數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽培訓(xùn)

數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽培訓(xùn)第一部分?jǐn)?shù)學(xué)建模概況

唐代大詩(shī)人王之渙有一首著名詩(shī)篇：白日依山盡

黃河入海流

欲窮千里目

更上一層樓

按詩(shī)人的想象，要看到千里之外的景物，要站在多高的“一層樓”上呢?

以地球中心為原點(diǎn)，向上方向?yàn)榭v軸建立直角坐標(biāo)系．從地球表面算起，設(shè)應(yīng)站高度為x，那么根據(jù)題設(shè)，該點(diǎn)到地球表面的切線長(zhǎng)應(yīng)為500km．

則依據(jù)題意，并利用勾股定理有解得解決問(wèn)題的思路、方法、步驟：做出了合理的簡(jiǎn)化：1.人眼能看很遠(yuǎn)；2.樓房可以修的很高；3.地球近似為球體。進(jìn)行了抽象：用數(shù)學(xué)符號(hào)表示相關(guān)變量應(yīng)用數(shù)學(xué)物理知識(shí)、方法建立了方程（模型）：利用數(shù)學(xué)工具求解（方程）回答現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界數(shù)學(xué)模型（MathematicalModel）一般地說(shuō)，數(shù)學(xué)模型可以描述為，對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用一些適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling）

應(yīng)用知識(shí)從實(shí)際問(wèn)題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。1.

數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模強(qiáng)調(diào)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方法、數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去近似地刻畫實(shí)際問(wèn)題，并加以解決。樹上有十只鳥，開槍打死一只，還剩幾只，這樣的問(wèn)題就是一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題。正確答案應(yīng)該是9只，是吧？這樣的題照樣是數(shù)學(xué)建模題，不過(guò)答案就不重要了，重要的是過(guò)程。真正的數(shù)學(xué)建模高手應(yīng)該這樣回答這道題。體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的案例：“樹上有十只鳥，開槍打死一只，還剩幾只？”“是無(wú)聲手槍或別的無(wú)聲的槍嗎？”“不是?！薄皹屄曈卸啻?？”“80－100分貝?！薄澳蔷褪钦f(shuō)會(huì)震的耳朵疼？”“是?！薄霸谶@個(gè)城市里打鳥犯不犯法？”“不犯。”“您確定那只鳥真的被打死啦？”“確定?！薄癘K，樹上的鳥里有沒有聾子？”“沒有?！薄坝袥]有關(guān)在籠子里的？”“沒有?！薄斑吷线€有沒有其他的樹，樹上還有沒有其他鳥？”“沒有。”“有沒有殘疾的或餓的飛不動(dòng)的鳥？”“沒有?！薄按蝤B的人眼有沒有花？保證是十只？”“沒有花，就十只。”“有沒有傻的不怕死的？”“都怕死?！薄皶?huì)不會(huì)一槍打死兩只？”“不會(huì)。”“所有的鳥都可以自由活動(dòng)嗎？”“完全可以?！薄叭绻幕卮饹]有騙人，打死的鳥要是掛在樹上沒掉下來(lái)，那么就剩一只，如果掉下來(lái)，就一只不剩?！辈皇情_玩笑，這就是數(shù)學(xué)建模。從不同的角度思考一個(gè)問(wèn)題，想盡所有的可能，正所謂智者千慮，絕無(wú)一失！

建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟并沒有一定的模式，但一個(gè)理想的模型應(yīng)能反映系統(tǒng)的全部重要特征：

可靠性和使用性

建模的一般方法：◆機(jī)理分析◆測(cè)試分析方法

機(jī)理分析：根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象特性的認(rèn)識(shí)，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律，所建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義。

2.

數(shù)學(xué)建模的一般方法和步驟

測(cè)試分析方法：

將研究對(duì)象視為一個(gè)“黑箱”系統(tǒng)，內(nèi)部機(jī)理無(wú)法直接尋求，通過(guò)測(cè)量系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，并以此為基礎(chǔ)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法，按照事先確定的準(zhǔn)則在某一類模型中選出一個(gè)數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。測(cè)試分析方法也叫做系統(tǒng)辯識(shí)。將這兩種方法結(jié)合起來(lái)使用，即用機(jī)理分析方法建立模型的結(jié)構(gòu)，用系統(tǒng)測(cè)試方法來(lái)確定模型的參數(shù)，也是常用的建模方法。

在實(shí)際過(guò)程中用那一種方法建模主要是根據(jù)我們對(duì)研究對(duì)象的了解程度和建模目的來(lái)決定。機(jī)理分析法建模的具體步驟大致可見右圖。符合實(shí)際不符合實(shí)際交付使用，從而可產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)、社會(huì)效益實(shí)際問(wèn)題抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)確定變量、參數(shù)建立數(shù)學(xué)模型并用數(shù)學(xué)方法、計(jì)算機(jī)求解用實(shí)際問(wèn)題的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)等來(lái)檢驗(yàn)該數(shù)學(xué)模型建模過(guò)程示意圖2.

數(shù)學(xué)建模步驟3.

數(shù)學(xué)模型及其分類模型

數(shù)學(xué)模型是模型的一種形式，屬理想模型（又稱為抽象模型），是將現(xiàn)實(shí)事物設(shè)定在一種理想狀態(tài)，依據(jù)對(duì)事物所關(guān)心的目標(biāo)，找出相關(guān)的主要因素，分析其內(nèi)在聯(lián)系，將目標(biāo)及全部相關(guān)因素符號(hào)化、數(shù)量化；用數(shù)學(xué)的方法把這種關(guān)系表述出來(lái)（圖形、圖像、數(shù)表、解析式），這種數(shù)學(xué)表述形式就是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型的分類：

◆按研究方法和對(duì)象的數(shù)學(xué)特征分：初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、概率模型、穩(wěn)定性模型、擴(kuò)散模型等?！舭囱芯繉?duì)象的實(shí)際領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分：人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經(jīng)濟(jì)模型、社會(huì)模型等。3.

數(shù)學(xué)模型及其分類

競(jìng)賽的規(guī)模越來(lái)越大數(shù)量逐年增大覆蓋面越來(lái)越大競(jìng)賽的水平不斷地提高賽題水平的提高學(xué)生參賽水平的提高

越來(lái)越受到各個(gè)高校和學(xué)生的重視

一次參賽，終身受益衡量一個(gè)大學(xué)培養(yǎng)質(zhì)量的重要指標(biāo)

賽題越來(lái)越復(fù)雜（綜合性、實(shí)用性、即時(shí)性）海量數(shù)據(jù)處理全國(guó)高校規(guī)模最大的學(xué)生課外科技活動(dòng)！4.

