2023屆浙江省紹興市柯橋區(qū)九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達標(biāo)測試試題含解析

2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．某個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是()A． B． C． D．2．拋物線y=2(x－1)2－6的對稱軸是().A．x=－6 B．x=－1 C．x= D．x=13．如圖是二次函數(shù)圖象的一部分，則關(guān)于的不等式的解集是()A． B． C． D．4．如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊BA、CA的延長線上，=2，那么下列條件中能判斷DE∥BC的是（）A． B． C． D．5．如圖，拋物線交x軸于點A(a，0)和B(b，0)，交y軸于點C，拋物線的頂點為D，下列四個結(jié)論：①點C的坐標(biāo)為（0，m）；②當(dāng)m=0時，△ABD是等腰直角三角形；③若a＝－1，則b＝4；④拋物線上有兩點P(，)和Q(，)，若＜1＜，且＋＞2，則＞．其中結(jié)論正確的序號是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④6．給出下列函數(shù)，其中y隨x的增大而減小的函數(shù)是（）①y＝2x；②y＝﹣2x+1；③y＝（x＜0）；④y＝x2（x＜1）．A．①③④ B．②③④ C．②④ D．②③7．已知二次函數(shù)y=（a≠0）的圖像如圖所示，對稱軸為x=-1，則下列式子正確的個數(shù)是（）（1）abc＞0（2）2a+b=0（3）4a+2b+c＜0（4）b2-4ac＜0A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．已知（，），下列變形錯誤的是（）A． B． C． D．9．如圖1，E為矩形ABCD邊AD上一點，點P從點C沿折線CD﹣DE﹣EB運動到點B時停止，點Q從點B沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度都是1cm/s．若P，Q同時開始運動，設(shè)運動時間為t（s），△BPQ的面積為y（cm2）．已知y與t的函數(shù)圖象如圖2，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．AE=8cmB．sin∠EBC=C．當(dāng)10≤t≤12時，D．當(dāng)t=12s時，△PBQ是等腰三角形10．某果園2011年水果產(chǎn)量為100噸，2013年水果產(chǎn)量為144噸，求該果園水果產(chǎn)量的年平均增長率．設(shè)該果園水果產(chǎn)量的年平均增長率為x，則根據(jù)題意可列方程為（）A．144（1﹣x）2=100 B．100（1﹣x）2=144 C．144（1+x）2=100 D．100（1+x）2=144二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，一個寬為2cm的刻度尺在圓形光盤上移動，當(dāng)刻度尺的一邊與光盤相切時，另一邊與光盤邊緣兩個交點處的讀數(shù)恰好是“2”和“10”（單位：cm），那么該光盤的直徑是_____________cm．12．一天早上，王霞從家出發(fā)步行上學(xué)，出發(fā)6分鐘后王霞想起數(shù)學(xué)作業(yè)沒有帶，王霞立即打電話叫爸爸騎自行車把作業(yè)送來（接打電話和爸爸出門的時間忽略不計），同時王霞把速度降低到前面的一半.爸爸騎自行車追上王霞后立即掉頭以原速趕往位于家的另一邊的單位上班，王霞拿到作業(yè)后立即改為慢跑上學(xué)，慢跑的速度是最開始步行速度的2倍，最后王霞比爸爸早10分鐘到達目的地.如圖反映了王霞與爸爸之間的距離（米）與王霞出發(fā)后時間（分鐘）之間的關(guān)系，則王霞的家距離學(xué)校有__________米.13．如圖，的直徑AB與弦CD相交于點，則______．14．一元二次方程x2﹣5x=0的兩根為_________．15．對于任何實數(shù)，，，，我們都規(guī)定符號的意義是，按照這個規(guī)定請你計算：當(dāng)時，的值為________．16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°．把△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到△AB′C′，若AB＝4，則線段BC在上述旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分（陰影部分）的面積是_____．