2023年北京市各區(qū)二模試題匯編-導數(shù)及其應用-打印

年北京市各區(qū)二模試題匯編--導數(shù)及其應用一填空選擇〔2023年東城二模理科〕〔8〕定義：，數(shù)列滿足：，假設對任意正整數(shù)，都有成立，那么的值為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2023年海淀二模文理科〕8、點是曲線上的一個動點，曲線在點處的切線與軸、軸分別交于兩點，點是坐標原點.給出三個命題：①；②的面積為定值；③曲線上存在兩點，使得為等腰直角三角形．其中真命題的個數(shù)是〔A〕１〔B〕２〔C〕３〔D〕０〔2023年豐臺二模文科〕5．函數(shù)(A)是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)(B)是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)(C)是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)(D)是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)〔2023年豐臺二模理科〕3．由曲線與y=x，x=4以及x軸所圍成的封閉圖形的面積是(A)(B)(C)(D)〔2023年房山二模文科〕8．是定義在上的偶函數(shù)，當時，，且，那么不等式的解集是()(A)∪(B)∪(C)∪(D)∪二解答題〔2023年東城二模文科〕〔18〕〔本小題共13分〕函數(shù).〔Ⅰ〕假設，求在處的切線方程；〔Ⅱ〕假設在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍〔18〕〔共13分〕解：〔Ⅰ〕由，，，………1分所以.……3分又，所以所求切線方程為即.5分〔Ⅱ〕由，得.因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以恒成立，即不等式恒成立.………………9分整理得.令……11分的變化情況如下表：+極小值由此得的取值范圍是.………13分〔2023年東城二模理科〕〔19〕〔本小題共13分〕函數(shù)〔〕．〔Ⅰ〕試討論在區(qū)間上的單調性；〔Ⅱ〕當時，曲線上總存在相異兩點，，使得曲線在點，處的切線互相平行，求證：.〔19〕〔共13分〕〔Ⅰ〕解：由，.……2分由，得，.………4分因為，所以,且．所以在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.故在上單調遞減，在上單調遞增．……6分〔Ⅱ〕證明：由題意可得，當時，〔，且〕.即，所以，.……8分因為，且，所以恒成立，所以，又，所以，整理得.……11分令，因為，所以在上單調遞減，所以在上的最大值為，所以.……………13分〔2023年西城二模理科〕19．〔本小題總分值14分〕函數(shù)，其中．〔Ⅰ〕當時，求曲線在原點處的切線方程；〔Ⅱ〕求的單調區(qū)間；〔Ⅲ〕假設在上存在最大值和最小值，求的取值范圍．19.〔本小題總分值14分〕〔Ⅰ〕解：當時，，．………………2分由，得曲線在原點處的切線方程是．…………3分〔Ⅱ〕解：．………………4分①當時，．所以在單調遞增，在單調遞減．………………5分當，．②當時，令，得，，與的情況如下：↘↗↘故的單調減區(qū)間是，；單調增區(qū)間是．………7分③當時，與的情況如下：↗↘↗所以的單調增區(qū)間是；單調減區(qū)間是，．………………9分〔Ⅲ〕解：由〔Ⅱ〕得，時不合題意．………………10分當時，由〔Ⅱ〕得，在單調遞增，在單調遞減，所以在上存在最大值．設為的零點，易知，且．從而時，；時，．假設在上存在最小值，必有，解得．所以時，假設在上存在最大值和最小值，的取值范圍是．…………12分當時，由〔Ⅱ〕得，在單調遞減，在單調遞增，所以在上存在最小值．假設在上存在最大值，必有，解得，或．所以時，假設在上存在最大值和最小值，的取值范圍是．綜上，的取值范圍是．………………14分〔2023年海淀二模文科〕18、〔本小題總分值13分〕函數(shù)〔，〕.〔Ⅰ〕求函數(shù)的單調區(qū)間；〔Ⅱ〕當時，假設對任意，有成立，求實數(shù)的最小值.18、〔本小題總分值13分〕解：.令，解得或.