CUMCM概況與趨勢(shì)歷年全國(guó)數(shù)學(xué)建模賽題及常用方法剖析賽題

解法93A非線性交調(diào)的頻率設(shè)計(jì)擬合、規(guī)劃93B足球隊(duì)排名

矩陣論、圖論、層次分析、整數(shù)規(guī)劃94A逢山開路

圖論、插值、動(dòng)態(tài)規(guī)劃94B鎖具裝箱問(wèn)題

圖論、組合數(shù)學(xué)95A飛行管理問(wèn)題非線性規(guī)劃、線性規(guī)劃95B天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度非線性規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、層次分析法、PETRI方法、圖論方法、排隊(duì)論方法

96A最優(yōu)捕魚策略

微分方程、優(yōu)化96B節(jié)水洗衣機(jī)非線性規(guī)劃97A零件的參數(shù)設(shè)計(jì)田口方法、非線性規(guī)劃97B截?cái)嗲懈畹淖顑?yōu)排列動(dòng)態(tài)規(guī)劃、圖論模型、隨機(jī)模擬98A一類投資組合問(wèn)題多目標(biāo)優(yōu)化、非線性規(guī)劃、模糊線性規(guī)劃

98B災(zāi)情巡視的最佳路線圖論、組合優(yōu)化、線性規(guī)劃99A自動(dòng)化車床管理

隨機(jī)優(yōu)化、計(jì)算機(jī)模擬99B鉆井布局0-1規(guī)劃、圖論、非線性規(guī)劃

00ADNA序列分類

模式識(shí)別、歐氏距離、馬氏距離分類法、Fischer判別模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法00B鋼管訂購(gòu)和運(yùn)輸

組合優(yōu)化、運(yùn)輸問(wèn)題01A血管三維重建曲線擬合、曲面重建01B工交車調(diào)度問(wèn)題多目標(biāo)規(guī)劃02A車燈線光源的優(yōu)化

非線性規(guī)劃02B彩票問(wèn)題單目標(biāo)決策03ASARS的傳播

微分方程、差分方程03B露天礦生產(chǎn)的車輛安排整數(shù)規(guī)劃、運(yùn)輸問(wèn)題04A奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)統(tǒng)計(jì)分析、數(shù)據(jù)處理、優(yōu)化04B電力市場(chǎng)的輸電阻塞管理數(shù)據(jù)擬合、優(yōu)化05A長(zhǎng)江水質(zhì)整體評(píng)價(jià)模糊數(shù)學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，曲線擬合05BDVD在線租賃整數(shù)規(guī)劃06A出版社資源優(yōu)化配置統(tǒng)計(jì)分析（海量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、篩選）、數(shù)據(jù)處理、優(yōu)化06B艾滋病治療效果評(píng)價(jià)與預(yù)測(cè)聚類分析，模糊數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)，數(shù)據(jù)處理(1).從問(wèn)題的實(shí)際意義分析

從問(wèn)題的實(shí)際意義方面分析,大體上可以分為工業(yè)、農(nóng)業(yè)、工程設(shè)計(jì)、交通運(yùn)輸、經(jīng)濟(jì)管理、生物醫(yī)學(xué)和社會(huì)事業(yè)等七個(gè)大類。

工業(yè)類：電子通信、機(jī)械加工與制造、機(jī)械設(shè)計(jì)與控制等行業(yè),共有8個(gè)題，約占31%。農(nóng)業(yè)類：１個(gè)題，占4%。工程設(shè)計(jì)類:

3個(gè)題，占11%。交通運(yùn)輸類：3個(gè)題，占11%經(jīng)濟(jì)管理類：3個(gè)題，占11%生物醫(yī)學(xué)類：4個(gè)題，占15%社會(huì)事業(yè)類:4個(gè)題，占15%(2).從所用方法上分析最優(yōu)化方法：一般函數(shù)優(yōu)化—用微積分的方法解決；規(guī)劃問(wèn)題—線性規(guī)劃,非線性規(guī)劃,多目標(biāo)規(guī)劃,動(dòng)態(tài)規(guī)劃,整數(shù)規(guī)劃,組合優(yōu)化(離散優(yōu)化))等（使用軟件求解）；數(shù)據(jù)處理方法：曲線擬合,數(shù)據(jù)回歸分析,插值，基于數(shù)據(jù)庫(kù)（Acess,Excel）的海量數(shù)據(jù)的篩選等；概率統(tǒng)計(jì)方法：期望分析,排隊(duì)論,回歸分析,模式識(shí)別,判別分析；圖論方法：最短路問(wèn)題,最大流問(wèn)題,最小生成樹；微分方程方法：穩(wěn)定性分析,預(yù)測(cè)；模糊數(shù)學(xué)：模糊聚類分析,模糊層次分析,模糊規(guī)劃計(jì)算機(jī)技術(shù)：圖像處理,隨機(jī)模擬,各種算法實(shí)現(xiàn),神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法。離散方法：層次分析法,決策分析,對(duì)策論；

從各年賽題所用方法看，以下幾種方法出現(xiàn)頻率最高：最優(yōu)化方法約占總數(shù)的80%大部分題目都可以用兩種以上的方法來(lái)解決。數(shù)據(jù)處理方法概率統(tǒng)計(jì)方法約占總數(shù)的50%(3).從問(wèn)題的題型上分析1)“即時(shí)性”較強(qiáng)的問(wèn)題約占35%:1993B：足球隊(duì)排名問(wèn)題；1998B：災(zāi)情巡視路線問(wèn)題；2000A：DNA序列分類問(wèn)題；2000B：鋼管訂購(gòu)與運(yùn)輸問(wèn)題；2001B：公交車的調(diào)度問(wèn)題；2002B：彩票中的數(shù)學(xué)問(wèn)題；2003A：SARS的傳播問(wèn)題；2004A：奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)問(wèn)題2004B：電力市場(chǎng)的輸電阻塞管理問(wèn)題2005A:長(zhǎng)江水質(zhì)評(píng)價(jià)2)理論性較強(qiáng)的問(wèn)題約占46%:94A,94B,95A,96A,97A,98B,99A,00B,01A,02A,03A,04B;3)實(shí)用性較強(qiáng)的問(wèn)題約占46%:93A,94B,95B,96B,98B,99B,00B,01A,01B,02B,03A,04B；06A,06B4)算法要求強(qiáng)的約占19%:95A,97B,99B,00A,00B;5)數(shù)據(jù)量較大的問(wèn)題約占31%:00A,00B,01A,01B,02B,03A,04A,04B，05B,06A,06B.

