《切線長定理》設計

《切線長定理》教學設計教學目標：1．了解切線長的定義，掌握切線長定理，并利用它進行有關的計算；在運用切線長定理的解題過程中，進一步滲透方程的思想，熟悉用代數(shù)的方法解幾何題。2．經歷畫圖、度量、猜想、證明等數(shù)學活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，培養(yǎng)學生有條理地、清晰地闡述自己的觀點的能力。3．初步學會從數(shù)學的角度提出問題、理解問題，并能運用所學的知識和技能解決問題，發(fā)展應用意識。在解題中形成解決問題的基本策略，體驗問題策略的多樣性，發(fā)展實踐能力與創(chuàng)新精神。4．了解數(shù)學的價值，對數(shù)學有好奇心與求知欲，在數(shù)學學習活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。教學重點：理解切線長定理教學難點：應用切線長定理解決問題課時安排：1課時教學過程：教學過程教學內容師生相互交往設計意圖一、激發(fā)情趣導入新課悠悠球，這是大家非常喜愛的一種玩具。（教師演示一次）可是，大家在玩悠悠球時是否想到過它的轉動過程中還包含著數(shù)學知識呢？是什么知識呢？我們來看一下它的構造。（拆開球，出示球的剖面）這是悠悠球在轉動的一瞬間的剖面，從中你能抽象出什么樣的數(shù)學圖形？（球的整體和中心軸可分別抽象成圓形，被拉直的線繩可抽象成線段。）這些圖形位置關系怎樣？（兩圓為同心圓，線段所在直線和小圓相切）[在這兩問中，如果學生想不到球的整體時，這個圓可以不提]線段的兩個端點和小圓的位置關系怎樣？（一個是切點在小圓上，一個在小圓外）我們可以看出，球與手的距離就決定于這條線段的長度。在幾何中，我們把滿足上述特征的線段的長叫做點到圓的切線長，這節(jié)課我們就來研究切線長的有關知識。教師出示同學們熟悉并且喜愛的玩具之后連續(xù)幾問轉入正題。帶著強烈的好奇心思考老師提出的問題。此時教師又引導學生說出線段的特征，不失時機地引入新課，板書課題。吸引學生的注意力，激發(fā)學生的求知欲，同時也使學生意識到數(shù)學知識廣泛存在于日常生活之中。二、合乎情理探索發(fā)現(xiàn)（一）切線長定義（自學3分鐘，討論意義）1定義：在經過圓外一點的切線上，這一點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長.2、剖析定義：（1）找出中心詞，把定義進行縮句。（線段的長叫做切線長）（2）定義中的“線段”具有什么特征？=1\*GB3①在圓的切線上；=2\*GB3②兩個端點一個是切點，一個是圓外已知點。3、在圖形中辨別：（1）已知：如圖1，PC和⊙O相切于點A，點P到⊙O的切線長可以用哪一條線段的長來表示？（線段PA）C圖1圖2（2）已知：如圖2，PA和PB分別與⊙O相切于點A、B，點P到⊙O的切線長可以用哪一條線段的長來表示？（線段PA或線段PB）（3）如圖2，思考：點P到⊙O的切線長可以用三條或三條以上不同的線段的長來表示嗎？這樣的線段最多可以有幾條？為什么？（4）既然點P到⊙O的切線長可以用兩條不同的線段的長來表示，那么這兩條線段之間一定存在著某種關系，是什么關系呢？我們來探索一下，出示探索問題1，從而進入定理教學。教師在板書定義之后，通過對話交往，引導學生把對概念的感性認識上升到理性認識，然后在圖形中進行識別，從而認識概念的本質特征，理解概念的外延。在對話中，教師以民主的精神、平等的作風、寬容的態(tài)度、真摯的愛心和悅納的情懷對待學生，在相互傾聽、接受和共享中獲得知識，使教學相長。此處通過學生思考得出結論，再次加深學生對概念的理解，也使學生了解切線長與切線的關系，同時由這個結論教師適時引出探索問題1使學生了解切線長的定義，并能在具體的圖形中把它們識別出來。培養(yǎng)學生合情推理能力、語言表達能力。教學過程教學內容師生相互交往設計意圖二、合乎情理探索發(fā)現(xiàn)（二）切線長定理：（獨立自學5分鐘師友討論互助5分鐘提出共性問題）1、探索問題1：從⊙O外一點P引⊙O的兩條切線，切點分別為A、B，那么線段PA和PB之間有何關系？