…………2分〔Ⅰ〕當時，，隨著的變化如下表↘極小值↗極大值↘函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，.………4分當時，，隨著的變化如下表↘極小值↗極大值↘函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，.…6分〔Ⅱ〕當時，由〔Ⅰ〕得是上的增函數(shù)，是上的減函數(shù).又當時，.………8分所以在上的最小值為，最大值為.……10分所以對任意，.所以對任意，使恒成立的實數(shù)的最小值為.…………13分〔2023年海淀二模理科〕(19)〔本小題總分值14分〕函數(shù).〔Ⅰ〕求的單調區(qū)間；〔Ⅱ〕假設，求證：函數(shù)只有一個零點，且；〔Ⅲ〕當時，記函數(shù)的零點為，假設對任意且都有成立，求實數(shù)的最大值.〔此題可參考數(shù)據：〕(19)〔本小題總分值14分〕〔Ⅰ〕解：的定義域為..……1分令，或.當時，，函數(shù)與隨的變化情況如下表：00極小值極大值所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是和.……3分當時，.所以，函數(shù)的單調遞減區(qū)間是.……4分當時，，函數(shù)與隨的變化情況如下表：000極小值極大值所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是和.……5分〔Ⅱ〕證明：當時，由〔Ⅰ〕知，的極小值為，極大值為.因為，，且在上是減函數(shù)，所以至多有一個零點.……7分又因為，所以函數(shù)只有一個零點，且.……9分〔Ⅲ〕解：因為，所以對任意且由(Ⅱ)可知：，，且.……10分因為函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以，.……11分所以.當時，=>0.所以.……13分所以的最小值為.所以使得恒成立的的最大值為.……14分〔2023年朝陽二模理科〕18.〔本小題總分值14分〕函數(shù)．〔Ⅰ〕假設曲線在點處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值；〔Ⅱ〕討論函數(shù)的單調性；〔Ⅲ〕當時，記函數(shù)的最小值為，求證：．18.〔本小題總分值14分〕解：〔I〕的定義域為..根據題意，有，所以，解得或.……3分〔II〕.〔1〕當時，因為，由得，解得；由得，解得.所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減.〔2〕當時，因為，由得，解得；由得，解得.所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增.……9分〔III〕由〔Ⅱ〕知，當時，函數(shù)的最小值為，且.，令，得.[來源:學§科§網Z§X§X§K]當變化時，，的變化情況如下表：＋0－極大值是在上的唯一極值點，且是極大值點，從而也是的最大值點.所以.所以，當時，成立.……14分〔2023年豐臺二模文科〕20.〔本小題共13分〕函數(shù)f(x)=lnx，，兩函數(shù)圖象的交點在x軸上，且在該點處切線相同．〔Ⅰ〕求a，b的值；〔Ⅱ〕求證：當x>1時，f(x)<g(x)成立；〔Ⅲ〕證明：〔〕．20．解：〔Ⅰ〕因為與的圖象在軸上有公共點(1，0)，所以，即．又因為，，由題意，所以，．………………4分〔Ⅱ〕設，那么．所以在時單調遞減．由可得當時，即．…………9分〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕得，．令，那么，所以，．將上述n個不等式依次相加得，所以．………13分〔2023年豐臺二模理科〕20.〔本小題共13分〕設函數(shù)．〔Ⅰ〕當時，求函數(shù)的最小值；〔Ⅱ〕證明：對x1，x2∈R+，都有；〔Ⅲ〕假設，證明：．20．解：〔Ⅰ〕時，，()，那么．令，得．當時，，在是減函數(shù)，當時，，在是增函數(shù)，所以在時取得最小值，即．………4分〔Ⅱ〕因為，所以．所以當時，函數(shù)有最小值．x1，x2∈R+，不妨設，那么．……8分〔Ⅲ〕〔證法一〕數(shù)學歸納法ⅰ)當時，由〔Ⅱ〕知命題成立．ⅱ〕假設當(k∈N*)時命題成立，即假設，那么．當時，，，…，，滿足．設，由〔Ⅱ〕得==．由假設可得，命題成立．所以當時命題成立．