從近幾年的競(jìng)賽題目來(lái)看，題目的水平在不斷提高、難度在增加、實(shí)用性在增強(qiáng);特別是綜合性和開放性也在增強(qiáng)，這是一大潮流，從發(fā)展趨勢(shì)上來(lái)看，有逐步走向國(guó)際化的趨勢(shì)，同國(guó)際接軌是必然的；隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和工具軟件(Matlab,SAS,Lingo等)功能的增強(qiáng),數(shù)據(jù)信息量（海量）也在逐步地增大，這也是現(xiàn)代應(yīng)用的特點(diǎn)之一。第二部分專題+案例專題1：優(yōu)化模型與優(yōu)化工具無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題線性規(guī)劃問(wèn)題整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題非線性規(guī)劃問(wèn)題

Lingo9Matlab6.5一、優(yōu)化模型的一般形式

實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)化模型x~決策變量f(x)~目標(biāo)函數(shù)gi(x)0~約束條件多元函數(shù)條件極值決策變量個(gè)數(shù)n和約束條件個(gè)數(shù)m較大最優(yōu)解在可行域的邊界上取得數(shù)學(xué)規(guī)劃線性規(guī)劃非線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃重點(diǎn)在模型的建立和結(jié)果的分析有約束問(wèn)題和無(wú)約束問(wèn)題。靜態(tài)問(wèn)題和動(dòng)態(tài)問(wèn)題。線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃，二次規(guī)劃，多目標(biāo)規(guī)劃等。二、優(yōu)化模型的分類

線性規(guī)劃（LP）特點(diǎn)：

目標(biāo)函數(shù)和所有的約束條件都是決策變量的線性函數(shù)。5.根據(jù)變量具有確定值還是隨機(jī)值

確定規(guī)劃和隨機(jī)規(guī)劃。4.根據(jù)決策變量的允許值整數(shù)規(guī)劃（0-1規(guī)劃）和實(shí)數(shù)規(guī)劃。1.確定決策變量和目標(biāo)變量；2.確定目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式；3.尋找約束條件。三、建立優(yōu)化模型的一般步驟四、若干優(yōu)化模型案例

其中（3）、（4）、（5）的等式右邊可選用（1）或（2）的等式右邊。函數(shù)fminbnd的算法基于黃金分割法和二次插值法，它要求目標(biāo)函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，并可能只給出局部最優(yōu)解。常用格式如下：（1）x=fminbnd(fun,x1,x2)（2）x=fminbnd(fun,x1,x2,options)（3）[x,fval]=fminbnd（...）（4）[x,fval,exitflag]=fminbnd（...）（5）[x,fval,exitflag,output]=fminbnd（...）1無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題及Matlab求解描述退出條件:exitflag>0,表目標(biāo)函數(shù)收斂于解x處exitflag=0,表已達(dá)到函數(shù)評(píng)價(jià)或迭代的最大次數(shù)exitflag<0,表目標(biāo)函數(shù)不收斂

包含優(yōu)化結(jié)果信息的輸出結(jié)構(gòu).Iterations:迭代次數(shù)Algorithm:所采用的算法FuncCount:函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)

由優(yōu)化函數(shù)求得的值.若exitflag>0,則x為解;否則,x不是最終解,它只是迭代制止時(shí)優(yōu)化過(guò)程的值。優(yōu)化函數(shù)的輸出變量的含義：xexitflagoptions案例1對(duì)邊長(zhǎng)為3米的正方形鐵板，在四個(gè)角剪去相等的正方形以制成方形無(wú)蓋水槽，問(wèn)如何剪法使水槽的容積最大？解:先編寫M文件box.m如下:

functionf=box(x)f=-(3-2*x).^2*x;主程序?yàn)閎ox_main.m:

[x,fval]=fminbnd(‘box',0,1.5);xmax=xfmax=-fval運(yùn)算結(jié)果為:xmax=0.5000,fmax=2.0000.即剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為0.5米時(shí)水槽的容積最大,最大容積為2立方米。案例2

有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠在河的另一側(cè)的B處，B處距甲所在河岸的垂直距離為35公里，乙廠到河岸的垂足D與A相距50公里，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為30元和50元每公里，問(wèn)供水站C建在何處才能使水管費(fèi)用最??？xDCBA先建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。據(jù)題意和平面幾何知識(shí)知，只有點(diǎn)C在線段AD上某一適當(dāng)位置，才能能使費(fèi)用最省。設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)x公里，如右圖所示，則BD=35，AC=50-x，于是

又設(shè)總的水管費(fèi)用為f元，由題意得管道總費(fèi)用模型如下：解答：xDCBA求該函數(shù)的最小值。

先定義目標(biāo)函數(shù)plant.m：functionf=plant(x)f=30*(50-x)+50*sqrt(x^2+35^2);主程序?yàn)閜lant_main.m:fplot('plant',[0,50])[x,fval]=fminbnd('plant',0,50)輸出圖形見右圖，最優(yōu)解和最優(yōu)值為：fval=2900注：fplot表示繪制字符串fun指定的函數(shù)在[xmin,xmax]的圖形.2線性規(guī)劃模型

線性規(guī)劃(LP)研究的實(shí)際問(wèn)題多種多樣的，它在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)管理、優(yōu)化設(shè)計(jì)與控制等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。如資源分配問(wèn)題、生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題、物資運(yùn)輸問(wèn)題、合理下料問(wèn)題、庫(kù)存問(wèn)題、勞動(dòng)力安排問(wèn)題、最優(yōu)設(shè)計(jì)問(wèn)題等等。線性規(guī)劃模型的求解方法目前仍以單純形法為主要方法，該方法于1947年由美國(guó)數(shù)學(xué)家丹茨格（G.B.Dantzig）提出，經(jīng)過(guò)60多年的發(fā)展完善，已經(jīng)形成比較成熟的算法，同時(shí)配合計(jì)算機(jī)技術(shù)的廣泛應(yīng)用使得該方法得到空前的普及應(yīng)用。目前，大多數(shù)數(shù)學(xué)軟件都可以求解一般線性規(guī)劃模型，這一節(jié)主要采用Matlab和Lindo軟件。