探索步驟：（1）根據條件畫出圖形；（2）度量線段PA和PB的長度；（3）猜想：線段PA和PB之間的關系；（4）尋找證明猜想的途徑；（5）在圖3中還能得出哪些結論？并把它們歸類。（6）上述各結論中，你想把哪個結論作為切線長的性質？請說明理由。由（5）得：線段相等：PA=PB；OA=OB；角相等：∠APO=∠BPO；∠AOP=∠BOP；垂直關系：OA⊥PA；圖3OB⊥PB；三角形全等：△OAP≌△OBP.2、得出定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.3、剖析定理：（學生代表講解）（1）、指出定理的題設和結論；（2）用符號語言表示定理：∵PA、PB分別是⊙O的切線，點A、B分別為切點，（PA、PB分別與⊙O相切于點A、B）∴PA=PB，∠APO=∠BPO.定理教學的方式是學生自主探索，相互交流相結合。首先出示探索步驟的前三個，等學生猜想出結論后，再明確僅憑觀察、度量、猜想并不能說明結論的正確性，還需證明結論的正確性，同時激勵學生尋找證明猜想的途徑。之后，再讓學生探索更多的結論，并由（6）得出定理。定理的剖析以對話形式進行。在整個過程中，教師相應地進行板書。隨著一環(huán)緊扣一環(huán)的探索問題的深入，學生通過自主地發(fā)現(xiàn)問題、信息搜集與處理、表達與交流等探索活動，獲得知識、技能，并獲得積極的、深層次的體驗，從而促進學生探究能力的發(fā)展。三、創(chuàng)設情境鞏固應用1、填空：如圖3，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，（1）若PB=12，PO=13，則AO=＿＿＿.（2）若PO=10，AO=6，則PB=＿＿＿；（3）若PA=4，AO=3，則PO=＿＿＿；PD=＿＿；2、已知如圖4，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，PO與⊙O相交于點D，且PA=4cm,PD=2cm.求半徑OA的長.小結：圖42題與1題不同，不能用算術方法直接得出答案，需要設未知數(shù)列方程來解決，這是用代數(shù)的方法來解決幾何題。（滲透方程思想）口答筆答會利用定理進行有關的計算，在2題中，進一步滲透方程思想，熟悉用代數(shù)的方法解決幾何題。教學過程教學內容師生相互交往設計意圖三、創(chuàng)設情境鞏固應用3、解決實際問題：在我們日常生活中有很多物體呈圓形，例如花盆邊沿、水杯口等，有時我們需要知道圓形物體的半徑，那么利用本節(jié)所學的切線長定理，如何解決這個問題呢？小制作：名稱：圓的半徑測量儀材料：兩把刻度尺用途：測量水杯口的半徑過程：（1）出示問題，學生嘗試；（2）遇到困難，設法解決；（3）設計方案，說明道理；（4）完成制作，實物測量。教師出示問題，學生嘗試，在嘗試中遇到困難，師生共同設法解決。在設計時，尋求多種方案，并說明方案的合理性，比較方案的簡潔性，最后由學生完成制作，并進行實物測量。運用所學知識解決實際問題，發(fā)展應用意識，在數(shù)學活動中體驗策略的多樣性，發(fā)展實踐能力與創(chuàng)新精神。在數(shù)學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。真正做到“以參與求體驗，以創(chuàng)新求發(fā)展”。四、順應情勢歸納總結1、探索問題2：連結圖3中的兩個切點AB交OP于點C，又能得出什么結論？并把它們分類。2、通過本節(jié)課的實踐、探索、交流，你有哪些收獲？這節(jié)課我們所探索的有關切線長的知識是在給出圓的兩條切線的情況下得出的，那么要是圓的三條切線兩兩相交，又會有什么樣的結論呢？如果有四條切線呢？這些問題有待于我們課后去研究，請看課外作業(yè)。學生探索問題2，得出結論后進而進行歸納總結。教師給與適當?shù)脑u價之后，把知識進行引申，出示探索問題3和4，留為作業(yè)。培養(yǎng)學生歸納概括能力，把知識納入系統(tǒng)，便于學生存儲、提取和應用。使學生了解數(shù)學的價值。五、心甘情愿課外作業(yè)1、探索問題3：已知：如圖5，⊙O是△ABC的內切圓，切點分別為D、E、F，（1）圖中共有幾對相等線段？（2）若AD=4，BC=5，CF=6，則△ABC的周長是＿＿；（3）若AB=4，BC=5，AC=