復(fù)數(shù)的加法與減法

第十章復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的加法與減法課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.若復(fù)數(shù)z滿足z+i-3=3-i,則z等于() 解析z=3-i-(i-3)=6-2i.答案D2.已知復(fù)數(shù)z滿足1-z=2+i,則|z|=()A.10 B.5 C.3 D.2解析復(fù)數(shù)z滿足1-z=2+i,可得-z=1+i,所以|z|=12+12答案D3.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上,則a的值為() 解析z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.∵z1+z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上,∴1+a=0,∴a=-1.答案D4.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z-i=3+i,則|z|=()A.5 C.13 解析由z-i=3+i,解得z=3+2i,所以z=3-2i,則|z|=32+(-2答案C5.復(fù)平面上三點(diǎn)A,B,C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1,2i,5+2i,則由A,B,C所構(gòu)成的三角形是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形解析|AB|=|2i-1|=5,|AC|=|4+2i|=20,|BC|=5,∴|BC|2=|AB|2+|AC|2.故選A.答案A6.如圖在復(fù)平面內(nèi),若復(fù)數(shù)z1,z2對(duì)應(yīng)的向量分別是OA,OB,復(fù)數(shù)z=z1+z2,則復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析由分式的幾何意義得z1=1+2i,z2=1-i,則z=z1+z2=1+2i+1-i=2+i,對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),位于第一象限.故選A.答案A7.復(fù)數(shù)z滿足|z-2+i|=1,則|z|的最大值是()A.5 B.6C.5+1 5解析|z-2+i|=1得|z-(2-i)|=1,則z的幾何意義是以C(2,-1)為圓心,半徑為1的圓,|z|的幾何意義是圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,則最大值為|OC|+1=22+(-1)2+1=5答案C8.計(jì)算|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=.

解析|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=|(2+i)-(-1-3i)|=|3+4i|=32+4答案59.已知z1=32a+(a+1)i,z2=-33b+(b+2)i(a,b∈R),若z1-z2=43,則a+b=.解析∵z1-z2=32a+(a+1)i-[-33b+(b+2)i]=32a+33b+(由復(fù)數(shù)相等的條件知3解得a=2,b=1答案310.已知z1=cosα+isinα,z2=cosβ-isinβ且z1-z2=513+1213i,則cos(α+β)解析∵z1=cosα+isinα,z2=cosβ-isinβ,∴z1-z2=(cosα-cosβ)+i(sinα+sinβ)=513∴cos由①2+②2得2-2cos(α+β)=1,即cos(α+β)=12答案111.在復(fù)平面內(nèi),O是原點(diǎn),OA,OC,AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為-2+i,3+2i,1+5i,那么OB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為,BC解析OB=OA+AB=(-2+i)+(1+5i)BC=OC-OB=(3+2i)-(-1+6i)=答案-1+6i4-4i12.復(fù)平面內(nèi)有A,B,C三點(diǎn),點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2+i,向量BA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是1+2i,向量BC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是3-i,求C點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的坐標(biāo).解∵AC=∴AC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3-i)-(1+2i)=2-3i,設(shè)C(x,y),則(x+yi)-(2+i)=2-3i,∴x+yi=(2+i)+(2-3i)=4-2i,故x=4,y=-2.∴C點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的坐標(biāo)為(4,-2).能力提升1.設(shè)向量OP,PQ,OQ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1,z2,z3,那么+z2+z3=0 =0+z3=0 +z2-z3=0解析∵OP+∴z1+z2=z3,即z1+z2-z3=0.答案D2.設(shè)z1=x+yi(x,y∈R),z2=3-4i(i為虛數(shù)單位),且|z1+z2|=5,則()A.(x+3)2+(y-4)2=5 B.(x+3)2+(y-4)2=25C.(x-3)2+(y+4)2=5 D.(x-3)2+(y+4)2=25解析由z1=x+yi(x,y∈R),z2=3-4i,得z1+z2=(x+yi)+(3-4i)=(x+3)+(y-4)i,又|z1+z2|=5,∴(x+3即(x+3)2+(y-4)2=25.故選B.答案B3.△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1,z2,z3,復(fù)數(shù)z滿足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心C.重心 D.垂心解析由復(fù)數(shù)模及復(fù)數(shù)減法運(yùn)算的幾何意義,結(jié)合條件可知復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P到△ABC的頂點(diǎn)A,B,C距離相等,∴P為△ABC的外心.答案A4.?ABCD中,點(diǎn)A,B,C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)4+i,3+4i,3-5i,則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是() +8i +4i解析AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3+4i)-(4+i)=(3-4)+(4-1)i=-1+3i,設(shè)點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則DC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3-5i)-z.由平行四邊形法則知AB=∴-1+3i=(3-5i)-z,∴z=(3-5i)-(-1+3i)=(3+1)+(-5-3)i=4-8i.故選C.答案C5.復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=|z+3i|,則|z|()A.最小值為1,無最大值B.最大值為1,無最小值C.恒等于1D.無最大值,也無最小值解析設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi,其中x,y∈R,由|z-i|=|z+3i|,得|x+(y-1)i|=|x+(y+3)i|,∴x2+(y-1)2=x2+(y+3)2,解得y=-1;∴|z|=x2+即|z|有最小值為1,沒有最大值.故選A.答案A6.非零復(fù)數(shù)z1,z2分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的向量OA,OB,若|z1+z2|=|z1-z2|,則(A.OA⊥OB B.|OA|=|C.OA=OB D.解析在四邊形OACB內(nèi),OC=∵非零復(fù)數(shù)z1,z2分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的向量OA,則由復(fù)數(shù)加法的幾何意義可知,|z1+z2|對(duì)應(yīng)OC的模,|z1-z2|對(duì)應(yīng)AB的模,則|OC|=|AB|,由OC=可知三邊長OACB為平行四邊形,則四邊形OACB為矩形.∴OA⊥OB.故選答案A7.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=2+i,則z=.

解析設(shè)z=x+yi(x,y∈R),則|z|=x2∴x+yi+x2+y2=∴x解得x∴z=34+i答案34+8.復(fù)數(shù)z1=cosθ+i,z2=sinθ-i,則|z1-z2|的最大值為,最小值為.

解析|z1-z2|=|(cosθ-sinθ)+2i|=(=5=5-當(dāng)sin2θ=-1得最大值6,當(dāng)sin2θ=1得最小值2.答案629.設(shè)z=a+bi(a,b∈R),且4(a+bi)+2(a-bi)=33+i,又ω=sinθ-icosθ,求z的值和|z-ω|的取值范圍.解∵4(a+bi)+2(a-bi)=33+i,∴6a+2bi=33+i,∴6∴z=32∴z-ω=32+12i-(sinθ=32∴|z-ω|=3=2=2=2-∵-1≤sinθ-π∴0≤2-2sinθ-π∴0≤|z-ω|≤2,故所求得z=32+12i,|z-ω10.已知|z1|=|z2|=1,z1+z2=12+32i,求復(fù)數(shù)z1,z2及|z1解由于|z1+z2|=12+3設(shè)z1,z2,z1+z2對(duì)應(yīng)的向量分別為OA,則|OA|=|OB|=|OC|=1,故A,B,C三點(diǎn)均在以原點(diǎn)為圓心,半徑為1的圓上,如圖.易得:cos∠AOC=12故∠AO