每種蔬菜含有的營(yíng)養(yǎng)素成份是不同的，從醫(yī)學(xué)上知道每人每周對(duì)每種營(yíng)養(yǎng)成分的最低需求量以及各種蔬菜所含各種營(yíng)養(yǎng)成分的數(shù)據(jù)。某醫(yī)院營(yíng)養(yǎng)室在制定下一周菜單時(shí)，需要確定表1中所列8種蔬菜的供應(yīng)量，以便使費(fèi)用最小而又能滿足營(yíng)養(yǎng)素等其它方面的要求。規(guī)定小白菜、豆芽的供應(yīng)一周內(nèi)不多于20千克，胡蘿卜供應(yīng)一周內(nèi)不低于10千克，不高于35千克，其它蔬菜的供應(yīng)在一周內(nèi)不多于30千克，每周共需供應(yīng)150千克蔬菜，為了使費(fèi)用最小又滿足營(yíng)養(yǎng)成分等其它方面的要求，問(wèn)在下一周內(nèi)應(yīng)當(dāng)如何合理的安排食譜？案例3食譜問(wèn)題表1各種蔬菜的營(yíng)養(yǎng)成分表成份蔬菜熱量（卡）水分（克）維生素A（IU）維生素C（毫克）鉀（毫克）纖維（克）市場(chǎng)單價(jià)（元/千克）小白菜1395.778140.02401.82菠菜2293.021069.04602.44胡蘿卜3889.751004.02902.65小黃瓜1795.2934.0900.93豆芽3390.60183.61901.76玉米11174.286.02404.67香菇4088.500.22803.912蕃茄2692.927821.02101.26人體最低需求量/周12000（卡）17500（克）24500（IU）420（毫克）2100（毫克）175（克）備注：此表為100克蔬菜所含的營(yíng)養(yǎng)成分，IU表示國(guó)際單位

。決策變量：設(shè)xi(i=1,…,8)分別表示在下一周內(nèi)應(yīng)當(dāng)供應(yīng)的小白菜、菠菜、胡蘿卜、小黃瓜、豆芽、玉米、香菇及蕃茄的量（千克）。費(fèi)用的目標(biāo)函數(shù)為：根據(jù)人體每周對(duì)各種營(yíng)養(yǎng)成分的需求量，可以得到如下需求約束：模型建立需要注意的是，表中數(shù)據(jù)是每100克食物中所含營(yíng)養(yǎng)成分的的量，而變量是以千克為單位，所以數(shù)據(jù)要作適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化處理，這里很明顯就是各式兩邊除以10即可。另外對(duì)食物需求的上限和下限有如下約束：食物總供應(yīng)量限制：小白菜、豆芽的供應(yīng)一周內(nèi)不多于20千克，胡蘿卜不低于10千克，不高于35千克，其它蔬菜的不多于30千克，每周共需供應(yīng)150千克蔬菜模型建立食譜搭配問(wèn)題的線性規(guī)劃模型模型建立min2x1+4x2+5x3+3x4+6x5+7x6+12x7+6x8st13x1+22x2+38x3+17x4+33x5+111x6+40x7+26x8>120095.7x1+93x2+89.7x3+95.2x4+90.6x5+74.2x6+88.5x7+92.9x8>1750781x1+2106x2+5100x3+93x4+8x6+278x8>245040x1+9x2+4x3+4x4+183.6x5+6x6+0.2x7+21x8>42240x1+460x2+290x3+90x4+190x5+240x6+280x7+210x8>210x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=150x1<20x5<20x3>10x3<35x2<30x4<30x6<30x7<30x8<30end模型求解

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP22OBJECTIVEFUNCTIONVALUEVARIABLEVALUEREDUCEDCOST運(yùn)行后得到如下結(jié)果：可見最佳的食物搭配方案為一周安排20千克小白菜，30千克菠菜，35千克胡蘿卜，30千克小黃瓜，5千克豆芽和30千克蕃茄，方案最小費(fèi)用為635元。小白菜菠菜胡蘿卜小黃瓜豆芽玉米香菇蕃茄結(jié)果分析ROWSLACKORSURPLUSDUALRICESNO.ITERATIONS=22結(jié)果分析x1<20x5<20x3>10x3<35x2<30x4<30x6<30x7<30x8<30小白菜豆芽胡蘿卜胡蘿卜小黃瓜菠菜玉米香菇蕃茄可見最佳的食物搭配方案為一周安排20千克小白菜，30千克菠菜，35千克胡蘿卜，30千克小黃瓜，5千克豆芽和30千克蕃茄，方案最小費(fèi)用為635元。minz=cX

1、模型：命令：x=linprog（c，A，b）

2、模型：minz=cX

命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）注意：若沒有不等式：存在，則令A(yù)=[]，b=[].MATLAB優(yōu)化工具箱解數(shù)學(xué)規(guī)劃（一）線性規(guī)劃3、模型：minz=cX

