勾股定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

勾股定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1.勾股定理

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.練習(xí)：1.如圖所示，用硬紙板做成的四個(gè)全等的直角三角形（兩直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c）和一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形。（1）畫(huà)出拼成的圖形的示意圖；（2）利用該圖形證明勾股定理。cabcabcabcccccab練習(xí)：拼圖證明法一：cccc正方形的面積：cabcabcabcababbaabba1個(gè)三角形的面積：4個(gè)三角形的面積：大正方形的面積：練習(xí)：拼圖證明法二：cccc正方形的面積：cabcabcabcab1個(gè)三角形的面積：4個(gè)三角形的面積：小正方形的面積：練習(xí)：2.把兩個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的圖形，那么圖中三角形面積之和與四邊形ABCD面積之間的關(guān)系用式子可表示為_(kāi)_________________________,整理后即為_(kāi)________________.ABCDEaabbcc1.勾股定理

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.勾股定理的主要應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊;在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分別是∠A,∠B,∠C的對(duì)邊已知a,b，求c已知a,c，求b已知b,c，求a練習(xí)：1.在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c.（1）當(dāng)a=3,b=4時(shí)，c=____________；（2）當(dāng)AB=10,BC=8時(shí)，AC=____________.2.如圖，直角三角形中未知邊x=______,y=______.x1582425y561771.勾股定理

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.勾股定理的主要應(yīng)用：（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊;練習(xí)：1.若一個(gè)直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)是7cm，另一條直角邊比斜邊短1cm，則斜邊的長(zhǎng)是_______cm.2.直角三角形的斜邊比一直角邊長(zhǎng)2cm，另一直角邊長(zhǎng)為6cm，則它的斜邊長(zhǎng)為（）3.已知直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊長(zhǎng)是cm，則另一條直角邊的長(zhǎng)是（）A.4cmB.cmC.6cmD.cm25DC1.勾股定理

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.勾股定理的主要應(yīng)用：（3）利用勾股定理可以證明線(xiàn)段平方關(guān)系的問(wèn)題.練習(xí)：1.如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各邊為邊在△ABC外作三個(gè)正方形，S1、S2、S3分別表示這三個(gè)正方形的面積，S1=6，S3=25，則S2=________.S3S2S1ABC19練習(xí)：2.如圖，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)B，點(diǎn)A、C到直線(xiàn)l的距離分別是1、2，則正方形的邊長(zhǎng)是______．練習(xí)：3.在直線(xiàn)上依次擺著7個(gè)正方形(如圖)，已知傾斜放置的3個(gè)正方形的面積分別為1，2，3，水平放置的4個(gè)正方形的面積是S1，S2，S3，S4，則S1＋S2＋S3＋S4＝______．4ABCDE1.勾股定理

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.勾股定理的主要應(yīng)用：（4）求作長(zhǎng)度為的線(xiàn)段.練習(xí)：1.在數(shù)軸上畫(huà)出表示及的點(diǎn)x01-1-2-3-4-5ABC1練習(xí)：1.在數(shù)軸上畫(huà)出表示及的點(diǎn)A01234-1xBC22.勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意：（1）首先確定最長(zhǎng)邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為c；（2）驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2＝a2+b2，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形練習(xí)：1.已知△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足：(a+c)(a-c)=b2,則（）邊所對(duì)的角是直角邊所對(duì)的角是直角邊所對(duì)的角是直角D.△ABC不是直角三角形A練習(xí)：2.已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿(mǎn)足關(guān)系式：,則△ABC一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.鈍角三角形3.若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為a，b，且a，b滿(mǎn)足，它的第三邊長(zhǎng)為5，則這個(gè)三角形是_________三角形（按角分類(lèi)填寫(xiě)）C直角3.原命題與逆命題互逆命題:兩個(gè)命題中,如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論,而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的題設(shè),那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)叫做原命題,那么另一個(gè)叫做它的逆命題.互逆定理:如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題,那么它也是一個(gè)定理,這兩個(gè)定理叫做互逆定理,其中一個(gè)叫做另一個(gè)的逆定理.練習(xí)：1.下列說(shuō)法，正確的是（）A.真命題的逆命題是真命題B.原命題是假命題，它的逆命題也是假命題C.定理一定有逆定理D.命題一定有逆命題D練習(xí)：2.下列定理，有逆定理的是（）A.對(duì)頂角相等B.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等C.兩個(gè)全等三角形的面積相等D.平面內(nèi)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等D練習(xí)：3.“如果x=3，那么”的逆命題是_______________________________，該逆命題是______命題（填“真”或“假”）；“如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么它們的和為零”的逆命題是_____________________________________________________，該逆命題是_______命題（填“真”或“假”）如果那么x=3假如果兩個(gè)數(shù)的和為零，那么這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)真練習(xí)：4.命題“如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等”是______命題（填“真”或“假”），它的逆命題是_______________________________________________________該逆命題是________命題（填“真”或“假”）假如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等真4.

