【名師一號(hào)】高中數(shù)學(xué) 2.3.2平面與平面垂直的判定課件 新人教A必修2

2.3.2平面與平面垂直的判定

1自學(xué)導(dǎo)引(學(xué)生用書P48)21.理解兩個(gè)平面垂直的定義及判定定理,運(yùn)用它解決有關(guān)的簡(jiǎn)單問題.2.了解二面角的概念,掌握二面角的表示方法.3課前熱身(學(xué)生用書P48)4

1.兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是__________,就說這兩個(gè)平面互相垂直.2.如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的一條______,那么這兩個(gè)平面互相垂直.3.從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的空間圖形稱為________,這條直線叫做二面角的________.以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角,叫做二面角的________.4.二面角的大小,用它的平面角來度量,二面角的平面角是幾度,就說這個(gè)二面角是________.直二面角垂線二面角棱平面角幾度5名

師

講

解(學(xué)生用書P49)

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兩平面相交成直二面角時(shí),兩平面垂直.兩平面相交的這一特殊位置關(guān)系,決定著平面與平面垂直的概念?性質(zhì)和判斷,涉及的空間知識(shí)極為豐富,是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一.除定義外,判斷兩平面垂直的最常用的判定定理是“一平面過另一個(gè)平面的垂線”.證明兩個(gè)平面垂直,通常是通過證明線線垂直、線面垂直來實(shí)現(xiàn)的,同時(shí),在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化.7異面直線所成的角?斜線與平面所成的角?二面角統(tǒng)稱為空間角,其求解方法相同,步驟是:第一步,作出它們的平面角;第二步,證明所作的角滿足定義;第三步,將作出的角放在三角形中,計(jì)算出平面角的大小,又簡(jiǎn)稱為“一作?二證?三計(jì)算”.在計(jì)算時(shí),會(huì)受到三角函數(shù)知識(shí)的影響,因此學(xué)習(xí)直線和平面所成的角?二面角時(shí),僅僅了解這兩個(gè)概念即可,不要在其如何求解上過多糾纏,其求解方法將在選修中重點(diǎn)學(xué)習(xí).8典例剖析(學(xué)生用書P49)9題型一空間線與面的位置關(guān)系例1:(1)已知m?l是直線,α?β是平面,給出下列命題:①若l垂直于α內(nèi)兩條相交直線,則l⊥α;②若l平行于α,則l平行于α內(nèi)的所有直線;③若mα,lβ,則l⊥m,則α⊥β;④若lβ,且l⊥α,則α⊥β;⑤若mα,lβ,且α∥β,則l∥m.10其中中正正確確的的命命題題的的序序號(hào)號(hào)是是__________.解析析:本本題題考考查查線線與與線線??線線與與面面??面面與與面面的的位位置置關(guān)關(guān)系系.命命題題①①是是線線面面垂垂直直的的判判定定定定理理,所所以以正正確確;命命題題②②,l∥∥αα,但但l不不能能平平行行于于αα內(nèi)內(nèi)所所有有直直線線;命命題題③③,l⊥⊥m,不不能能保保證證l⊥⊥αα,即即分分別別包包含含l與與m的的平平面面αα??ββ可可能能平平行行也也可可能能相相交交而而不不垂垂直直;命命題題④④,為為面面面面垂垂直直的的判判定定定定理理,所所以以正正確確;命命題題⑤⑤,αα∥∥ββ,但但分分別別在在αα??ββ內(nèi)內(nèi)的的直直線線l與與m可可能能平平行行,也也可可能能異異面面.①④11(2)如果直直線l?m與與平面α?ββ?γ滿足l=β∩γ,l∥α,mαα,m⊥⊥γ,那么必必有()A.α⊥γ和和l⊥mB.α⊥γ和m∥βC.m∥β且且l⊥mD.α∥β和αα⊥γ12解析:在“命命題”形式的的選擇題中,應(yīng)會(huì)尋找恰恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模模型來否定其其中一些錯(cuò)誤誤命題,如下下圖.正方體體ABCD——A1B1C1D1中,取平面CDD1C1為β,對(duì)角面面ABC1D1為γ,對(duì)角面面A1B1CD為α,CB1為m,C1D1為l,于是由由m∩β=C,可排除B?C兩項(xiàng);又由α∩ββ=CD,排排除D項(xiàng);易易證A正確.