VLB≤X≤VUB命令：[1]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB）

[2]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB,X0）

注意：[1]若沒有等式約束:,則令A(yù)eq=[],beq=[].[2]其中X0表示初始點(diǎn)4、命令：[x,fval]=linprog(…)返回最優(yōu)解ｘ及ｘ處的目標(biāo)函數(shù)值fval。clearf=[245367126];A=-[13223817331114026;95.79389.795.290.674.288.592.9;7812106510093080278;40944183.660.221;24046029090190240280210;1.82.42.60.91.74.63.91.2];b=-[1200175024504221017.5]';aeq=[11111111];beq=[150];vlb=[001000000]';vub=[2030353020303030]';[x,fval,exitflag,output]=linprog(f,A,b,aeq,beq,vlb,vub)Matlab求解Optimizationterminatedsuccessfully.x=fval=exitflag=1output=iterations:19cgiterations:0algorithm:'lipsol'X120.000000X230.000000X335.000000X430.000000X55.000000X60.000000X70.000000X830.000000Lindo6.1求解結(jié)果豆芽番茄對(duì)比用Matlab和Lindo求解的結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩個(gè)最優(yōu)解不一樣，主要是豆芽和蕃茄的量不一樣，但最優(yōu)值是一致的。導(dǎo)致這種結(jié)果的原因是不同軟件使用算法的細(xì)節(jié)上有差異（初值，基變量選擇），這從兩個(gè)軟件求解過(guò)程迭代的次數(shù)不同可見，同時(shí)由于線性規(guī)劃問(wèn)題可能存在多個(gè)最優(yōu)解，而一般情況下軟件只能給出一個(gè)解，這就使得不同軟件求出的最優(yōu)解可能具有算法上或精度上的差異。兩種軟件對(duì)比兩種軟件求解線性規(guī)劃問(wèn)題在格式上也有很大差別，Lindo語(yǔ)句在形式上和模型具有較大的相似性，使得輸入比較直觀，但如果約束條件多，變量多，可能程序會(huì)很羅嗦冗長(zhǎng)，而Matlab所有數(shù)據(jù)需用矩陣形式輸入，形式比較簡(jiǎn)單緊湊，也易于修改，但開始需要對(duì)模型進(jìn)行變形整理，化成標(biāo)準(zhǔn)形式。靈敏度分析、整數(shù)規(guī)劃求解等等。3整數(shù)規(guī)劃模型實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常遇到貨物是不可分割的，如人，動(dòng)物，整體裝配的設(shè)備等，這時(shí)候除了題目本身的約束外，還要加上決策變量的整數(shù)約束，這就是這節(jié)要介紹的整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題（IntegerPrograming）。整數(shù)規(guī)劃又可分為線性整數(shù)規(guī)劃和非線性整數(shù)規(guī)劃，這一節(jié)只介紹整線性規(guī)劃。整數(shù)線性規(guī)劃中如果所有決策變量都是整數(shù)，則稱為純整數(shù)規(guī)劃；若只有部分變量為整數(shù)，則稱為混合整數(shù)規(guī)劃；若決策變量只能取0或1，則稱為0-1規(guī)劃。求解整數(shù)規(guī)劃的算法主要是分枝定界法和割平面法，這兩種方法都是以求解線性規(guī)劃的方法為基礎(chǔ)。而0-1規(guī)劃的求解使用隱枚舉法，它不需要用單純形法先求解線性規(guī)劃，而是依次檢查變量等于0或1的某種組合，以便使目前最好的可行解不斷加以改進(jìn)，最終獲得最優(yōu)解。

整數(shù)規(guī)劃的求解主要使用Lindo和Lingo軟件。案例4鐵路平板車裝貨問(wèn)題有七種規(guī)格的包裝箱要裝到兩輛鐵路平板車上去。包裝箱的寬和高是一樣的，但厚度(t，以厘米計(jì))及重量(w，以公斤計(jì))是不同的。下表給出了每種包裝箱的厚度、重量以及數(shù)量。下圖中每輛平板車有10.2米長(zhǎng)的地方可用來(lái)裝包裝箱（象面包片那樣)，載重為40噸。由于當(dāng)?shù)刎涍\(yùn)的限制，對(duì)C5,C6,C7類的包裝箱的總數(shù)有一定的限制：這類箱子所占的空間(厚度)不能超過(guò)302.7厘米。試把包裝箱裝到平板車上去使得浪費(fèi)的空間最小。問(wèn)題描述C1C2C3C4C5C6C7t厘米48.752.061.372.048.752.064.0W公斤200030001000500400020001000件數(shù)8796648七種規(guī)格的包裝箱參數(shù)所有包裝箱的總重量為89噸，大于兩輛平板車的總載重量80，所以只能選擇性的裝載貨物.

浪費(fèi)空間是指平板車可裝車長(zhǎng)度與每輛車所有包裝箱厚度總和的差值，可以等效的把浪費(fèi)空間最小轉(zhuǎn)化成兩輛車裝車總量最大.包裝箱的重量和厚度受到平板車裝載條件的限制以及貨物總量的限制.

問(wèn)題分析貨物是不可拆分的，所以這是一個(gè)典型的整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題.兩輛平板車之間存在相互的制約關(guān)系，在考慮一輛平板車時(shí)，必須同時(shí)考慮第二輛平板車.問(wèn)題分析對(duì)題目中“由于當(dāng)?shù)刎涍\(yùn)的限制，對(duì)C5,C6,C7類的包裝箱的總數(shù)有一定的限制：這類箱子所占的空間(厚度)不能超過(guò)厘米。”可以理解成每輛車這三類貨物的裝車總數(shù)不超過(guò)厘米，也可以是兩輛車裝載三類貨物的總量不超過(guò)厘米.

模型假設(shè)1.各個(gè)貨物之間排列時(shí)靠在一起,包裝箱之間的空隙不計(jì)；2.裝載的過(guò)程中不考慮貨物在車上的排列次序及各個(gè)貨物的重量分布，排除因局部過(guò)重而造成平板車失衡的情況；3.鐵路平板車只能放置一列包裝箱；4.兩輛平板車裝載C5,C6,C7三類包裝箱的總厚度不超過(guò)302.7厘米。

模型建立決策變量設(shè)xij表示第i輛平板車裝載Cj包裝箱的件數(shù),i=1,2;j=1,2,…,7.

分別表示包裝箱的厚度、單個(gè)重量和可供裝車的件數(shù).參數(shù)變量裝車總厚度記為T，則目標(biāo)函數(shù)可表示為：

目標(biāo)函數(shù)約束條件各種包裝箱可供裝車數(shù)量的限制：平板車載重限制：厚度限制：模型建立約束條件兩輛車對(duì)包裝箱C5,C6,C7的特殊限制：所有決策變量都是整數(shù)變量:

模型求解該整數(shù)規(guī)劃模型可以利用Lindo和Lingo求解。求解之前注意到20.4-3.027=17.373m，而前4類貨物的總長(zhǎng)度恰為17.373m。因此在滿足約束條件的情況下，應(yīng)盡量將C1~C4四類箱子裝完，以保證兩輛車?yán)速M(fèi)的空間最小。所以在求解時(shí)將前四類箱子的數(shù)量約束改成等式。stx11+x21=8x12+x22=7x13+x23=9x14+x24=6x15+x25<6x16+x26<4x17+x27<82x11+3x12+x13+0.5x14+4x15+2x16+x17<402x21+3x22+x23+0.5x24+4x25+2x26+x27<400.487x11+0.52x12+0.613x13+0.72x14+0.487x15+0.52x16+0.64x17<10.2endgin14在Lindo6.1中輸入程序代碼：包裝箱可供裝車數(shù)量的限制平板車載重限制厚度限制特殊限制整數(shù)即最優(yōu)的裝車方案為：x11=0,x12=7,x13=9,x14=0,x15=0,x16=2,x17=0;x21=8,x22=0,x23=0,x24=6,x25=3,x26=1,x27=0。最優(yōu)值為20.394，浪費(fèi)的空間僅有0.6cm。此時(shí)兩輛車裝車總長(zhǎng)度均為10.197m，裝車總重分別為34t和33t，裝載C5，C6，C7三類貨物總長(zhǎng)度分別為1.04m和1.981m。OBJECTIVEFUNCTIONVALUEVARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110.000000X12X13X140.000000X150.000000X162.000000X170.000000計(jì)算結(jié)果：ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICESNO.ITERATIONS=155747計(jì)算結(jié)果：結(jié)果分析注意：題目中C1與C5，C2與C6厚度相同，導(dǎo)致可能存在多個(gè)解。通過(guò)不斷求解這種實(shí)驗(yàn)方式來(lái)體驗(yàn)多個(gè)解的存在性！OBJECTIVEFUNCTIONVALUEVARIABLEVALUEREDUCEDCOSTNO.ITERATIONS=300985繼續(xù)求解會(huì)得到不同的最優(yōu)解，而且呈現(xiàn)一定的周期性重復(fù)，但最優(yōu)值都是20.394。其原因就在于模型有多個(gè)解，但Lindo一次只能給出一個(gè)最優(yōu)解。雖然每次求解可能有不同解，但并不是說(shuō)一直進(jìn)行下去就會(huì)求出所有解?？梢岳米顑?yōu)解已知(20.394)，通過(guò)計(jì)算機(jī)編程枚舉得出如下所有可能解：第一輛第二輛x11x12x13x14x15x16x17x21x22x23x24x25x26x27079002080063100564020823231006900308106300076400080323300664010813232014433307353000154332072530101643310715302024432306353100250533062910002543220625311026432106153120274320060531303091320570501031913105605020329130055050303443130535320035052305291100354312052532103605220519111036431105153220370521050911203743100505323040533304743000409122047051104191210460512041533204643010425331045430204291200450513043533004443030該模型的計(jì)算量較大，每次迭代次數(shù)達(dá)到數(shù)十萬(wàn)次，尋找改進(jìn)的、簡(jiǎn)化的計(jì)算方法和技巧是值得我們進(jìn)一步思考的。如果將兩輛車裝載后三類貨物總厚度不超過(guò)改成每輛車裝載不超過(guò)此值，則情況如何？結(jié)果分析這30組解中，所有的裝車方案都是值得推薦的嗎?現(xiàn)實(shí)中還應(yīng)考慮兩輛平板車的載重量、占用空間差別均不應(yīng)太大。需要進(jìn)行結(jié)果篩選。該問(wèn)題和自來(lái)水輸送以及飛機(jī)裝貨問(wèn)題一樣屬于運(yùn)輸問(wèn)題，只不過(guò)是運(yùn)輸問(wèn)題的一種變形，運(yùn)籌學(xué)中通常將這類問(wèn)題稱為背包問(wèn)題，由于有長(zhǎng)度、重量?jī)身?xiàng)約束，所以稱為二維背包問(wèn)題，可以利用數(shù)學(xué)規(guī)劃或動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解。小結(jié)每組解中第7種貨物都沒有選！這是88年一道MCM競(jìng)賽題，在當(dāng)時(shí)軟件還不發(fā)達(dá)時(shí)是有較大難度的!生產(chǎn)、生活物資從若干供應(yīng)點(diǎn)運(yùn)送到一些需求點(diǎn)，怎樣安排輸送方案使運(yùn)費(fèi)最小，或利潤(rùn)最大；小結(jié)：運(yùn)輸問(wèn)題(TransportationProblem)各種類型的貨物裝箱，由于受體積、重量等限制，如何搭配裝載，使獲利最高，或裝箱數(shù)量最少。案例5：人力資源配置問(wèn)題

某城市有一晝夜服務(wù)的公交線路，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀察統(tǒng)計(jì)，每天各時(shí)間區(qū)段內(nèi)需司機(jī)和乘務(wù)人員總數(shù)如下表。班次時(shí)間區(qū)段所需人數(shù)16：00~10：0050210：00~14：0060314：00~18：0050418：00~22：0040522：00~2：002062：00~6：0030問(wèn)題描述設(shè)司機(jī)和乘務(wù)人員分別在各時(shí)間區(qū)段一開始時(shí)上班，并連續(xù)工作八小時(shí)，問(wèn)該公交線路至少配備多少名司機(jī)和乘務(wù)人員才能滿足實(shí)際需要？模型建立設(shè)xi為第i時(shí)段所需的人數(shù)，由于從第i時(shí)段開始上班的人在第i+1時(shí)段會(huì)繼續(xù)上班（注意如果i取6，則i+1應(yīng)取1）目標(biāo)函數(shù)約束條件班次時(shí)間區(qū)段16：00~10：00210：00~14：00314：00~18：00418：00~22：00522：00~2：0062：00~6：00模型求解直接輸入方式:

model:min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;x1+x6>50;x1+x2>60;x2+x3>50;x3+x4>40;x4+x5>20;x5+x6>30;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);endGlobaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:130.0000Extendedsolversteps:0Totalsolveriterations:7VariableValueReducedCostX150.000001.000000X210.000001.000000X340.000001.000000X40.0000001.000000X530.000001.000000X60.0000001.000000計(jì)算結(jié)果：注意與Lindo的相似性和區(qū)別Lingo程序(方式一):

