中考數(shù)學(xué)與相似有關(guān)的壓軸題及答案

中考數(shù)學(xué)與相似有關(guān)的壓軸題及答案一、相似1.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是邊AD,BC的中點(diǎn)，連接DF,過(guò)點(diǎn)E作EHJLDF,垂足為H,EH的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)G.（1）猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論：（2）過(guò)點(diǎn)H作MNIICD,分別交AD,BC于點(diǎn)M,N,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10,點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)，求^PDC周長(zhǎng)的最小值.【答案】（1）解：結(jié)論：CF=2DG.理由：四邊形ABCD是正方形，?.AD=BC=CD=AB,ZADC=ZC=90%DE=AE,?.AD=CD=2DE,EGJLDF,??ZDHG=90°,??ZCDF+ZDGE=90%ZDGE+ZDEG=90。，??ZCDF=ZDEG,DEG~△CDF,DGDE1d=應(yīng)=2,「?CF=2DG（2）解：作點(diǎn)C關(guān)于NM的對(duì)稱點(diǎn)K,連接DK交MN于點(diǎn)P,連接PC,此時(shí)△PDC的周長(zhǎng)最短.周長(zhǎng)的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.55ntDE?DG由題意：CD=AD=10,ED=AE=5,DG=2,EG=2,DH=EG=、氏??.EH=2DH=2DH?Eh/.HM=DE=2,/.DM=CN=NK='加一如=1,在RtADCK中,DK=+決=+汽府+（部產(chǎn)=2他,PCD的周長(zhǎng)的最小值為10+2他.【解析】【分析】（1）結(jié)論：CF=2DG.理由如下：根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=BC=CD=AB,ZADC=ZC=90%根據(jù)中點(diǎn)的定義得出AD=CD=2DE,根據(jù)同角的余角相等得出NCDF=NDEG,從而判斷出△DEG~△CDF,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比即可得出結(jié)論；（2）作點(diǎn)C關(guān)于NM的對(duì)稱點(diǎn)K,連接DK交MN于點(diǎn)P,連接PC,此時(shí)△PDC的周長(zhǎng)最5短.周長(zhǎng)的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK,由題意得CD=AD=10,ED=AE=5,DG=2,EG=P歷，根據(jù)面積法求出DH的長(zhǎng)，然后可以判斷出4DEH相似于△GDH,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比得出EH=2DH=9幾，再根據(jù)面積法求出HM的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理及矩形的性質(zhì)及對(duì)稱的性質(zhì)得出DM=CN=NK=1,在RtADCK中，利用勾股定理算出DK的長(zhǎng)，從而得出答案。2.如圖，拋物線了二a-+bx+。與x軸交于兩點(diǎn)A（-4,0）和B（1,0）,與y軸交于點(diǎn)C（0,2）,動(dòng)點(diǎn)D沿4ABC的邊AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由起點(diǎn)A向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，交△ABC的另一邊于點(diǎn)E,將AADE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒.（1）求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；（2）是否存在某一時(shí)刻t,使得4EFC為直角三角形？若存在，求出t的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）設(shè)四邊形DECO的面積為s,求s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式.【答案】（1）解：把A（-4,0）,B（1,0）,點(diǎn)C（0,2）代入Y=af+bx+c1