答案:A13規(guī)律技巧:(1)題的關(guān)關(guān)鍵是將符號(hào)號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為為圖形語(yǔ)言,要求考生根根據(jù)符號(hào)提供供的信息去畫畫圖,去進(jìn)行行推理和判斷斷,試題形式式上是填空題題,實(shí)際上是是多選題,是是高考題型的的一種新變化化.(2)排除法法解立體幾何何選擇題是常常用的方法,本題是通過過構(gòu)造正方體體中的線和面面來舉反例,尋找面面平平行條件的關(guān)關(guān)鍵是牢記定定義和定理.14變式訓(xùn)練1:設(shè)有直線m\,n和平平面α\,ββ,則下列命命題中,正確確的是()A.若m∥n,mα,nββ,則α∥βB.若m⊥αα,m⊥n,nββ,則α∥βC.若m∥n,n⊥β,m α,則則α⊥βD.若m∥n,m⊥α,n⊥β,則則α⊥β解析:C中,由m∥n,n⊥β,得得m⊥β.又又m α,∴α⊥β.答案:C15題型二用用定義證明兩兩平面垂直例2:如圖,在四面體ABCD中,,求證:平面ABD⊥平面面BCD.16分析:△ABD與△BCD有公共邊邊BD,且都都是等腰三角角形.因此取取BD的中點(diǎn)點(diǎn)E,連結(jié)AE?CE.則∠AEC為二面角A-BD-C的平面角.證該角為直直角即可.17證明:取BD的中點(diǎn)E,連結(jié)AE,CE.由AB=AD=CB=CD知AE⊥BD,CE⊥BD∴∠AEC為為二面角A-BD-C的的平面角.在△ABD中中,同理,在△BCD中,18∴AE2+CE2=a2=AC2∴AE⊥CE,即∠AEC=90°°.∴平面ABD⊥平面BCD.規(guī)律技巧:在在立體幾何中中,常把空間間問題,轉(zhuǎn)化化為平面問題題,用平面幾幾何知識(shí)求解解.19變式訓(xùn)練2:如圖,已知知:AB⊥ββ,AB∩ββ=B,ABα.求證:α⊥ββ.20證明:如下圖圖,設(shè)α∩ββ=a,則B∈a.21∵AB⊥β,aββ∴AB⊥⊥a,在平面β內(nèi)作作BE⊥a,則∠ABE為二二面角α-a-β的平面面角.∵AB⊥β,BEββ.∴AB⊥BE.∴∠ABE=90°即二二面角α-a-β為直二二面角∴α⊥β.22題型三面面面垂直的判判定例3:在正方方體ABCD-A1B1C1D1中,E?F分分別為AB??BB1的中點(diǎn).求證:平面DEF⊥平面面A1BD1.23分析:畫出示示意圖,利用用正方體的性性質(zhì),證面面面垂直,可先先證線面垂直直,再用判定定定理得證.24證明:如下圖圖所示.25由正方體的性性質(zhì)知,A1D1⊥平面A1B1BA.EF平面A1B1BA,∴A1D1⊥EF.A1B⊥AB1,EF∥AB1,∴A1B⊥EF.又A1D1∩A1B=A1,∴EF⊥平面面A1BD1.而EF平平面DEF,∴平面DEF⊥平面A1BD1.26變式訓(xùn)練3:如圖,正方方體ABCD-A1B1C1D1中,求:(1)直線D1C與平面AC所成的角;(2)二面角角D1—BC—D的的大小.分析:∠D1CD是直線D1C與平面AC所成的角,也是二面角角D1-BC-D的的平面角.27解:(1)∵∵D1D⊥平面AC,∴D1C在平面AC上的射影是是DC.∴∠D1CD是直線D1C與平面AC所成的角.在△D1CD中中,D1D⊥⊥CD,D1D=CD,∴∠∠D1CD=45°°.∴∴直直線線D1C與與平平面面AC所所成成的的角角是是45°°.28(2)在在正正方方體體ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥⊥CD,BC⊥⊥CC1,∴∴BC⊥⊥平平面面D1C.∴∴BC⊥⊥D1C,BC⊥⊥CD.∴∠∠D1CD是是二二面面角角D1-BC-D的平平面角.由(1)知∠D1CD=45°,∴二面角角D1-BC-D的大大小是45°.29易錯(cuò)探究究30例4:在在長(zhǎng)方體體ABCD—A1B1C1D1中,底面面ABCD為正正方形,試問:截面ACB1與對(duì)角面面BD1垂直嗎?錯(cuò)解:如如圖所示示,設(shè)AC與BD的交交點(diǎn)為O,連接接B1O,則B1O是截面面ACB1與對(duì)角面面BD1的交線.因?yàn)锽1O是底面面的斜線線,所以以截面ACB1與底面傾傾斜,從從而截面面ACB1不可能與與對(duì)角面面BD1垂直.31錯(cuò)因分析析:錯(cuò)解解從B1O傾斜于于底面,就斷定定截面ACB1不可能與與對(duì)角面面BD1垂直,這這是沒有有根據(jù)的的,犯這這種錯(cuò)誤誤主要是是由于對(duì)對(duì)空間中中的線面面關(guān)系的的理解不不夠透徹徹.正解:在在正方形形ABCD中,連結(jié)AC?BD,則AC⊥⊥BD.又BB1⊥平面ABCD.AC平面面ABCD,∴AC⊥⊥BB1.又BD∩∩BB1=B,∴∴AC⊥⊥平面BD1.又AC在在平面ACB1內(nèi),∴截面ACB1⊥對(duì)角面面BD1.32技能演練(學(xué)生用書書P50)33基礎(chǔ)強(qiáng)化化1.