《從力做的功到向量的數(shù)量積》設(shè)計(jì)

《從力做的功到向量的數(shù)量積》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)：1.知識(shí)與技能（1）通過物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義.（2）體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.（3）掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律和它的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用.（4）能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.2.過程與方法教材利用同學(xué)們熟悉的物理知識(shí)（“做功”）得到向量的數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義.為了幫助學(xué)生理解和鞏固相應(yīng)的知識(shí)，教材設(shè)置了4個(gè)例題；通過講解例題，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力.3.情感態(tài)度價(jià)值觀通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們認(rèn)識(shí)到向量的數(shù)量積與物理學(xué)的做功有著非常緊密的聯(lián)系；讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想；同時(shí)以較熟悉的物理背景去理解向量的數(shù)量積，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、積極性和勇于創(chuàng)新的精神.二.教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn):向量數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義；運(yùn)算律.難點(diǎn):運(yùn)算律的理解三.學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：(1)自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法：(2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗(yàn)知識(shí)的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.教學(xué)用具:電腦、投影機(jī).四.教學(xué)設(shè)想【探究新知】（學(xué)生閱讀教材P107—108，師生共同討論）sF思考：請(qǐng)同學(xué)們回憶物理學(xué)中做功的含義，問對(duì)一般的向量a和b，如何定義這種運(yùn)算？1.力做的功：W=|F|?|s|cos是F與s的夾角2.定義：平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義，a?b=|a||b|cos，=0=180=0=180OOOOOOAAAAAABBBBBBC3.向量夾角的概念：范圍0≤≤180[展示投影]由于兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別；因此強(qiáng)調(diào)注意的幾個(gè)問題：①兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cos的符號(hào)所決定。②兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a?b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b，而ab是兩個(gè)數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分。③在實(shí)數(shù)中，若a0，且a?b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a0，且a?b=0，不能推出b=0。因?yàn)槠渲衏os有可能為0.這就得性質(zhì)2.OaOaAcb④已知實(shí)數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bca=c.但是a?b=b?ca=c如右圖：a?b=|a||b|cos=|b||OA|b?c=|b||c|cos=|b||OA|a?b=b?c但ac⑤在實(shí)數(shù)中，有(a?b)c=a(b?c)，但是(a?b)ca(b?c)顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.[展示投影]思考與交流：思考與交流1.射影的概念是如何定義的，舉例（或畫圖）說明；并指出應(yīng)注意哪些問題.AAOOBOB1OabAOOBOB1OabAOOBO(B1)Oab定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的射影。注意：①射影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量。②當(dāng)為銳角時(shí)射影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)射影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)射影為0；當(dāng)=0時(shí)射影為|b|；當(dāng)=180時(shí)射影為|b|.思考與交流2.如何定義向量數(shù)量積的幾何意義？由向量數(shù)量積的幾何意義你能得到兩個(gè)向量的數(shù)量積哪些的性質(zhì)（學(xué)生討論完成，教師作必要的補(bǔ)充）.幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cos的乘積性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量。①e?a=a?e=|a|cos②aba?b=0③當(dāng)a與b同向時(shí)，a?b=|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b=|a||b|。特別的a?a=|a|2或④cos=（|a||b|≠0）⑤|ab|≤|a||b|【鞏固深化，發(fā)展思維】判斷下列各題正確與否：①若a=0，則對(duì)任一向量b，有a?b=0.(√)②若a0，則對(duì)任一非零向量b，有a?b0.(×)③若a0，a?b=0，則b=0.(×)④若a?b=0，則a、b至少有一個(gè)為零.(×)⑤若a0，a?b=a?c，則b=c.(×)⑥若a?b=a?c，則b=c當(dāng)且僅當(dāng)a0時(shí)成立.(×)⑦對(duì)任意向量a、b、c，有(a?b)?ca?(b?c).(×)⑧對(duì)任意向量a，有a2=|a|2.(√)[展示投影]思考與交流：思考：根據(jù)向量數(shù)量積的定義、物理意義及幾何意義，你能否驗(yàn)證下列向量的數(shù)量積是否滿足下列運(yùn)算定律（證明的過程可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際水平?jīng)Q定）1.交換律：a?b=b?a證：設(shè)a，b夾角為，則a?b=|a||b|cos，b?a=|b||a|cos∴a?b=b?a2.數(shù)乘結(jié)合律：(a)?b=(a?b)=a?(b)證：若=0，此式顯然成立.若>0，(a)?b=|a||b|cos，(a?b)=|a||b|cos，a?(b)=|a||b|cos，所以(a)?b=(a?b)=a?(b).若<0，(a)?b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos，(a?b)=|a||b|cos，a?(b)=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos。所以(a)?b=(a?b)=a?(b).綜上可知(a)?b=(a?b)=a?(b)成立.12abABOA1B1Cc3.分配律：(a+b)?c=a?c+b?c證：在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作=a,=b，=c，∵a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即：|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2∴c?(a+b)=c?a+c?b即：(a+b)?c=a?c+b?c.[展示投影]例題講評(píng)（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例1.已知：解：（1）（2）例2.已知都是非零向量，且垂直，垂直，求的夾角。解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16a?b15b2=0①(a4b)(7a2b)=07a230a?b+8b2=0②兩式相減：2ab=b2代入①或②得：a2=b2設(shè)a、b的夾角為，CCABDab則cos=∴=60例3.用向量方法證明：菱形對(duì)角線互相垂直。證：設(shè)==a,==b∵ABCD為菱形∴|a|=|b|∴?=(b+a)(ba)=