a=—2TOC\o"1-5"\h\z16a-4b+c=01二」{a+b+c=02得：c=2,解得：c二2,L3.Y產(chǎn)X+2???拋物線的解析式為：.22,3對(duì)稱軸為：直線x=-2：(2)解：存在,?/AD=2t,???DF=AD=2t,???0F=4-43???D(2t-4,0),1v=-x2二直線AC的解析式為：,2,.?.E(2t-4,t),.「△EFC為直角三角形，分三種情況討論：①當(dāng)/EFC=90°,則4DEF-△OFC,DEDFt2t3.?.蘇一五，即4-41-7,解得：t=)：②當(dāng)/FEC=90%??.ZAEF=90%AEF是等腰直角三角形，??.DE=2aF,即t=2t,/.t=0,(舍去)，<5③當(dāng)NACF=90。，則AC2+CF2=AF2,即(42+22)+[22+(4t-4)2]=(4t)2,解得：t=4,35???存在某一時(shí)刻t,使得4EFC為直角三角形，此時(shí)，或；；(3)解：:B(1,0),C(0,2),「?直線BC的解析式為：y=-2x+2,11當(dāng)D在y軸的左側(cè)時(shí)，S=2(DE+OC)?OD=2(t+2)?(4-2t)=-t2+4(0<t<2)；當(dāng)D在y軸的右側(cè)時(shí)，如圖2,

OD=4t-4,DE=-8t+10,S=W(DE+OC)55--16T2+40t-24(2<t<2).-t24(0<t<2)1?0D=2(-1?0D=2(-8t+10+2)?(4t-4),即S={綜上所述：

【解析】【分析】-16V+40t-24(2<t<（I）（1）利用待定系數(shù)法，將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，建立方程組求解即可。（2）根據(jù)題意分別求出AD、DF、OF的長(zhǎng)，表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)解析式，表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再分三種情況討論△EFC為直角三角形：①當(dāng)NEFC=90。，則△DEF~AOFC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出關(guān)于t的方程求解即可；②NFEC=90。，NAEF=90。，△AEF是等腰直角三角形求出t的值即可；③當(dāng)NACF=90。，則AC2+CF2=AF2,建立關(guān)于t的方程求解即可，從而可得出答案。（3）求得直線BC的解析式為：y=-2x+2,當(dāng)D在y軸的左側(cè)時(shí)，當(dāng)D在y軸的右側(cè)時(shí)，如圖2,根據(jù)梯形的面積公式即可得到結(jié)論。3.如圖①，已知直線11Hl2，線段AB在直線I1上，BC垂直于I1交I2于點(diǎn)C,且AB=BC,P是線段BC上異于兩端點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線分別交b，li于點(diǎn)D,E（點(diǎn)A,E位于點(diǎn)B的兩側(cè),滿足BP=BE,連接AP,CE.①②（1）求證：△ABP2△CBE.（2）連接AD、BD,BD與AP相交于點(diǎn)F,如圖②.BC_①當(dāng)分時(shí)，求證：AP±BD；BCSi--73一②當(dāng)6尸（n>l）時(shí)，設(shè)4PAD的面積為Si,4PCE的面積為S2,求&的值.【答案】（1）證明：BC，直線h,ZABP=ZCBE.在^ABP和^CBE中，AB=CBf{ZABP=NCBE,BP=BE,（2）①證明：如圖，延長(zhǎng)AP交CE于點(diǎn)H.?：匕ABP登△CBE,ZPAB=ZECB,「?ZPAB+ZAEH=ZECB+ZAEH=90°,/.ZAHE=90°,AP±CE.BC_???而一"，即P為BC的中點(diǎn)，直線I】II直線I，「?△CPD?△BPE,DPCP----1「?EPBP,「?DP=EP.???四邊形BDCE是平行四邊形，CEIIBD.AP±CE,/.AP±BD.BC--n②解：:BP，,BC=nBP,「?CP=(n-l)BP.CDIIBE,??.△CPD~△BPE,PDPC----7?~/???PEPB令Sabpe=S,則S2=(n—1)S,SaPAB=S△BCE=nSfSaPAE=(n+l)S?s△PADPD-=n-1■:S△paePE,「?Si=(n+l)(n-l)S,Si（n+1）（n-1）S-=n+1S2（n-1）S.【解析】【分析】（1）由己知條件用邊角邊即可證得△ABP登△CBE；（2）①、延長(zhǎng)AP交CE于點(diǎn)H,由（1）知^ABP2△CBE,所以可得NPAB=ZECB,而NNECB+NBEC=9。'，所以可得NPAB+NBEC=90'，即NAHE=90'，所以AP_LCE：己知BC面=2,則點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，所以易證得BE=CD,由有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形BDCE是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得CEIIBD,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得AP_LBD；②方法與①類似，由己知條件易證得△CPD~aBPE,則可得對(duì)應(yīng)線段的比相等，然后可將APAD的面積和APCE的面枳用三角形BPE的面積表示出來(lái)，則這兩個(gè)三角形的比值即可求解。