（結(jié)果保留π）．17．關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為__________．18．已知，則__________．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AD交AB于E，EF∥BC交AC于F．（1）求證：△ACD∽△ADE；（2）求證：AD2＝AB?AF；（3）作DG⊥BC交AB于G，連接FG，若FG＝5，BE＝8，直接寫出AD的長．20．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2－2x＋1＝0.(1)若方程有兩個實數(shù)根，求m的取值范圍；(2)若方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且x1x2－x1－x2＝，求m的值．21．（6分）如圖，一次函數(shù)y1＝x+4的圖象與反比例函數(shù)y2＝的圖象交于A（﹣1，a），B兩點，與x軸交于點C．（1）求k．（2）根據(jù)圖象直接寫出y1＞y2時，x的取值范圍．（3）若反比例函數(shù)y2＝與一次函數(shù)y1＝x+4的圖象總有交點，求k的取值．22．（8分）如圖，P是正方形ABCD的邊CD上一點，∠BAP的平分線交BC于點Q，求證：AP＝DP＋BQ.23．（8分）如圖，頂點為A（，1）的拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點O，與x軸交于點B．（1）求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的表達式；（2）過B作OA的平行線交y軸于點C，交拋物線于點D，求證：△OCD≌△OAB；（3）在x軸上找一點P，使得△PCD的周長最小，求出P點的坐標(biāo)．24．（8分）如圖，是的直徑，是上半圓的弦，過點作的切線交的延長線于點，過點作切線的垂線，垂足為，且與交于點，設(shè)，的度數(shù)分別是.用含的代數(shù)式表示，并直接寫出的取值范圍；連接與交于點，當(dāng)點是的中點時，求的值.25．（10分）如圖，已知A（-1,0），一次函數(shù)的圖像交坐標(biāo)軸于點B、C，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A、C、B．點Q是二次函數(shù)圖像上一動點。（1）當(dāng)時，求點Q的坐標(biāo)；（2）過點Q作直線//BC，當(dāng)直線與二次函數(shù)的圖像有且只有一個公共點時，求出此時直線對應(yīng)的一次函數(shù)的表達式并求出此時直線與直線BC之間的距離。26．（10分）某校的學(xué)生除了體育課要進行體育鍛煉外，寒暑假期間還要自己抽時間進行體育鍛煉，為了了解同學(xué)們假期體育鍛煉的情況，開學(xué)時體育老師隨機抽取了部分同學(xué)進行調(diào)查，按鍛煉的時間x（分鐘）分為以下四類：A類（），B類（），C類（），D類（），對調(diào)查結(jié)果進行整理并繪制了如圖所示的不完整的折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，請結(jié)合圖中的信息解答下列各題：（1）扇形統(tǒng)計圖中D類所對應(yīng)的圓心角度數(shù)為，并補全折線統(tǒng)計圖；（2）現(xiàn)從A類中選出兩名男同學(xué)和三名女同學(xué)，從以上五名同學(xué)中隨機抽取兩名同學(xué)進行采訪，請利用畫樹狀圖或列表的方法求出抽到的學(xué)生恰好是一男一女的概率．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【解析】根據(jù)幾何體的三視圖判斷即可．【詳解】由三視圖可知：該幾何體為圓錐．故選D．【點睛】考查了由三視圖判斷幾何體的知識，解題的關(guān)鍵是具有較強的空間想象能力，難度不大．2、D【解析】根據(jù)拋物線的頂點式，直接得出結(jié)論即可．【詳解】解：∵拋物線y=2（x-1）2-6，

∴拋物線的對稱軸是x=1．