模型求解Lingo程序（方式二）：model:sets:time/1..6/:required,driver;endsetsdata:required=605040203050;enddatamin=@sum(time:driver);!各時(shí)段需求約束;@for(time(i):driver(i)+driver(@wrap(i+1,6))>=required(i));!各變量整數(shù)約束;@for(time:@gin(driver));end注：在集合循環(huán)函數(shù)中，當(dāng)達(dá)到集合的最后（或第一個(gè)）成員后，可以用@wrap函數(shù)把索引轉(zhuǎn)到集合的第一個(gè)（或最后一個(gè)）成員。@wrap(i,N)的返回值當(dāng)i位于區(qū)間[1,N]內(nèi)時(shí)返回i，否則返回j=i-k*N，k為整數(shù)，且j位于區(qū)間[1,N]內(nèi)。如@wrap(2,5)返回值為2，@wrap(16,5)返回值為1。在這里的作用是讓@wrap(7,6)返回到1。編程方式定義原始集time,6個(gè)成員，兩個(gè)屬性數(shù)據(jù)部分Globaloptimalsolutionfound.Extendedsolversteps:0Totalsolveriterations:6VariableValueReducedCost求解結(jié)果即6個(gè)班次依次需要的司乘人員數(shù)量分別為：x1=50；x2=10；x3=40；x4=0；x5=30；x6=0。共計(jì)至少需要130名司乘人員。生產(chǎn)中通過(guò)切割、剪裁、沖壓等手段，將原材料加工成所需大小原料下料問(wèn)題按照工藝要求，確定下料方案，使所用材料最省，或利潤(rùn)最大案例6：下料問(wèn)題（一維）問(wèn)題.如何下料最節(jié)省?原料鋼管:每根19米4米50根6米20根8米15根工地需求節(jié)省的標(biāo)準(zhǔn)是什么？問(wèn)題描述某建筑工地需要一批不同型號(hào)的鋼管，其中4m的50根，6m的20根，8m的15根。現(xiàn)在從鋼管廠進(jìn)貨的原料都是19m的，需要對(duì)這些原料進(jìn)行合理的切割。問(wèn)怎樣切割使得既滿足工地需求，又使浪費(fèi)材料最??？按照客戶需要在一根原料鋼管上安排切割的一種組合。

切割模式余料1米4米1根6米1根8米1根余料3米4米1根6米1根6米1根合理切割模式的余料應(yīng)小于客戶需要鋼管的最小尺寸余料3米8米1根8米1根鋼管下料為滿足客戶需要，按照哪些種合理模式，每種模式切割多少根原料鋼管，最為節(jié)??？合理切割模式2.所用原料鋼管總根數(shù)最少模式

4米鋼管根數(shù)6米鋼管根數(shù)8米鋼管根數(shù)余料(米)14003231013201341203511116030170023鋼管下料問(wèn)題1兩種標(biāo)準(zhǔn)1.原料鋼管剩余總余量最小xi~按第i種模式切割的原料鋼管根數(shù)(i=1,2,…7)約束滿足需求決策變量

目標(biāo)1（總余量）按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米

模式4米根數(shù)6米根數(shù)8米根數(shù)余料14003231013201341203511116030170023需求502015最優(yōu)解：x2=12,x5=15,其余為0；最優(yōu)值：27。整數(shù)約束：xi為整數(shù)model:sets:pattern/1..7/:residu,number;type/1..3/:required;link(pattern,type):aa;endsetsdata:residu=3133113;required=502015;aa=400310201120111030002;enddata!目標(biāo)函數(shù)(總余量最小)min=@sum(pattern:residu*number);!工地需求;@for(type(i):@sum(pattern(j):aa(j,i)*number(j))>required(i));!各變量整數(shù)約束;@for(pattern:@gin(number));end鋼管切割問(wèn)題的Lingo程序當(dāng)余料沒有用處時(shí)，通常以總根數(shù)最少為目標(biāo)目標(biāo)2（總根數(shù)）鋼管下料問(wèn)題1約束條件不變最優(yōu)解：x2=15,x5=5,x7=5,其余為0；最優(yōu)值：25。xi為整數(shù)按模式2切割15根，按模式5切割5根，按模式7切割5根，共25根，余料35米雖余料增加8米，但減少了2根與目標(biāo)1的結(jié)果“共切割27根，余料27米”相比小結(jié)：下料問(wèn)題的建模確定下料模式構(gòu)造優(yōu)化模型規(guī)格不太多，可枚舉下料模式，建立整數(shù)線性規(guī)劃模型，否則要構(gòu)造整數(shù)非線性規(guī)劃模型，求解困難，可用縮小可行域的方法進(jìn)行化簡(jiǎn)，但要保證最優(yōu)解的存在。一維問(wèn)題（如鋼管下料）二維問(wèn)題（如易拉罐下料）具體問(wèn)題具體分析（比較復(fù)雜）

1.首先建立M文件fun.m,定義目標(biāo)函數(shù)F（X）:functionf=fun(X);f=F(X);

其中X為n維變?cè)蛄?，G(X)與Ceq(X)均為非線性函數(shù)組成的向量，其它變量的含義與線性規(guī)劃、二次規(guī)劃中相同.用Matlab求解上述問(wèn)題，基本步驟分三步：4非線性規(guī)劃問(wèn)題的matlab求解3.建立主程序.非線性規(guī)劃求解的函數(shù)是fmincon,命令的基本格式如下：

(1)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)

(2)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)

(3)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)

(4)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)(5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)

(6)[x,fval]=fmincon(...)

(7)[x,fval,exitflag]=fmincon(...)(8)[x,fval,exitflag,output]=fmincon(...)輸出極值點(diǎn)M文件迭代的初值參數(shù)說(shuō)明變量上下限

fmincon函數(shù)提供了大型優(yōu)化算法和中型優(yōu)化算法。默認(rèn)時(shí)，若在fun函數(shù)中提供了梯度（options參數(shù)的GradObj設(shè)置為’on’），并且只有上下界存在或只有等式約束，fmincon函數(shù)將選擇大型算法。當(dāng)既有等式約束又有梯度約束時(shí)，使用中型算法。

fmincon函數(shù)的中型算法使用的是序列二次規(guī)劃法。在每一步迭代中求解二次規(guī)劃子問(wèn)題，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩陣。

fmincon函數(shù)可能會(huì)給出局部最優(yōu)解，這與初值X0的選取有關(guān)。注意：案例71．先建立M-文件fun1.m定義目標(biāo)函數(shù):functionf=fun1(x);f=-2*x(1)-x(2);2．再建立M文件mycon1.m定義非線性約束：function[g,ceq]=mycon1(x)g=[x(1)^2+x(2)^2-25;x(1)^2-x(2)^2-7];ceq=[];3.主程序main.m為:x0=[3;2.5];VLB=[00];VUB=[510];[x,fval,exitflag,output]=fmincon('fun1',x0,[],[],[],[],VLB,VUB,'mycon4')4.運(yùn)算結(jié)果為:x=exitflag=1output=iterations:4funcCount:17stepsize:1algorithm:[1x44char]firstorderopt:[]cgiterations:[]