勾股數(shù)

（1）能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱(chēng)為勾股數(shù)，即a2+b2=c2中a，b，c，為正整數(shù)時(shí)，稱(chēng)a，b，c為一組勾股數(shù).（2）記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如①3，4，5；②6，8，10；③5，12，13；④7，24，25；⑤8，15，17；⑥9,40,41等（3）如果(a，b，c)是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，若以at，bt，ct為三角形的三邊長(zhǎng)，則此三角形必為直角三角形.練習(xí)：1.若正整數(shù)a,b,c是一組勾股數(shù)，則下列各組數(shù)中，一定是勾股數(shù)的是（）2,b2,c2

C.2a,2b,2cD.a-1,b-1,c-12.下列幾組數(shù)：其中是勾股數(shù)的有_________（只填序號(hào)）C②5.分類(lèi)討論思想25或7解：情形一：當(dāng)斜邊為x時(shí)，則兩直角邊分別為3，4.根據(jù)勾股定理解：情形二：當(dāng)斜邊為4時(shí)，則兩直角邊分別為x，3.根據(jù)勾股定理5.分類(lèi)討論思想ABCD10178解：情形一：5.分類(lèi)討論思想解：情形二：DCBA810175.分類(lèi)討論思想分類(lèi)思想:1.直角三角形中，已知兩條邊,不知道是直角邊還是斜邊時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論。2.當(dāng)已知條件中沒(méi)有給出圖形時(shí)，應(yīng)認(rèn)真讀句、畫(huà)圖，避免遺漏另一種情況。6.方程思想例１.小強(qiáng)想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他算出來(lái)嗎？ABC5米(X+1)米x米6.方程思想例2.有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面一尺。如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？1尺10尺5尺x尺(x+1)尺解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為（x+1）尺?！喔鶕?jù)勾股定理得：(x+1)2-x2=52解得：x=12∴x+1=13∴水深為12尺，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為13尺。6.方程思想方程思想：直角三角形中，當(dāng)無(wú)法已知兩邊求第三邊時(shí)，應(yīng)采用間接求法：靈活地尋找題中的等量關(guān)系，利用勾股定理列方程。7.折疊問(wèn)題例1.如圖，小潁同學(xué)折疊一個(gè)直角三角形的紙片，使A與B重合，折痕為DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的長(zhǎng)嗎？ABCDE10cm6cmx(10-x)(10-x)解：設(shè)CE的長(zhǎng)為xcm.∴AE=AC-CE=10-x∴BE=10-x根據(jù)勾股定理得：(10-x)2-x2=62解得：x=3.2cm∴CE的長(zhǎng)為3.2cm.8.展開(kāi)思想例1.小明家住在18層的高樓，一天，他與媽媽去買(mǎi)竹竿。買(mǎi)最長(zhǎng)的吧！快點(diǎn)回家，好用它涼衣服。糟糕，太長(zhǎng)了，放不進(jìn)去。

如果電梯的長(zhǎng)、寬、高分別是米、米、米，那么，能放入電梯內(nèi)的竹竿的最大長(zhǎng)度大約是多少米？8.展開(kāi)思想1.5米1.5米2.2米2.2米ABCBC2=CD2+BD222AB2=AC2+BC22≈9∴AB≈3米ABCD1.5米1.5米DBC8.展開(kāi)思想2BC例2.如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是多少？B20322323A203A展開(kāi)圖：8.展開(kāi)思想例3.如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15cm，寬為10cm，高為20cm，點(diǎn)B離點(diǎn)C5cm,一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是多少？