任意角的三角函數(shù)設(shè)計(jì)

任意角的三角函數(shù)（一）教學(xué)目標(biāo)1、理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義；2、掌握終邊相同角的同一三角函數(shù)值相等（二）教學(xué)重難點(diǎn)1、通過借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義，理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，并從任意角的三角函數(shù)定義認(rèn)識(shí)正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域，理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)；2、通過對(duì)任意角的三角函數(shù)定義的理解，掌握終邊相同角的同一三角函數(shù)值相等；（三）教學(xué)過程1.導(dǎo)入新課思考題：我們把角的范圍推廣了，銳角三角函數(shù)的定義還能適用嗎？譬如三角形內(nèi)角和為180°，那么sin200°的值還是三角形中200°的對(duì)邊與斜邊的比值嗎？設(shè)計(jì)意圖：通類比角的概念的推廣，修正三角函數(shù)定義。由此展開新課.師生活動(dòng)：師問生答.2.新知探究問題①:在初中時(shí)我們學(xué)了銳角三角函數(shù)，你能回憶一下銳角三角函數(shù)的定義嗎？問題②:你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過提問，讓學(xué)生知道任意角的三角函數(shù)。教師活動(dòng)：教師提出問題,學(xué)生口頭回答,突出它是以銳角為自變量,邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù),教師并對(duì)回答正確的學(xué)生進(jìn)行表揚(yáng),對(duì)回答不出來的同學(xué)給予提示和鼓勵(lì).然后教師在黑板上畫出直角三角形.教師提示:前面我們對(duì)角的概念已經(jīng)進(jìn)行了擴(kuò)充,并且學(xué)習(xí)了弧度制,知道了角的集合與實(shí)數(shù)集是一一對(duì)應(yīng)的,在此基礎(chǔ)上,我們來研究任意角的三角函數(shù).教師在直角三角形所在的平面上建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,畫出角α的終邊;學(xué)生給出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),并用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù).如右圖,設(shè)銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的正半軸重合,那么它的終邊在第一象限.在α的終邊上任取一點(diǎn)P(a,b),它與原點(diǎn)的距離>0.過P作x軸的垂線,垂足為M,則線段OM的長度為a,線段MP的長度為b.根據(jù)初中學(xué)過的三角函數(shù)定義,我們有sinα==,cosα==,tanα==.討論結(jié)果:①銳角三角函數(shù)是以銳角為自變量,邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù).②sinα==,cosα==,tanα==.問題③:如果改變終邊上的點(diǎn)的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變嗎？為什么？問題④:你利用已學(xué)知識(shí)能否通過取適當(dāng)點(diǎn)而將上述三角函數(shù)的表達(dá)式簡化？活動(dòng):教師先讓學(xué)生們相互討論，并讓他們動(dòng)手畫畫圖形,看看從圖形中是否能找出某種關(guān)系來.然后提問學(xué)生,由學(xué)生回答教師的問題,教師再引導(dǎo)學(xué)生選幾個(gè)點(diǎn),計(jì)算一下對(duì)應(yīng)的比值,獲得具體認(rèn)識(shí),并由相似三角形的性質(zhì)來證明.最后可以發(fā)現(xiàn),由相似三角形的知識(shí),對(duì)于確定的角α,這三個(gè)比值不會(huì)隨點(diǎn)P在α的終邊上的位置的改變而改變.過圖形教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比,學(xué)生通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)取到原點(diǎn)的距離為1的點(diǎn)可以使表達(dá)式簡化.此時(shí)sinα==b,cosα==a,tanα==.在引進(jìn)弧度制時(shí)我們看到,在半徑為單位長度的圓中,角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值等于圓心角α所對(duì)的弧長(符號(hào)由角α的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定).在直角坐標(biāo)系中,我們稱以原點(diǎn)O為圓心,以單位長度為半徑的圓為單位圓.這樣,上述P點(diǎn)就是α的終邊與單位圓的交點(diǎn).銳角三角函數(shù)可以用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示.