故選D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，要熟悉二次函數(shù)的頂點式：y=a（x-h）2+k（a≠0），其頂點坐標(biāo)為（h，k），對稱軸為x=h．3、D【分析】先根據(jù)拋物線平移的規(guī)律得到拋物線，通過觀察圖象可知，它的對稱軸以及與軸的交點，利用函數(shù)圖像的性質(zhì)可以直接得到答案．【詳解】解：∵根據(jù)拋物線平移的規(guī)律可知，將二次函數(shù)向左平移個單位可得拋物線，如圖：∴對稱軸為，與軸的交點為，∴由圖像可知關(guān)于的不等式的解集為：．故選：D【點睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式，主要利用了二次函數(shù)的平移規(guī)律、對稱性，數(shù)形結(jié)合的思想，解題關(guān)鍵在于通過平移規(guī)律得到新的二次函數(shù)圖象以及與軸的交點坐標(biāo)．4、D【分析】只要證明，即可解決問題．【詳解】解:A.，可得AE：AC=1：1，與已知不成比例，故不能判定B.，可得AC：AE=1：1，與已知不成比例，故不能判定；C選項與已知的，可得兩組邊對應(yīng)成比例，但夾角不知是否相等，因此不一定能判定；D.，可得DE//BC，故選D.【點睛】本題考查平行線的判定，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．5、C【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的基本性質(zhì)依次進行判斷即可.【詳解】①當(dāng)x=0時，y=m，∴點C的坐標(biāo)為（0，m），該項正確；②當(dāng)m=0時，原函數(shù)解析式為：，此時對稱軸為：，且A點交于原點，∴B點坐標(biāo)為：（2，0），即AB=2，∴D點坐標(biāo)為：（1，1），根據(jù)勾股定理可得：BD=AD=,∴△ABD為等腰三角形，∵,∴△ABD為等腰直角三角形，該項正確；③由解析式得其對稱軸為：，利用其圖像對稱性，∴當(dāng)若a＝－1，則b＝3，該項錯誤；④∵＋＞2，∴，又∵＜1＜，∴-1＜1＜-1，∴Q點離對稱軸較遠，∴＞，該項正確；綜上所述，①②④正確，③錯誤，故選：C.【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像解析式與其函數(shù)圖像的性質(zhì)綜合運用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.6、D【解析】分別根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的增減性進行解答即可【詳解】解：①∵y=2x中k=2＞0，∴y隨x的增大而增大，故本小題錯誤；

②∵y=-2x+1中k=-2＜0，∴y隨x的增大而減小，故本小題正確；

③∵y=（x＜0）中k=2＞0，∴x＜0時，y隨x的增大而減小，故本小題正確；

④∵y=x2（x＜1）中x＜1，∴當(dāng)0＜x＜1時，y隨x的增大而增大，故本小題錯誤．

故選D．【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵．7、B【詳解】由圖像可知，拋物線開口向下，a＜0，圖像與y軸交于正半軸，c＞0，對稱軸為直線x=-1＜0，即-＜0，因為a＜0，所以b＜0，所以abc＞0，故（1）正確；由-=-1得，b=2a，即2a-b=0，故（2）錯誤；由圖像可知當(dāng)x=2時，y＜0，即4a+2b+c＜0，故（3）正確；該圖像與x軸有兩個交點，即b2-4ac＞0，故（4）錯誤，本題正確的有兩個，故選B．8、B【分析】根據(jù)兩內(nèi)項之積等于兩外項之積對各項分析判斷即可得解.【詳解】解：由，得出，3b=4a,A.由等式性質(zhì)可得：3b=4a，正確；B.由等式性質(zhì)可得：4a=3b，錯誤；C.由等式性質(zhì)可得：3b=4a，正確；D.由等式性質(zhì)可得：4a=3b，正確.故答案為：B.【點睛】本題考查的知識點是等式的性質(zhì)，熟記等式性質(zhì)兩內(nèi)項之積等于兩外項之積是解題的關(guān)鍵.9、D【分析】觀察圖象可知：點P在CD上運動的時間為6s，在DE上運動的時間為4s，點Q在BC上運動的時間為12s，所以CD=6，DE=4，BC=12，然后結(jié)合三角函數(shù)、三角形的面積等逐一進行判斷即可得.【詳解】觀察圖象可知：點P在CD上運動的時間為6s，在DE上運動的時間為4s，點Q在BC上運動的時間為12s，所以CD=6，DE=4，BC=12，∵AD=BC，∴AD=12，∴AE=12﹣4=8cm，故A正確，在Rt△ABE中，∵AE=8，AB=CD=6，∴BE==10，∴sin∠EBC=sin∠AEB=，故B正確，當(dāng)10≤t≤12時，點P在BE上，BP=10﹣（t﹣10）=20﹣t，∴S△BQP=?t?（20﹣t）?