jié)2.在直線上找一點，使其到直線同側(cè)的兩點的距離之

和最短的方法：先找到其中一個點關(guān)于這條直線的

對稱點，連接對稱點與另一個點的線段與該直線的

交點即為所找的點，對稱點與另一個點的線段長就

是最短距離之和．以連接對稱點與另一個點的線段

為斜邊，構(gòu)造出一個兩條直角邊已知的直角三角形，

然后利用勾股定理即可求出最短距離之和．

如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點B離點C

的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A

爬到點B，需要爬行的最短距離是(

)A．5

B．25

C．10＋5

D．35B2易錯小結(jié)易錯點：求最短路徑時對立體圖形展開情況考慮不全面

導(dǎo)致錯解.第十七章

勾股定理17.1勾股定理第3課時

勾股定理的幾何應(yīng)用1課堂講解2課時流程逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)用勾股定理在數(shù)軸上表示實數(shù)勾股定在幾何問題中的應(yīng)用

某拍賣行貼出了如下的一個土地拍賣廣告：

如下圖，有面積為560英畝的土地拍賣，土地共分三個正方形，面積分別為74英畝、116英畝、370英畝．三個正方形恰好圍著一個池塘，如果有人能計算出池塘的準(zhǔn)確面積．則池塘不計入土地價錢白白奉送．英國數(shù)學(xué)家巴爾教授曾經(jīng)巧妙地解答了這個問題，你能解決嗎?1知識點用勾股定理在數(shù)軸上表示數(shù)

我們知道數(shù)軸上的點有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫出表示

的點嗎？

如果能畫出長為

的線段，就能在數(shù)軸上畫出表示

的點.容易知道，長為

的線段是兩條直角邊的長都為1的直角三角形的斜邊.長為

的線段能是直角邊的長為正整數(shù)的直角三角形的斜邊嗎？知1－講知1－講

利用勾股定理，可以發(fā)現(xiàn)，直角邊的長為正整數(shù)2,3的直角三角形的斜邊長為

.由此，可以依照如下方法在數(shù)軸上畫出表示

的點.

如圖,在數(shù)軸上找出表示3的點A，則OA=3,過點A作直線l垂直于OA，在l上取點B，使AB=2,以原點O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸的交點C即為表示

的點.總

結(jié)知1－講

類似地，利用勾股定理，可以作出長為

…的線段(圖1).按照同樣方法，可以在數(shù)軸上畫出表示

…的點(圖2).

圖1圖2利用

a＝

可以作出．如圖2，先作出與已知線段AB垂直，且與已知線段的端點A相交的直線l，在直線l上以A為端點截取長為2a的線段AC，連接BC，則線段BC即為所求．如圖2，BC就是所求作的線段．例1如圖1，已知線段AB的長為a，請作出長為

a的

段．(保留作圖痕跡，不寫作法)知1－講圖1圖2導(dǎo)引：解：總

結(jié)知1－講

這類問題要作的線段一般是直角三角形的斜邊，根據(jù)勾股定理由要作的線段確定兩直角邊的長是解題的關(guān)鍵．1在數(shù)軸上做出表示的點.知1－練（來自《教材》）如圖所示．作法：(1)在數(shù)軸上找出表示4的點A，則OA＝4；(2)過A作直線l垂直于OA；(3)在直線l上取點B，使AB＝1；(4)以原點O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與

數(shù)軸的交點C即為表示

的點．解：2如圖，點C表示的數(shù)是(

)A．1B.C．1.5D.知1－練D如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)為(－2，3)，以點O為圓心，以O(shè)P的長為半徑畫弧，交x軸的負(fù)半軸于點A，則點A的橫坐標(biāo)介于(

)A．－4和－3之間B．3和4之間C．－5和－4之間D．4和5之間知1－練3A2知識點勾股定在幾何問題中的應(yīng)用知2－講例2如圖，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC

＝10.求BC的長．導(dǎo)引：題中沒有直角三角形，可以通

過作高構(gòu)建直角三角形；過點A作AD⊥BC于D，圖中會出現(xiàn)

兩個直角三角形——Rt△ACD和Rt△ABD，這兩

個直角三角形有一條公共邊AD，借助這條公共邊，

可建立起直角三角形之間的聯(lián)系．知2－講解：如圖，過點A作AD⊥BC于D.∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，∴CD＝

AC＝5.