同樣地,我們可以利用單位圓定義任意角的三角函數(shù).圖2如圖2所示,設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么:(1)y叫做α的正弦,記作sinα,即sinα=y;(2)x叫做α的余弦,記作cosα,即cosα=x;(3)叫做α的正切,記作tanα,即tanα=(x≠0).所以,正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù),我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù).討論結(jié)果:③這三個(gè)比值與終邊上的點(diǎn)的位置無關(guān),根據(jù)初中學(xué)過的三角函數(shù)定義,有sinα==,cosα==,tanα==.由相似三角形的知識(shí),對(duì)于確定的角α,這三個(gè)比值不會(huì)隨點(diǎn)P在α的終邊上的位置的改變而改變.④能.問題⑤:學(xué)習(xí)了任意角,并利用單位圓表示了任意角的三角函數(shù),引入一個(gè)新的函數(shù),我們可以對(duì)哪些問題進(jìn)行討論?問題⑥:根據(jù)三角函數(shù)的定義,正弦、余弦、正切的定義域、值域是怎樣的?活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合在數(shù)學(xué)必修一中的有關(guān)函數(shù)的問題,讓學(xué)生回顧所學(xué)知識(shí),并總結(jié)回答老師的問題,教師對(duì)學(xué)生總結(jié)的東西進(jìn)行提問,并對(duì)回答正確的學(xué)生進(jìn)行表揚(yáng),回答不正確或者不全面的學(xué)生給予提示和補(bǔ)充.教師讓學(xué)生完成教科書上的“探究”,教師提問或讓學(xué)生上黑板板書.按照這樣的思路,我們一起來探究如下問題:請(qǐng)根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義,先將正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域填入下表,再將這三種函數(shù)的值在各象限的符號(hào)填入圖3中的括號(hào)內(nèi).三角函數(shù)定義域sinαcosαtanα圖3教師要注意引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā),利用坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征得定義域、函數(shù)值的符號(hào)等結(jié)論.對(duì)于正弦函數(shù)sinα=y,因?yàn)閥恒有意義,即α取任意實(shí)數(shù),y恒有意義,也就是說sinα恒有意義,所以正弦函數(shù)的定義域是R;類似地可寫出余弦函數(shù)的定義域;對(duì)于正切函數(shù)tanα=,因?yàn)閤=0時(shí),無意義,即tanα無意義,又當(dāng)且僅當(dāng)角α的終邊落在縱軸上時(shí),才有x=0,所以當(dāng)α的終邊不在縱軸上時(shí),恒有意義,即tanα恒有意義,所以正切函數(shù)的定義域是α≠+kπ(k∈Z).(由學(xué)生填寫下表)三角函數(shù)定義域sinαRcosαRtanα{α|α≠+kπ,k∈Z}三角函數(shù)的定義告訴我們,各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào),取決于x,y的符號(hào),當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限時(shí),縱坐標(biāo)y>0,點(diǎn)P在第三、四象限時(shí),縱坐標(biāo)y<0,所以正弦函數(shù)值對(duì)于第一、二象限角是正的,對(duì)于第三、四象限角是負(fù)的(可制作課件展示);同樣地,余弦函數(shù)在第一、四象限是正的,在第二、三象限是負(fù)的;正切函數(shù)在第一、三象限是正的,在第二、四象限是負(fù)的.從而完成上面探究問題.即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.討論結(jié)果:⑤定義域、值域、單調(diào)性等.⑥y=sinα與y=cosα的定義域都是全體實(shí)數(shù)R,值域都是[-1,1].y=tanα的定義域是{α｜α≠+kπ(k∈Z)},值域是R.3.應(yīng)用示例例1求的正弦、余弦和正切值.解:在平面直角坐標(biāo)系中,作∠AOB=，如右圖易知∠AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(,),所以sin=,cos=,tan=.例2已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P0(-3,-4)，求角α的正弦、余弦和正切值.活動(dòng):教師留給學(xué)生一定的時(shí)間,學(xué)生獨(dú)立思考并回答.明確可以用角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)來定義任意角的三角函數(shù),但用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)來定義,既不失一般性,又簡單,更容易看清對(duì)應(yīng)關(guān)系.