4.如圖1,以ejABCD的較短邊CD為一邊作菱形CDEF,使點(diǎn)F落在邊AD上，連接BE,交AF于點(diǎn)G.圖1圖2圖3（1）猜想BG與EG的數(shù)量關(guān)系.并說(shuō)明理由;（2）延長(zhǎng)DE,BA交于點(diǎn)H,其他條件不變，DG①如圖2,若NADC=60。，求班的值；DG②如圖3,若NADC=a（0。。＜90。），直接寫出原的值.（用含a的三角函數(shù)表示）【答案】（1）解：BG二EG,理由如下：?「四邊形月箭是平行四邊形，Ab||CLyAB=CD,?「四邊形儂7是菱形，/.夕II/，CD=EF.Ab||EF,AB=EF.NABG=NFEG.又/ZAGB=ZFGE,?.AABG^AFEG（幽5）.??BG=EG(2)解：方法1：過(guò)點(diǎn)6作⑶II應(yīng)，交〃族于點(diǎn)心,.?.NEMG=NEHA./NGEM=ZBEh,??/腹?ABHL.GM_GE而一瓦.由（1）結(jié)論知3G=EG,1EG=-BE?9??~?GMGE_1??茄一應(yīng)一，.??四邊形四濟(jì)為菱形，?.ZADC=NEDF=60：「四邊形，始Q是平行四邊形，Ab||CL.??NCDF=/HAD=60°???/翁||Ah,JNMGD=NHAD=60°??????ZGMD=1800-ZMGD-ZMDG=60°,即ZGMD=ZMGD=ZMGD=60°.”是等邊三角形。/.DG=MG.DGMG_1???那―第一方法2：延長(zhǎng)以，戊交于點(diǎn)心，II???四邊形如為菱形，ZEDF=NCDF=60：四邊形,四口為平形四邊形，ZABC=ZADC=60°,AL||BC..?.NEDF==60Q.ZH=180°-ZHBM-=180°-60°=60即/HBM==ZH=60°./陽(yáng)》為等邊三角形./.HB二阪'：AL||BC,/.NEGD=NEBA,NEDG=Zk.AEDG?^EMb,DG_EG屆一屆.由⑴結(jié)論知3G=EG1EG=-BE：.2.DGGE_1?/HB=MBfDGDG_1「?茄一礪一；.如圖3,連接EC交DF于0,???四邊形CFED是菱形,??.EC±AD,FD=2F0,設(shè)FG=a,AB=b,則FG=a,EF=ED=CD=b,OhRtAEFO中，cosa=EF,OF=bcosa,DG=a+2bcosa,過(guò)H作HM±AD于M,?/ZADC=ZHAD=ZADH=a,/.AH=HD,11/.AM=-AD=-(2a+2bcosa)=a+bcosa,/iRtAAHM中，cosa二也，a+bcoso：.AH=cosa,a+2Aos〃DGa+bcosa-b+/.Bh=cos"=cosa【解析】【分析】(1)利用菱形和平行四邊形的性質(zhì)可得出ABIICDIIEF,AB=CD=EF,再利用平行線的性質(zhì)可證得NABG=NFEG,然后利用AAS可證得△ABG2△FEG,由全等三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論。(2)①過(guò)點(diǎn)G作GMIIBH,交DH于點(diǎn)M,易證△GME~△BHE。得出對(duì)應(yīng)邊成比例，求出MG與BH的比值，再利用菱形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)證明DG=MG,即可解答；②連接EC交DF于0,利用菱形的性質(zhì)可得出EC_LAD,FD=2F0,設(shè)FG=a,AB=b,可表示出FG,EF=ED=CD=b,RtAEFO中，利用銳角三角函數(shù)的定義可得出OF、DG,過(guò)H作HM_LAD于M,易證AH=HD,AM=a+bcosa,再在R3AHM中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AH的長(zhǎng)，繼而可得出DG與BH的比值，可解答。5.如圖，△ABC內(nèi)接于OO,ZCBG=ZA,CD為直徑，0C與AB相交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF±BC,垂足為F,延長(zhǎng)CD交GB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連接BD.(1)求證：PG與。0相切；Ek5BE(2)若五二，求五的值；(3)在(2)的條件下，若。0的半徑為8,PD=OD,求0E的長(zhǎng).【答案】（1）解：如圖，連接0B,則OB=OD,??ZBDC=ZDBO,/ZBAC=ZBDC、ZBAC=ZGBC,??ZGBC=ZBDO,CD是OO的直徑，?.ZDBO+ZOBC=90°,「?ZGBC+ZOBC=90°,?.ZGBO=90°,/.PG與。0相切。（2）解：過(guò)點(diǎn)。作OMJLAC于點(diǎn)M,連接OA,1則NAOM=ZCOM=2ZAOC,圓心角/ABC和圓周痛/AOC所對(duì)弧相同，、1?.ZABC=Z/aoc=zcom,又「ZEFB=ZOMC=90°,△BEF~△OCM,EFBEJ???CM=2AC,EF_Bb廠一區(qū)-AC：.2,EF_5又fAC~~8,BEEF55—=2X—=2BE5（3）解：由（2）可知窕=4,則BE=10.??PD=OD,ZPBO=90°,「?BD=0D=8,在RtADBC中，BC=個(gè)Dd-B抉=8W,又「OD=OB,…DOB是等邊三角形，??ZDOB=60%/ZDOB=ZOBC+ZOCB,OB=OC,??ZOCB=30°,EF_1FC「?