在Rt△ACD中，AD

在Rt△ABD中，BD∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.總

結(jié)知2－講

利用勾股定理求非直角三角形中線段的長的方法：作三角形一邊上的高，將其轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形，然后利用勾股定理并結(jié)合已知條件，采用推理或列方程的方法解決問題．1

如圖，等邊三角形的邊長是6.求：(1)高AD的長；(2)這個三角形的面積.知2－練（來自《教材》）(1)由題意可知，在Rt△ADB中，

AB＝6，BD＝

BC＝3，∠ADB＝90°.

由勾股定理，

得AD＝(2)S△ABC＝

BC·AD＝×6×3

＝解：如圖是由4個邊長為1的正方形構(gòu)成的“田字格”，只用沒有刻度的直尺在這個“田字格”中最多可以作出長度為

的線段________條．知2－練28知2－練3如圖，每個小正方形的邊長均為1，則△ABC中，

長為無理數(shù)的邊有(

)A．0條

B．1條

C．2條

D．3條C知2－練4如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則BE的長為(

)A．4cmB．5cmC．6cmD．10cmB【2017·宜賓】如圖，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，將△ABE沿BE折疊，使點A恰好落在對角線BD上F處，則DE的長是(

)A．3B.C．5D.知2－練5C如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC邊上的高AD＝6cm，腰AB上的高CE＝8cm，則△ABC的周長等于________cm.知1－練61．勾股定理與三角形三邊平方關(guān)系的綜合應(yīng)用：單一應(yīng)用：先由三角形三邊平方關(guān)系得出直角三角形后，

再求這個直角三角形的角度和面積：綜合應(yīng)用：先用勾股定理求出三角形的邊長，再由三角形

平方關(guān)系確定三角形的形狀，進而解決其他問題；逆向應(yīng)用：如果一個三角形兩條較小邊長的平方和不等于

最大邊長的平方，那么這個三角形就不是直角三角形.1知識小結(jié)2．應(yīng)用勾股定理解題的方法：(1)添線應(yīng)用，即題中無直角三角形，可以通過作垂線，構(gòu)

造直角三角形，應(yīng)用勾股定理求解；(2)借助方程應(yīng)用，即題中雖有直角三角形，但已知線段的

長不完全是直角三角形的邊長，可通過設(shè)未知數(shù)，構(gòu)建

方程，解答計算問題；(3)建模應(yīng)用，即將實際問題建立直角三角形模型，通過勾

股定理解決實際問題．如圖，把長方形紙條ABCD沿EF，GH同時折疊，B，C兩點恰好落在AD邊的P點處，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，則長方形ABCD的面積為________．115.22易錯小結(jié)在Rt△PFH中，F(xiàn)H＝

＝10，∴BC＝BF＋FH＋CH＝PF＋FH＋PH＝8＋10＋6＝24.設(shè)△PFH的邊FH上的高為h，則h＝

＝4.8，∴S長方形ABCD＝24×4.8＝115.2.易錯點：忽視題目中條件而求不出答案.解此題時要靈活運用折疊前后對應(yīng)線段相等，從而求出BC的長，然后再運用面積法求出△PFH中FH邊上的高，本題容易因忽視條件而求不出答案．易錯總結(jié)：第十七章

勾股定理17.2勾股定理的逆定理第1課時

勾股定理的逆定理1課堂講解2課時流程逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)逆命題、逆定理勾股定理的逆定理勾股數(shù)勾股定理

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2＋b2＝c21知識點逆命題、逆定理如果兩個命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，那么這

兩個命題稱為互逆命題，如果把其中一個叫做

原命題，那么另一個叫做它的逆命題．知1－導(dǎo)2．如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那

么它也是一個定理，稱其為原定理的逆定理，

這兩個定理稱為互逆定理．知1－講導(dǎo)引：根據(jù)題目要求，先判斷原命題的真假，再將原命題

的題設(shè)和結(jié)論互換，寫出原命題的逆命題，最后判

斷逆命題的真假．例1判斷下列命題的真假，寫出逆命題，并判斷逆命題

的真假：(1)如果兩條直線相交，那么它們只有一個交點；(2)如果a＞b，那么a2＞b2；(3)如果兩個數(shù)互為相反數(shù)，那么它們的和為零；(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.知1－講解：(1)原命題是真命題．逆命題為：如果兩條直線只有