教師要點(diǎn)撥引導(dǎo)學(xué)生習(xí)慣畫圖,充分利用數(shù)形結(jié)合,但要提醒學(xué)生注意α角的任意性.如圖,設(shè)α是一個(gè)任意角,P(x,y)是α終邊上任意一點(diǎn),點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離r=>0,那么:①叫做α的正弦,即sinα=;②叫做α的余弦,即cosα=;③叫做α的正切,即tanα=(x≠0).這樣定義三角函數(shù),突出了點(diǎn)P的任意性,說明任意角α的三角函數(shù)值只與α有關(guān),而與點(diǎn)P在角的終邊上的位置無關(guān),教師要讓學(xué)生充分思考討論后深刻理解這一點(diǎn).解:由已知,可得OP0==5.如圖5,設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y).分別過點(diǎn)P、P0作x軸的垂線MP、M0P0,則|M0P0|=4,|MP|=-y,|OM0|=3，|OM|=-x,△OMP∽△OM0P0,于是sinα=y====;cosα=x====;圖5tanα===.點(diǎn)評(píng):本例是已知角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo),求角α的三角函數(shù)值問題.可以先根據(jù)三角形相似將這一問題化歸到單位圓上,再由定義得解.例3求證:當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí),角θ為第三象限角.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生討論驗(yàn)證在不同的象限內(nèi)各個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào)有什么樣的關(guān)系,提示學(xué)生從三角函數(shù)的定義出發(fā)來探究其內(nèi)在的關(guān)系.可以知道:三角函數(shù)的定義告訴我們,各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào),取決于x,y的符號(hào),當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限時(shí),縱坐標(biāo)y>0,點(diǎn)P在第三、四象限時(shí),縱坐標(biāo)y<0,所以正弦函數(shù)值對(duì)于第一、二象限角是正的,對(duì)于第三、四象限角是負(fù)的;同樣地,余弦函數(shù)在第一、四象限是正的,在第二、三象限是負(fù)的;正切函數(shù)在第一、三象限是正的,在第二、四象限是負(fù)的.證明:我們證明如果①②式都成立,那么θ為第三象限角.因?yàn)棰賡inθ<0成立,所以θ角的終邊可能位于第三或第四象限,也可能位于y軸的非正半軸上;又因?yàn)棰谑絫anθ>0成立,所以θ角的終邊可能位于第一或第三象限.因?yàn)棰佗谑蕉汲闪?所以θ角的終邊只能位于第三象限.于是角θ為第三象限角.反過來請(qǐng)同學(xué)們自己證明.點(diǎn)評(píng):本例的目的是認(rèn)識(shí)不同位置的角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào),其條件以一個(gè)不等式出現(xiàn),在教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生把問題的條件、結(jié)論弄清楚,然后再給出證明.這一問題的解決可以訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力.變式訓(xùn)練已知cosθ·tanθ<0,那么角θ是()A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角答案:C例4課本P14例4變式訓(xùn)練求下列三角函數(shù)值:(1)sin390°;(2)cos;(3)tan(-330°).活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)終邊相同角的表示法有什么特點(diǎn),終邊相同的角相差2π的整數(shù)倍,那么這些角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系?為什么?引導(dǎo)學(xué)生從角的終邊的關(guān)系到角之間的關(guān)系再到函數(shù)值之間的關(guān)系進(jìn)行討論,然后再用三角函數(shù)的定義證明.由三角函數(shù)的定義,可以知道:終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.由此得到一組公式(公式一):sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosα,tan(α+k·2π)=tanα,其中k∈Z.利用公式一,可以把求任意角的三角函數(shù)值,轉(zhuǎn)化為求0到2π(或0°到360°)角的三角函數(shù)值.這個(gè)公式稱為三角函數(shù)的“誘導(dǎo)公式一”.解:(1)sin390°=sin(360°+30°)=sin30°=;(2)cosπ=cos(2π+π)=cosπ=;(3)tan(-330°)=tan(-360°+30°)=tan30°=.4.課堂小結(jié)本節(jié)課我們給出了任意角三角函數(shù)的定義,并且討論了