高數(shù)下冊筆記精

§1

一.基本概念:1.微分方程; 2.常微分方程; 3.偏微分方程; 4.微分方程的階; 5.微分方程的解; 6.微分方程的通解:如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相等，則這樣的解就稱為此微分7.微分方程的初始條件與特解.8.微分方程的積分曲線:

P263．5．寫出由下列條件所確定的曲線所滿足的微分方程:

1．曲線在點處

,

的切線的斜率等于該點橫坐標(biāo)的平方.

,則由題意得:

.--------這就是所需確定的曲線應(yīng)滿足的微分方程．

2．曲線上點

,

,且線段

,且設(shè)曲線在點

1/

,

1/

/

/

．．．．．．．①

．．．．．．．．．．②

．．．．．．．．．．②

P

P

--------這就是所需確定的曲線應(yīng)滿足的微分方程．§2．可分離變量的一階微分方程 F

,,

,

,

,

,

g

..

,

,

,

,

轉(zhuǎn)化求解法―――即首先將原一階齊次微分方程轉(zhuǎn)化為變量分離方程；然后再按變量分離方程的解法去求解即可！具體地說， du du

,

du

參見Ｐ271．例１．(

)

,

du

du

du

du

（i）.當(dāng)

（ii）.當(dāng)

278．例１）

e

p

e

p

..

n

n

dz

n

dz

p

-----這是一個一階線性非齊次方程!進(jìn)而可由一階線性非齊次方程的通解公式求出其解,這樣也就求出原伯努利方程（＊）的解!

du

du

du

．．．．例２．Ｐ282.9.（3）解方程

u

eu

du

ueu

du

du

．．．．

n

,

,

d dp

p

dp

,

p

解法去求解．．．．．得其通解設(shè)為

p

(

,

)

p

,

(

,

)

,

,

d

dp dp

dp

p

p

p

dp

,

p

..

p

(,

)

,

,

,

d d dp

p

，則

p

p

p

e

e

e

e

p

e

(

)

．．．．

p

,

,

d dp

p

p

dp

dp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p)

．．．．．．（＊）的方程為二階線性微分方程．

（i）.當(dāng)

..

（ii）.當(dāng)

(

)

A

(

)

(

)

２．多個函數(shù)間的線性相關(guān)性與線性無關(guān)性的定義（參見教材Ｐ296

(

)

(

)

(

)

A

(

)

(

)

*

(

)

*

５．二階線性非齊次微分方程解的疊加原理（Ｐ297

*

(

)

(

)

(

)．）

P(

)(

)

(

)

(

)

P(

)(

)

(

)

(

)

A

(

)

(

)

(

)

(

)

A

(

)

(

)

７．例題分析Ｐ326.１．(4)．已知

,

．．．．（＊），則由定理３知：非齊次通解

＝齊次通解

＋非齊次特解

*

，現(xiàn)由題意知＂

非齊次特解

*

＂可取..

,

(

)

(

)

(

)

(

),

(

)

(

)

@

(

)

(

)

(

)

@

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

(

)

A

(

)

(

)

A

(

)

(

)(

)

(

)

．．．(４)

),

),

(

)

．．．．．（１）的兩個線性無關(guān)的特解，

W

．．．．（２）W

W

W

W

．．．．（１）之中，(i)．如果

p

),

p,q(ii)．如果

p,q

q

r,r..

r,r

(i)．若特征根r,r

r

r

(ii)．若特征根r,r

(

)r

(iii)．若特征根r,(iii)．若特征根r,r

r

i

e

(

)

的求解舉例：參見教材Ｐ304--305

例２;

p,q

(

)

．．．．．（１）的兩個線性無關(guān)的特解，

W

．．．．（２）W

W

W

W

例如Ｐ313.例２．求方程

rrr

r

,

W

e

e

e

W

W

e

e

e

e

e

e

e

d

e

d

e

e

三．本章雜例Ｐ327．7．設(shè)有可導(dǎo)函數(shù)

..

e

p

e

p

e

e

一.

①向量與自由向量;②單位向量與零向量;③向量的共線與共面;④向量的模,方向角,以及投影等.二.

三.向量的線性運(yùn)算在空間直角坐標(biāo)系下的表達(dá)

r

r r r r

r

b

Ab

,

,br

r r r r r

b

jr

b

b

jr

br

r r r r

r

b

Ab

,

,br

r,brrr r

r

r

[,

b,]A

(b)rrr,

b,

rrr

[,

b,]

rrr

rrr(i)

,

b,

(ii)

,

b,

一.

rrr

M(

,

,

)[,

b,]

F

,,

的解之間能構(gòu)成一一對應(yīng),則稱這F

,,

..

建立曲面方程的一般方法:首先在所求曲面上任取一點

M

,,,然后利用該曲面的特征并將其等價地表M

,,的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件式即可!

:試求球心在點M

(

,

,

)

,半徑為

解:設(shè)解:設(shè)M

,,為所求球面上任意一點,則由

M

M

uuuuuur

M

M

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

二.

旋轉(zhuǎn)曲面的定義(參見

坐標(biāo)平面內(nèi)的平面曲面繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)曲面的方程及其特點:例如:

,

,

(

g

,

g

,

三.

1.柱面的定義(參見

2.四種常見的柱面:

g

(

,

)

;②橢圓柱面

;③拋物柱面

;④雙曲柱面

b

3.二元方程在空間直角坐標(biāo)系中的幾何意義:

.例如:方程

,

,

四.

掌握運(yùn)用對旋轉(zhuǎn)曲面伸縮變形來認(rèn)識一般的二次曲面形狀的思想方法;

b

b

b

b

..

§4

一.

F

(

,,)

F

,,

,,

(

,,)

二.

二.

三.

四.

)

)

§5

r一.

M

(

,

,

)

{

,,

C}

(

)

(

)C

(

)

r二.

{

,,

C}

b

b

,

b,

四.

五.

P

(

,

,

)

d

d

一.

空間直線的一般方程(或稱交線式方程)：一.

空間直線的一般方程(或稱交線式方程)：

C

C

.. 二.

空間直線的點向式方程(或稱對稱式方程)：

m

p

二.

空間直線的點向式方程(或稱對稱式方程)：

m

p

三.

四.

m

p

mt

M

(

,

,

),M

(

,

,

)

五. 六.

七.

C

C

,

,

C

,

,

C

(

C

)(

C

)

rr

,

為待定系數(shù)！）．．．．．．．．（１）

/

設(shè)點

M

(

,

,

)

M

,,

uuuuuur

rM

M

M

(

,

,

)

d

..

L

(

,

,

)L

(

,

,

)

r rL

P

(

,

,

)L

(

,

,

)

r

r

r

rL

P

L

P