一個交點，那么它們相交．逆命題是真命題．(2)原命題是假命題．逆命題為：如果a2＞b2，那么a

＞b.逆命題是假命題．(3)原命題是真命題．逆命題為：如果兩個數(shù)的和為

零，那么它們互為相反數(shù)．逆命題是真命題．(4)原命題是假命題．逆命題為：如果a＞0，b＜0，

那么ab＜0.逆命題是真命題．知1－講總

結(jié)知1－講

寫出逆命題的關(guān)鍵是分清楚原命題的題設(shè)和結(jié)論，然后將它的題設(shè)和結(jié)論交換位置就得到這個命題的逆命題．判斷一個命題是真命題需要進行邏輯推理，判斷一個命題是假命題只需要舉出一個反例就可以了．1

說出下列命題的逆命題.這些逆命題成立嗎？(1)兩條直線平行，內(nèi)錯角相等；(2)如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等；(3)全等三角形的對應(yīng)角相等；(4)在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在角

的平分線上.知1－練（來自《教材》）知1－練（來自《教材》）(1)逆命題：內(nèi)錯角相等，兩條直線平行．逆命題

成立．(2)逆命題：如果兩個實數(shù)的絕對值相等，那么這

兩個實數(shù)相等．逆命題不成立．(3)逆命題：三個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等．

逆命題不成立．(4)逆命題：角的平分線上的點到角兩邊的距離相

等．逆命題成立．解：已知下列命題：①若a>b，則ac>bc；②若a＝1，則

＝a；③內(nèi)錯角相等．其中原命題與逆命題均為真命題的個數(shù)是(

)A．0B．1C．2D．3知1－練2A下列定理中，沒有逆定理的是(

)A．直角三角形的兩銳角互余B．若三角形三邊長a，b，c(其中a＜c，b＜c)

滿足a2＋b2＝c2，則該三角形是直角三角形C．全等三角形的對應(yīng)角相等D．互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0知1－練3C2知識點勾股定理的逆定理知2－導(dǎo)勾股定理的逆定理

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三邊長a、b、c滿足那么這個三角形是直角三角形.a2+b2=c2互逆定理知2－講例2判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形：(1)a=15，b=8，c=17；(2)a=13，b=14，c=15.分析：根據(jù)勾股定理及其逆定理，判斷一個三角形是不是直

角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最

大邊長的平方.解：(1)因為152+82=225+64=289,172=289，所以152+82=172

，

根據(jù)勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形.(2)因為132+142=169+196=365，152=225，所以132+142≠

152，根據(jù)勾股定理，這個三角形不是直角三角形.（來自《教材》）總

結(jié)知2－講

判斷一個三角形是不是直角三角形有兩種方法：(1)利用定義，即如果已知條件與角度有關(guān)，可借助三角

形的內(nèi)角和定理判斷；(2)利用直角三角形的判定條件，即若已知條件與邊有關(guān)，

一般通過計算得出三邊的數(shù)量關(guān)系(即a2＋b2＝c2)來判

斷，看是否符合較短兩邊的平方和等于最長邊的平方．知2－講例3如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”

號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固

定方向航行，“遠(yuǎn)航”號每小時航行16nmile，

“海天”號每小時航行12nmile.它們離開港口一個

半小時后分別位于點Q，R處，且相距30nmile.如

果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方

向航行，能知道“海天”號

沿哪個方向航行嗎？知2－講分析：在圖中可以看到，由于“遠(yuǎn)航”號的航向已知，

如果求出兩艘輪船的航向所成的角，就能知道

“海天”號的航向了.解：根據(jù)題意，PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，

QR=30.

因為242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，

所以∠QPR=90°.

由“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行可知，∠1=45°.

因此∠2=45°，即“海天”號沿西北方向航行.（來自《教材》）總

結(jié)知2－講

用數(shù)學(xué)幾何知識解決生活實際問題的關(guān)鍵是：建模思想，即將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；這里要特別注意弄清實際語言與數(shù)學(xué)語言間的關(guān)系；如本例中：“點與點之間的最短路線”就是“連接這兩點的線段”，“點與直線的最短距離”就是“點到直線的垂線段的長”．1

如果三條線段長a，b，c滿足a2=c2–b2，這三

條線段組成的三角形是不是直角三角形？為

什么？知2－練（來自《教材》）這三條線段組成的三角形是直角三角形，因為三條線段長a，b，c滿足a2＝c2－b2，即a2＋b2＝c2，根據(jù)勾股定理的逆定理可知，三角形是直角三角形．