日一￡,百二、Z3,??可設(shè)EF=x,則EC=2x、FC=/x,??BF=8/-Wx,在RtABEF中，BE2=EF2+BF2,??100=x2+（8/-Wx）2,解得：x=6±\.^,6+V^>8,舍去，x=6-,??EC=12-2",/.0E=8-（12-2%歷）=2%歷-4【解析】【分析】（1）連接OB,則需要證明NGBO=NGBC+NOBC=90°；由CD是。0的直徑，則NDBO+NOBC=90。，即需要證明NGBC=NBDO,由同弧所對(duì)的圓周角相等，可知ZBAC=ZBDC,而NBAC=ZGBC,ZBDC=ZDBO,則可證得NGBC=ZBDOoEF5Bh（2）因?yàn)榧褐?8,求窕，其中EF,BE是^BEF的兩條邊，而AC,0C是△AOC的兩條邊，但△BEF和△AOC不相似，則可構(gòu)造兩三角形相似，因?yàn)椤鰾EF是直角三角形，則可過(guò)Bh點(diǎn)。作OM_LAC于點(diǎn)M,連接OA,即構(gòu)造△BEF~△OCM,從而可求得窕。BE（3）由（2）得窕的值及0C=8求出BE；由PD=OD,且NPBO=90。，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半"可得BD=OD=8,由勾股定理可求得BC的長(zhǎng)，MaDOB是等邊三角形，則在直角三角形ECF中存在特殊角30度，不妨設(shè)EF=x,則CE=2x,CF八每。在RSBEF中，由勾股定理可得BE?=EF2+BF2,構(gòu)造方程解答即可。6.若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個(gè)三角形叫做比例三角形.

AA(1)已知△ABC是比例三角形，AB=2,BC=3.請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的AC的長(zhǎng)；(2)如圖1,在四邊形ABCD中，ADIIBC,對(duì)角線BD平分NABC,ZBAC=ZADC.求證：△ABC是比例三角形；BL(3)如圖2,在(2)的條件下,當(dāng)NADC=90。時(shí)，求水的值。46【答案】(1)3或2或筐.(2)證明：???ADIIBC,??ZACB=ZCAD,又「ZBAC=ZADC,「?△ABC?△DCA,BCCA：.CA=AL,即CA2=BC-AD,ADIIBC,??ZADB=ZCBD,/BD平分NABC,??ZABD=ZCBD,??ZADB=ZABD,「?AB=AD,「?CA2=BC-AB,??aABC是比例三角形.（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AHJLBD于點(diǎn)H,BH=/BD,.ADIIBC,ZADC=90°/ZBHA=ZBCD=90°,又「ZABH=ZDBC,△ABH-△DBQABBh：.~Db=~BCf???AB?BC=DB-BH,1「?AB?BC=2BD2,又「AB-BC=AC2Zbd2=ac2zBL五=遂.【解析】【解答】解：⑴.??己知△ABC是比例三角形，依題可得：①當(dāng)AB2=BC-AC時(shí)，VAB=2,BC=3./.4=3AC,4：.AC=5；②CB2=AB-AC,?「AB=2,BC=3.「?9=2AC,g/.AC=2；③AC?=BC?AB,?「AB=2,BC=3.「?AC2=2x3,/.AC=#.4g綜上所述：AC的長(zhǎng)為：彳或；或筐.【分析】（1）由比例三角形的定義分三種情況討論:①當(dāng)AB2=BCAC時(shí),②CB2=ABAC,（3）AC2=BC-AB,代入CB、AB的數(shù)值分別求得AC長(zhǎng).（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定得△ABC~△DCA,由相似三角形的性質(zhì)得CA2=BC-AD；根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得NADBNABD,根據(jù)等腰三角形等角對(duì)等邊得AB=AD,將此代入上式即可得證.（3）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH±BD于點(diǎn)H,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知BH=；BD,由相似三角形的判定和性質(zhì)得ABBC=DB-BH,即ABBC=2BD?,聯(lián)立（1）中的結(jié)論即可得出答案.7.如圖，拋物線丫=ax?+bx-4經(jīng)過(guò)AV-3,①，B⑶-4兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接AB,AC,BC.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求證：AB平分4A0；(3)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,使得4ABM是以AB為直角邊的直角三角形，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.,%一氏-4二0【答案】(1)解：將—B⑶一夕代入得：125a十氏-4二-4,TOC\o"1-5"\h\z15a--b--解得：6,6,125