=﹣t2+6t，故C正確，如圖，當(dāng)t=12時，Q點與C點重合，點P在BE上，此時BP=20-12=8，過點P作PM⊥BC于M，在Rt△BPM中，cos∠PBM=，又∠PBM=∠AEB，在Rt△ABE中，cos∠AEB=，∴，∴BM=6.4，∴QM=12-6.4=5.6，∴BP≠PC，即△PBQ不是等腰三角形，故D錯誤，故選D．【點睛】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，涉及了矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形函數(shù)，等腰三角形的判定等知識，綜合性較強，解題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂圖象信息，靈活運用所學(xué)知識解決問題．10、D【解析】試題分析：2013年的產(chǎn)量=2011年的產(chǎn)量×（1+年平均增長率）2，把相關(guān)數(shù)值代入即可．解：2012年的產(chǎn)量為100（1+x），2013年的產(chǎn)量為100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，即所列的方程為100（1+x）2=144，故選D．點評：考查列一元二次方程；得到2013年產(chǎn)量的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、10【分析】本題先根據(jù)垂徑定理構(gòu)造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦長和弓形高，根據(jù)勾股定理求出半徑，從而得解．【詳解】如圖，設(shè)圓心為O，弦為AB，切點為C．如圖所示．則AB＝8cm，CD＝2cm．連接OC，交AB于D點．連接OA．∵尺的對邊平行，光盤與外邊緣相切，∴OC⊥AB．∴AD＝4cm．設(shè)半徑為Rcm，則R2＝42＋（R?2）2，解得R＝5，∴該光盤的直徑是10cm．故答案為：10.【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)及垂徑定理，建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵．12、1750【分析】設(shè)王霞出發(fā)時步行速度為a米/分鐘，爸爸騎車速度為b米/分鐘，根據(jù)爸爸追上王霞的時間可以算出兩者速度關(guān)系，然后利用學(xué)校和單位之間距離4750建立方程求出a，即可算出家到學(xué)校的距離.【詳解】設(shè)王霞出發(fā)時步行速度為a米/分鐘，爸爸騎車速度為b米/分鐘，由圖像可知9分鐘時爸爸追上王霞，則，整理得由圖像可知24分鐘時，爸爸到達單位，∵最后王霞比爸爸早10分鐘到達目的地∴王霞在第14分鐘到達學(xué)校，即拿到作業(yè)后用時14-9=5分鐘到達學(xué)校爸爸騎車用時24-9=15分鐘到達單位，單位與學(xué)校相距4750米，∴將代入可得，解得∴王霞的家與學(xué)校的距離為米故答案為：1750.【點睛】本題考查函數(shù)圖像信息問題，解題的關(guān)鍵是讀懂圖像中數(shù)據(jù)的含義，求出王霞的速度.13、【解析】分析：由已知條件易得△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，結(jié)合∠ADC=∠ABC，即可由tan∠ADC=tan∠ABC=求得所求的值了.詳解：∵AB是的直徑，∴∠ACB=90°，又∵AC=3，AB=5，∴BC=，∴tan∠ABC=，又∵∠ADC=∠ABC，∴tan∠ADC=.故答案為：.點睛：熟記“圓的相關(guān)性質(zhì)和正切函數(shù)的定義”解得本題的關(guān)鍵.14、0或5【解析】分析：本題考查的是一元二次方程的解法——因式分解法.解析：故答案為0或5.15、1【分析】先解變形為，再根據(jù)，把轉(zhuǎn)化為普通運算，然后把代入計算即可.【詳解】∵，∴，∵，∴=(x+1)(x-1)-3x(x-2)=