由ⅰ)，ⅱ〕可知，對一切正整數(shù)n∈N*，命題都成立，所以假設，那么．……13分〔證法二〕假設，那么由〔Ⅱ〕可得．…13分〔2023年順義二模文科〕18．〔本小題共14分〕函數(shù),其中〔Ⅰ〕求曲線在處的切線方程;〔Ⅱ〕設函數(shù)，求的單調區(qū)間.18．〔本小題共14分〕解：〔Ⅰ〕當時，，，所求切線方程為__________5分〔Ⅱ〕，__________6分根，〔〕__________8分當，即時，在上，在上在上單調遞增，在上單調遞減；__________10分當，即時，在上，在上在上單調遞增，在上單調遞減.__________14分〔2023年順義二模理科〕18．〔本小題共14分〕函數(shù),(其中).〔Ⅰ〕求曲線在處的切線方程;〔Ⅱ〕假設是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值;〔Ⅲ〕假設對任意的，〔為自然對數(shù)的底數(shù)，〕都有，求實數(shù)的取值范圍.18．〔本小題共14分〕解：〔Ⅰ〕定義域__________1分，__________3分法一：令，解得，又，，__________4分經驗證符合條件.__________5分法二：令，，，，為極值點，，解得，又，，〔Ⅱ〕對任意的都有成立，等價于對任意的都有成立，__________7分當，，在上單調遞增，.__________8分，，〔1〕假設，，在單調遞增，，，解得.__________10分〔2〕假設當，那么當，那么在遞減，在遞增，，，又，__________12分〔3〕當時，在遞減，，恒成立.__________13分綜上所述.__________14分〔2023年昌平二模文科〕18．〔本小題總分值14分〕函數(shù)〔，為常數(shù)〕，且為的一個極值點．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求函數(shù)的單調區(qū)間；(Ⅲ)假設函數(shù)有3個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．18．〔本小題總分值14分〕解：(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域為〔0，+∞〕……1分∵f′(x)=……2分∴，那么a=1．………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知∴f′(x)=………6分由f′(x)>0可得x>2或x<1，由f′(x)<0可得1<x<2．∴函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，1)和(2，+∞)，單調遞減區(qū)間為(1,2)．………9分(Ⅲ)由(Ⅱ)可知函數(shù)f(x)在(0，1)單調遞增，在(1，2)單調遞減，在(2，+∞)單調遞增．且當x=1或x=2時，f′(x)=0．………10分∴f(x)的極大值為………11分f(x)的極小值為……12分由題意可知那么………14分〔2023年昌平二模理科〕18．〔本小題總分值13分〕函數(shù)R.〔Ⅰ〕當時，求的單調區(qū)間;〔Ⅱ〕假設在上的最小值為，求的值.18．〔本小題總分值13分〕解：〔Ⅰ〕f(x)的定義域為｛x|｝……………1分.…………3分令，即，∴的增區(qū)間為〔0，1〕，……………4分令，即，∴的減區(qū)間為………………5分〔Ⅱ〕①當時，在上恒成立，在恒為增函數(shù).………6分，得………7分②當時，令，得.當時，在上為減函數(shù)；當時，在上為增函數(shù)；，得〔舍〕………10分③當時，在上恒成立，此時在恒為減函數(shù).，得………12分綜上可知………13分〔2023年懷柔二模理科〕18．〔本小題總分值13分〕，其中是自然常數(shù)，．〔Ⅰ〕討論時，的單調性、極值；〔Ⅱ〕求證：在〔Ⅰ〕的條件下，；〔Ⅲ〕是否存在實數(shù)，使的最小值是3，假設存在，求出的值；假設不存在，說明理由．18．〔本小題總分值13分〕解：〔Ⅰ〕，∴當時，，此時單調遞減，當時，，此時單調遞增∴的極小值為4分〔Ⅱ〕的極小值為1，即在上的最小值為1，∴，……5分令，，當時，，在上單調遞增∴∴在〔1〕的條件下，8分〔Ⅲ〕假設存在實數(shù)，使〔〕有最小值3，當時，在上單調遞減，，〔舍去〕，所以，此時無最小值.當時，在上單調遞減，在上單調遞增，，滿足條件.