y二一X乙一""X-4:拋物線的解析式為.66（2）解：⑵：?A0=3,0C=4,?:AC=3,取D色切，則AD=AC=5,（-（-4-0）2=5y???C（a-4）,B⑸-4）,:BC=5,:BD=BC,在ABC和4ABD中，AD=AC,AB-AB,BD=BC,,ABC2Z\ABD,:"AB=4AD,:AB平分NtAO（3）解：如圖所示：拋物線的對(duì)稱軸交x軸與點(diǎn)E,交BC與點(diǎn)F.?:tan-ZEAB--2,：?Tab二,:tanNM'AE=2,:M'E二舜二11,5:M'(-11)2,同理：tan^IMF=2,:FM=5,5:M弓-9）55―9）?:點(diǎn)M的坐標(biāo)為2或2【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，將點(diǎn)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式，求出a、b的值，即可解答。（2）利用勾股定理，在RtAAOC中，求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出BD的長(zhǎng)，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，求出BC的長(zhǎng)，可證得BD=BC,然后證明^ABC△ABD,利用全等三角形的性質(zhì)，可證得結(jié)論。（3）拋物線的對(duì)稱軸交x軸與點(diǎn)E,交BC與點(diǎn)F.求出拋物線的對(duì)稱軸，就可求出AE的長(zhǎng)，再利用點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求出tanZEAB的值，再由NM'AB=90。，求出tanZZM'AE

的值，求出M，E的長(zhǎng)，就可得出點(diǎn)M’的坐標(biāo)，再用同樣的方法求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可解答。\fTccosB8.如圖：在0c中，BC=2ZAB=AC,點(diǎn)D為AC上的動(dòng)點(diǎn)，且.(1)求AB的長(zhǎng)度；(2)求ADAE的值；(3)過(guò)A點(diǎn)作AH_LBD,求證：BH=CD+DH.【答案】(1)解：作AM_LBC,J.BM=CM=2BC=1Z在RtAAMB中，BM、伉——cosB=10y[ld??AB=BM+cosB=1+10=木乙(2)解：連接CD,AB=AC,??ZACB=ZABC,丁四邊形ABCD內(nèi)接于圓0,「?ZADC+ZABC=180°,又「ZACE+ZACB=180°,ZADC=ZACE,/ZCAE=ZCAD,??△EAJ△CAD,AC_AE：.~AD~~ACf/.AD-AE=AC2=AB2=(?n)2=10.(3)證明：在BD上取一點(diǎn)N,使得BN=CD,ABN和^ACD中AB=AC{N3=Z1/BN二CD「?△ABN^△ACD（SAS）,「?AN=AD,AH±BD>AN=AD,「?NH=DH,又「BN=CD,NH=DH,BH=BN+NH=CD+DH.1【解析】【分析】（1）作AM_LBC,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得BM=CM=；BC=1,在BM_yflGRtAAMB中，根據(jù)余弦定義得cosB=AB10，由此求出AB.（2）連接CD,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)等邊對(duì)等角得NACB=NABC,再由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)和等角的補(bǔ)角相等得NADC=NACE；由相似三角形的判定得△EAC~△CAD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得AC_AE1—1Q月c；從而得ad-ae=ac2=ab2.（3）在BD上取一點(diǎn)N,使得BN=CD,根據(jù)SAS得公ABN2△ACD,再由全等三角形的性質(zhì)得AN=AD,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得NH=DH,從而得BH=BN+NH=CD+DH.9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=2x2+*x-2與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,直線I經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn)，連接BC.（1）求直線I的解析式