x2-1-3x2+6x=-2x2+6x-1=-2(x2-3x)-1=-2×(-1)-1=1.故答案為1.【點睛】本題考查了信息遷移，整式的混合運算及添括號法則，16、2π．【分析】由題意根據(jù)陰影部分的面積是：扇形BAB′的面積+S△AB′C′-S△ABC-扇形CAC′的面積，分別求得：扇形BAB′的面積和S△AB′C′，S△ABC以及扇形CAC′的面積，進而分析即可求解．【詳解】解：扇形BAB′的面積是：，在直角△ABC中，，．扇形CAC′的面積是：，則陰影部分的面積是：扇形BAB′的面積+-扇形CAC′的面積=．故答案為：2π．【點睛】本題考查扇形的面積的計算，正確理解陰影部分的面積是：扇形BAB′的面積+-扇形CAC′的面積是解題的關(guān)鍵．17、1．【解析】去分母得：7x+5(x-1)=2m-1，因為分式方程有增根，所以x-1=0，所以x=1，把x=1代入7x+5(x-1)=2m-1，得：7=2m-1，解得：m=1，故答案為1.18、【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，由得，x=，再將其代入所求式子可得出結(jié)果．【詳解】解：由得，x=，所以．故答案為：．【點睛】此題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，較簡單．三、解答題(共66分)19、（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似即可證明．（2）證明△BAD∽△DAF可得結(jié)論．（3）求出AB，AF，代入AD2＝AB?AF，即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵DA平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAE，∵DE⊥AD，∴∠ADE＝∠C＝90°，∴△ACD∽△ADE．（2）證明：連接DF．∵EF∥BC，∴∠AFE＝∠C＝90°，∠AEF＝∠B，∵∠ADE＝∠AFE＝90°，∴A，E，D，F(xiàn)四點共圓，∴∠ADF＝∠AEF，∴∠B＝∠ADF，∴∠DAB＝∠DAF，∴△BAD∽△DAF，∴，∴AD2＝AB?AF．（3）設(shè)DG交EF于O．∵DG⊥BC，AC⊥BC，∴DG∥AC，∴∠ADG＝∠DAC＝∠DAG，∴AG＝GD，∵∠AED+∠EAD＝90°，∠EDG+∠ADG＝90°，∴∠GED＝∠GDE，∴DG＝EG＝AG，∵∠AFE＝90°，∴FG＝EG＝AG＝DG＝5，∵OE∥BD，∴，∴，∴OG＝，∴OG∥AF．EG＝AG，∴OE＝OF，∴AF＝2OG＝，∴AD2＝AB?AF＝18×，∵AD＞0，∴AD＝．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題.20、(1)m≤1且m≠0(2)m＝－2【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義和判別式得到m≠0且Δ＝(－2)2－4m≥0，然后求解不等式即可；（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1＋x2＝，x1x2＝，再將已知條件變形得x1x2－(x1＋x2)＝，然后整體代入求解即可.【詳解】(1)根據(jù)題意，得m≠0且Δ＝(－2)2－4m≥0，解得m≤1且m≠0.(2)根據(jù)題意，得x1＋x2＝，x1x2＝，∵x1x2－x1－x2＝，即x1x2－(x1＋x2)＝，∴－＝，解得m＝－2.【點睛】本題考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理），根的判別式：（1）當(dāng)△=b2﹣4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當(dāng)△=b2﹣4ac=0時，方程有有兩個相等的實數(shù)根；（3）當(dāng)△=b2﹣4ac＜0時，方程沒有實數(shù)根.韋達定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實數(shù)根x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=.21、（1）-3；（2）﹣3＜x＜﹣1；（3）k≥﹣4且k≠1．【分析】（1）把點A坐標(biāo)代入一次函數(shù)關(guān)系式可求出a的值，確定點A的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)關(guān)系式可求出k的值，（2）一次函數(shù)與反比例函數(shù)聯(lián)立，可求出交點B的坐標(biāo)，再根據(jù)圖象可得出當(dāng)y1＞y2時，x的取值范圍．（3）若反比例函數(shù)y2＝與一次函數(shù)y1＝x+4的圖象總有交點，就是x2+4x﹣k＝1有實數(shù)根，根據(jù)根的判別式求出k的取值范圍．【詳解】（1）一次函數(shù)y1＝x+4的圖象過A（﹣1，a），∴a＝﹣1+4＝3，∴A（﹣1，3）代入反比例函數(shù)y2＝得，k＝﹣3；（2）由（1）得反比例函數(shù)，由題意得，，解得，，，∴點B（﹣3，1）當(dāng)y1＞y2，即一次函數(shù)的圖象位于反比例函數(shù)圖象上方時，自變量的取值范圍為：﹣3＜x＜﹣1；（3）若反比例函數(shù)y2＝與一次函數(shù)y1＝x+4的圖象總有交點，即，方程＝x+4有實數(shù)根，也就是x2+4x﹣k＝1有實數(shù)根，∴16+4k≥1，解得，k≥﹣4，∵k≠1，∴k的取值范圍為：k≥﹣4且k≠1．