【學海導航】高考數(shù)學第1輪總復習 全國統(tǒng)編教材 9.7直線和平面所成的角與二面角（第2課時）課件 理

第九章直線、平面、簡單幾何體直線和平面所成的角與二面角第講7（第二課時）11.在三棱錐P-ABC中，AB⊥AC，

∠ACB=60°，PA=PB=PC，點P到平面ABC的距離為

AC.求二面角P-AC-B的大小.題型4

求二面角的大小2解法1：由條件知△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°.因為PA=PB=PC，所以點P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即斜邊BC的中點E.取AC的中點D，連結PD，DE，PE.因為PE⊥平面ABC，DE⊥AC(因為DE∥AB)，所以AC⊥PD.所以∠PDE就是二面角P-AC-B的平面角.3又PE=AC，DE=AC(因為∠ACB=60°)，所以，所以∠PDE=60°.故二面角P-AC-B的大小為60°.解法2：由條件知△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°.因為PA=PB=PC，所以點P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即斜邊BC的中點.4設O為BC的中點，取AC的中點D，連結PD，DO，PO，則PO⊥平面ABC.建立如圖所示直角坐標系設AC=a，則A(a，-a，0)，B(-a，0，0)，C(a，0，0)，D(a，-a，0)，P(0，0，a).所以=(-a，a，0)，=(-a，a，

a).因為AB⊥AC，又PA=PC，所以PD⊥AC，5所以cos〈，〉即為二面角P-AC-B的余弦值.而cos〈，〉=

所以二面角P-AC-B的大小為60°.6點評：求二面角的大小有兩種方法：幾何法與向量法.本題解法1是利用幾何法來解決的，即按“一找、二證、三計算”三個步驟進行；解法2是利用向量法來解決的，即通過求垂直于兩平面交線的直線的方向向量所成的角(需要注意是相等還是互補).7如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分別為AA1、B1C的中點，DE⊥平面BCC1.(1)證明：AB=AC;(2)設二面角A-BD-C為60°，求B1C與平面BCD所成的角的大小.

解：(1)證法1：連結BE，因為ABC-A1B1C1為直三棱柱，所以∠B1BC=90°,8因為E為B1C的中點，所以BE=EC.又DE⊥平面BCC1，

所以BD=DC(射影相等的兩條斜線段相等).

而DA⊥平面ABC，所以AB=AC(斜線段相等的射影相等)

證法2：取BC的中點F，證四邊形A

F

ED為平行四邊形，進而證AF∥DE，所以AF⊥BC，得AB=AC.9(2)作AG⊥BD于G，連結GC，

則GC⊥BD，所以∠AGC為二面角A-BD-C的平面角，所以∠AGC=60°.不妨設AC=

，則AG=2,GC=4.在Rt△ABD中，由AD·AB=易得AD=.10設點B1到平面面BCD的距離離為h，B1C與平面面BCD所成的的角為為α.由S△B1BC·DE=S△BCD·h，得解得h=，又B1C=,所以sinα=,所以α=30°.即B1C與平面面BCD所成的的角為為30°°.112.在在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°°，D為AC的中點點，E為BD的中點點，連連結AE并延長長交BC于點F，將△ABC沿BD折成一一個大大小為為θ的二面面角A-BD-C.(1)證明明：平平面AEF⊥平面面BCD(2)當θ為何值值時，，有AB⊥CD?題型4二面角角背景景下的的位置置關系系分析析12解：(1)證明：：因為為△ABC為直角三三角形形，∠ACB=30°，所以AB=AC.又D為AC的中點點，所以AD=AC，所以以AB=AD.因為E為BD的中點點，所所以AE⊥BD，所以BD⊥AE，BD⊥EF，所以BD⊥平面AEF.又BD平面BCD，所以平平面AEF⊥平面BCD.13(2)作AO⊥EF，垂足足為O.因為平平面AEF⊥平面BCD，所以AO⊥平面BCD.連結OB，則OB是AB在平面面BCD內的射射影所以AB⊥CDBO⊥CD.延長BO、CD相交于于H，設AB=2a，則AE=ABcos30°°=a.由△BEO∽△△BHD，得.14所以在Rt△△AOE中，cos∠AEO=.因為BD⊥平面AEF，所以θ=∠∠AEF=π-∠AEO=ππ-arccos.15點評：：與二面面角有有關的的綜合合問題題涉及及到空空間位位置關關系與與空間間角大大小關關系之之間的的綜合合.解決此此類問問題需需注意意幾個個轉化化：一一是三三維空空間向向二維維空間間的轉轉化；；二是是空間間角向向線線線角的的轉化化；三三是線線面關關系向向線線線關系系的轉轉化等等.16在棱長為a的正方體OABC-O′A′B′C′中，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且且AE=BF.(1)求證證：A′F⊥C′E；(2)當三三棱錐B′-BEF的體積取得得最大值時，求二二面角B′-EF-B的大小(結結果用反三角函數(shù)數(shù)表示).17解：(1)證明明：如圖，，以O為原點建立空間直角角坐標系.設AE=BF=x，則A′(a，0，a)，F(xiàn)(a-x，a，0)，C′(0，a，a)，E(a，x，0)，所所以=(-x，a，-a)，=(a，x-a，-a).因為=-xa+a(x-a)+a2=0，所以A′F⊥C′E.18(2)記BE=y，則x+y=a.故三棱錐錐B′-BEF的體積為為當且僅當當x=y=時，等號號成立.因此，三三棱錐B′-BEF的體積取取得最大大值時，BE=BF=.過B作BD⊥EF交EF于D，連結B′D，則B′D⊥EF.所以∠B′DB是二面角角B′-EF-B的平面角角.19在Rt△BEF中，因為為BE=BF=，BD是斜邊上上的高，，所以BD=.在Rt△B′DB中，故二面角角B′-EF-B的大小為為arctan201.二面角的的大小是是通過其其平面角角來度量量的.而二面角角的平面面角需具具有以下下三個特特點：①①頂點在在棱上；；②兩邊邊分別在在兩個面面內；③③兩邊與與棱都垂垂直.2.作二面角角的平面面角主要要有如下下三種作作法:(1)特征法：：直接在在二面角角的棱上上取一點點(特殊點)，分別在在兩個半半平面中中作棱的的垂線，，得出平平面角.用定義法法時，要要認真觀觀察圖形形的特性性.21(2)三垂線法法：已知知二面角角其中一一個面內內一點到到另一個個面的垂垂線，用用三垂線線定理或或其逆定定理作出出平面角角.(3)垂面法：：已知二二面角內內一點到到兩個面面的垂線線，過兩兩垂線作作平面與與兩個半半平面的的交線所所成的角角即為平平面角.由此可知知，二面面角的平平面角所所在的平平面與棱棱垂直.223.求二面角角的大小小有幾何何法和向向量法兩兩種