若平平面α與與平面ββ不垂直直,那么么α內(nèi)能能與β垂垂直的直直線()A.有0條B.有一一條C.有2條D.有有無數(shù)條條答案:A342.過一一條直線線與一個(gè)個(gè)平面垂垂直的平平面的個(gè)個(gè)數(shù)為()C.無數(shù)數(shù)D.1或或無數(shù)解析:當(dāng)當(dāng)a⊥αα?xí)r,過過a與平平面α垂垂直的平平面有無無數(shù)個(gè);當(dāng)a不不垂直αα?xí)r,過過a與平平面α垂垂直的平平面有一一個(gè).答案:D353.若平平面α⊥⊥平面ββ,平面面β⊥平平面γ,則()A.α∥∥γB.α⊥⊥γC.α與與γ相交交,但不不垂直D.以上都都有可能能解析:垂垂直同一一平面的的兩個(gè)平平面,相相交?平平行都有有可能.答案:D364.如下下圖,ABCD為正方方形,PA⊥平平面ABCD,則在平平面PAB?平平面PAD?平平面PCD?平平面PBC及平平面ABCD中中,互相相垂直的的有()37A.3對(duì)對(duì)B.4對(duì)對(duì)C.5對(duì)對(duì)D.6對(duì)對(duì)解析:互互相垂直直的平面面有:平平面PAB⊥平平面PAD.平面PAB⊥平平面ABCD,平面PAD⊥⊥平面ABCD,平面面PAB⊥平面面PBC,平面面PAD⊥平面面PCD.共5對(duì).答案:C385.若兩兩條直線線a與b異面,則過a且與b垂直的的平面()A.有且且只有一一個(gè)B.可能能有一個(gè)個(gè),也可可能不存存在C.有無無數(shù)多個(gè)個(gè)D.一定定不存在在解析:當(dāng)當(dāng)a⊥b時(shí),存存在一個(gè)個(gè).當(dāng)a不垂直直b時(shí),不存在在.答案:B396.自二二面角內(nèi)內(nèi)任一點(diǎn)點(diǎn)分別向向兩個(gè)面面引垂線線,則兩兩垂線所所成的角角與二面面角的關(guān)關(guān)系是()A.相等等B.互補(bǔ)補(bǔ)C.互余余D.無法法確定解析:根根據(jù)平面面四邊形形內(nèi)角和和等于360°°知,它它們互補(bǔ)補(bǔ).答案:B407.在四四面體ABCD中,若若有兩組組對(duì)棱互互相垂直直,則另另一組對(duì)對(duì)棱所成成的角為為________.90°41解析:借借助于正正方體做做出判斷斷.如圖圖所示:在四面面體ABCD中中,有AB⊥CD,AC⊥BD.另另一組對(duì)對(duì)棱BC⊥AD.因此此,另一一組對(duì)棱棱所成的的角為90°.428.如圖圖,已知知三棱錐錐D—ABC的的三個(gè)側(cè)側(cè)面與底底面全等等,且BC=2,則以以BC為為棱,以以面BCD與BCA為為面的二二面角為為________.°9043解析:取取BC的的中點(diǎn)E,連結(jié)結(jié)AE,DE,由題意意知AE⊥BC,DE⊥BC,∴∠∠AED為所求求二面角角的平面面角.計(jì)算得AD=2.∴AE2+DE2=AD2,∴∠AED=90°°.44能力提升升459.如圖圖,在四四棱錐P-ABCD中中,底面面是邊長(zhǎng)長(zhǎng)為a的的正方形形,側(cè)棱棱(1)求求證:PD⊥平平面ABCD;(2)求證證:平平面PAC⊥平平面PBD;(3)求證證:∠∠PCD為為二面面角P-BC-D的的平面面角.46證明:(1)∵∵∴PC2=PD2+DC2,∴PD⊥DC.同理可可證:PD⊥AD,又AD∩∩DC=D,∴∴PD⊥平平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥⊥平面面ABCD,∴PD⊥AC,而四四邊形形ABCD為正正方形形,∴AC⊥BD,又BD∩∩PD=D,∴AC⊥平平面PDB.47又AC平平面面PAC,∴平面面PAC⊥⊥平面面PBD.(3)由(1)知PD⊥⊥BC,BC⊥⊥DC,∴BC⊥平平面PDC,∴∴BC⊥PC.∴∠PCD為二面角角P-BC-D的平平面角.4810.如圖圖,已知△△ABC為為正三角形形,EC⊥⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,且且EC?DB在平面面ABC的的同側(cè),M為EA的的中點(diǎn),CE=CA=2BD.求證:(1)DE=DA;(2)平面面BDM⊥⊥平面ECA;(3)平面面DEA⊥⊥平面ECA.49證明:(1)如下圖圖,取AC中點(diǎn)N,連結(jié)MN,BN.∵△ABC為正三角角形,∴BN⊥AC,∵EC⊥平平面ABC,BD⊥⊥平面ABC,50∴EC∥BD,EC⊥BN.又M為AE中點(diǎn),EC=2BD,∴MNBD,∴四邊形形MNBD是平行四四邊形.∴∴BNDM.由BN⊥AC,BN⊥EC,得BN⊥⊥平面AEC,∴DM⊥平平面AEC,∴DM⊥AE,∴AD=DE.51(2)∵DM⊥平面面AEC,DM平平面BDM,∴平面BDM⊥平面