【點睛】此題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)圖象與二元一次方程組的關(guān)系，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點的確定，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.22、證明見解析.【解析】試題分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠E=∠AQB，∠EAD=∠QAB，進而得出∠PAE=∠E，即可得出AP=PE=DP+DE=DP+BQ．試題解析：證明：將△ABQ繞A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出∠E=∠AQB，∠EAD=∠QAB，又∵∠PAE=90°﹣∠PAQ=90°﹣∠BAQ=∠DAQ=∠AQB=∠E，在△PAE中，得AP=PE=DP+DE=DP+BQ．點睛：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)已知得出PE=DP+DE是解題關(guān)鍵．23、（1）y=﹣x1+x；（1）證明見解析；（3）P（﹣，0）．【分析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（1）先求出直線OA對應(yīng)的一次函數(shù)的表達式為y=x．再求出直線BD的表達式為y=x﹣1．最后求出交點坐標(biāo)C，D即可；（3）先判斷出C'D與x軸的交點即為點P，它使得△PCD的周長最?。鬏o助線判斷出△C'PO∽△C'DQ即可．【詳解】解：（1）∵拋物線頂點為A（，1），設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣）1+1，將原點坐標(biāo)（0，0）在拋物線上，∴0=a（）1+1∴a=﹣，∴拋物線的表達式為：y=﹣x1+x．（1）令y=0，得0=﹣x1+x，∴x=0（舍），或x=1∴B點坐標(biāo)為：（1，0），設(shè)直線OA的表達式為y=kx．∵A（，1）在直線OA上，∴k=1，∴k=，∴直線OA對應(yīng)的一次函數(shù)的表達式為y=x．∵BD∥AO，設(shè)直線BD對應(yīng)的一次函數(shù)的表達式為y=x+b．∵B（1，0）在直線BD上，∴0=×1+b，∴b=﹣1，∴直線BD的表達式為y=x﹣1．由得交點D的坐標(biāo)為（﹣，﹣3），令x=0得，y=﹣1，∴C點的坐標(biāo)為（0，﹣1），由勾股定理，得：OA=1=OC，AB=1=CD，OB=1=OD．在△OAB與△OCD中，，∴△OAB≌△OCD．（3）點C關(guān)于x軸的對稱點C'的坐標(biāo)為（0，1），∴C'D與x軸的交點即為點P，它使得△PCD的周長最?。^點D作DQ⊥y，垂足為Q，∴PO∥DQ，∴△C'PO∽△C'DQ，∴，∴，∴PO=，∴點P的坐標(biāo)為（﹣，0）．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和全等，解答本題的關(guān)鍵是確定函數(shù)解析式．24、（1）β=90°－2α（0°＜α＜45°）；（2）α=β=30°【分析】（1）首先證明，在中，根據(jù)兩銳角互余，可知；（2）連接OF交AC于O′，連接CF，只要證明四邊形AFCO是菱形，推出是等邊三角形即可解決問題．【詳解】解：（1）連接OC．∵DE是⊙O的切線，∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠DAE=2α，∵∠D=90°，∴∠DAE+∠E=90°，∴2α+β=90°∴β=90°－2α（0°＜α＜45°）．（2）連接OF交AC于O′，連接CF．∵AO′=CO′，∴AC⊥OF，∴FA=FC，∴∠FAC=∠FCA=∠CAO，∴CF∥OA，∵AF∥OC，∴四邊形AFCO是平行四邊形，∵OA=OC，∴四邊形AFCO是菱形，∴AF=AO=OF，∴△AOF是等邊三角形，∴∠FAO=2α=60°，∴α=30°，∵2α+β=90°，∴β=30°，∴α=β=30°．【點睛】本題考查了圓和三角形的問題，掌握圓的切線的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)和證明是解題的關(guān)鍵．25、（1）Q（0,2）