某公司有6個(gè)建筑工地要開工，每個(gè)工地的位置（用平面坐標(biāo)系a，b表示，距離單位：千米）及水泥日用量d(噸)由下表給出。目前有兩個(gè)臨時(shí)料場(chǎng)位于A(5,1)，B(2,7)，日儲(chǔ)量各有20噸。假設(shè)從料場(chǎng)到工地之間均有直線道路相連。（1）試制定每天的供應(yīng)計(jì)劃，即從A，B兩料場(chǎng)分別向各工地運(yùn)送多少噸水泥，使總的噸千米數(shù)最小。（2）為了進(jìn)一步減少噸千米數(shù)，打算舍棄兩個(gè)臨時(shí)料場(chǎng)，改建兩個(gè)新的，日儲(chǔ)量各為20噸，問(wèn)應(yīng)建在何處，節(jié)省的噸千米數(shù)有多大？案例8：供應(yīng)與選址一建立模型

記工地的位置為(ai，bi)，水泥日用量為di，i=1,…,6;料場(chǎng)位置為(xj，yj)，日儲(chǔ)量為ej，j=1,2；從料場(chǎng)j向工地i的運(yùn)送量為Xij。當(dāng)用臨時(shí)料場(chǎng)時(shí)決策變量為：Xij，當(dāng)不用臨時(shí)料場(chǎng)時(shí)決策變量為：Xij，xj，yj。二使用臨時(shí)料場(chǎng)的情形

使用兩個(gè)臨時(shí)料場(chǎng)A(5,1)，B(2,7).求從料場(chǎng)j向工地i的運(yùn)送量為Xij，在各工地用量必須滿足和各料場(chǎng)運(yùn)送量不超過(guò)日儲(chǔ)量的條件下，使總的噸千米數(shù)最小，這是線性規(guī)劃問(wèn)題.線性規(guī)劃模型為：設(shè)X11=X1,X21=X2,,X31=X3,X41=X4,X51=X5,,X61=X6X12=X7,X22=X8,,X32=X9,X42=X10,X52=X11,,X62=X12計(jì)算結(jié)果為：x=[3.00005.00000.00007.00000.00001.00000.00000.00004.00000.00006.000010.0000]’三改建兩個(gè)新料場(chǎng)的情形

改建兩個(gè)新料場(chǎng)，要同時(shí)確定料場(chǎng)的位置(xj,yj)和運(yùn)送量Xij，在同樣條件下使總噸千米數(shù)最小。這是非線性規(guī)劃問(wèn)題。非線性規(guī)劃模型為：設(shè)X11=X1,X21=X2,,X31=X3,X41=X4,X51=X5,,X61=X6X12=X7,X22=X8,,X32=X9,X42=X10,X52=X11,,X62=X12

x1=X13,y1=X14,x2=X15,y2=X16

（1）先編寫M文件liaoch.m定義目標(biāo)函數(shù)。functionf=liaoch(x)a=[1.258.750.55.7537.25];b=[1.250.754.7556.57.75];d=[3547611];e=[2020];f1=0;fori=1:6s(i)=sqrt((x(13)-a(i))^2+(x(14)-b(i))^2);%計(jì)算料場(chǎng)A到各個(gè)工地距離f1=s(i)*x(i)+f1;%計(jì)算料場(chǎng)A到各個(gè)工地的噸千米總量Endf2=0;fori=7:12s(i)=sqrt((x(15)-a(i-6))^2+(x(16)-b(i-6))^2);%計(jì)算料場(chǎng)B到各工地距離f2=s(i)*x(i)+f2;%計(jì)算料場(chǎng)B到各個(gè)工地的噸千米總量endf=f1+f2;(2)取初值為線性規(guī)劃的計(jì)算結(jié)果及臨時(shí)料場(chǎng)的坐標(biāo):x0=[35070100406105127]';編寫主程序gying2.m.x0=[35471000005115.63484.86877.24797.7499]';A=[11111100000000000000001111110000];B=[20;20];Aeq=[100000100000000001000001000000000010000010000000000100000100000000001000001000000000010000010000];beq=[3547611]';vlb=[zeros(12,1);-inf;-inf;-inf;-inf];vub=[];[x,fval,exitflag]=fmincon('liaoch',x0,A,B,Aeq,beq,vlb,vub)(3)計(jì)算結(jié)果為：10.07076.38754.39435.75117.1867]’exitflag=1(4)若修改主程序gying2.m,取初值為上面的計(jì)算結(jié)果:x0=[3.00005.00000.07077.000000.9293003.929306.000010.07076.38754.39435.75117.1867]’得結(jié)果為:x=[3.00005.00000.30947.00000.01080.6798003.690605.989210.32025.53694.91945.82917.2852]’exitflag=1總的噸千米數(shù)比上面結(jié)果略優(yōu).(5)若再取剛得出的結(jié)果為初值,卻計(jì)算不出最優(yōu)解.(6)若取初值為:x0=[35471000005115.63484.86877.24797.7499]',則計(jì)算結(jié)果為:x=[3.00005.00004.00007.00001.0000000005.000011.00005.69594.92857.25007.7500]’exitflag=1總的噸千米數(shù)89.8835比上面結(jié)果更好.通過(guò)此例可看出fmincon函數(shù)在選取初值上的重要性。

在我們的生活中每天都面對(duì)各種各樣的大量的數(shù)據(jù)，比如科學(xué)研究，工程建設(shè)，股票信息，彩票數(shù)據(jù)，考試成績(jī)，經(jīng)濟(jì)開銷，時(shí)間，身高體重、三圍參數(shù)等等。怎樣從紛繁復(fù)雜的數(shù)據(jù)當(dāng)中挖掘出有用的信息，是我們面臨的一大問(wèn)題。數(shù)據(jù)處理是數(shù)學(xué)建模一項(xiàng)重要的內(nèi)容。問(wèn)題的提出專題2：數(shù)據(jù)處理(擬合、插值、回歸)問(wèn)題1.已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)(t=0注射300mg)求血藥濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律c(t).

t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01

這個(gè)問(wèn)題要從一組實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi

,yi

)(i=1,2,…,n)出發(fā)揭示出自變量x與因變量y之間的關(guān)系，一般可以用一個(gè)近似的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)來(lái)表示。函數(shù)f(x)的產(chǎn)生辦法因觀測(cè)數(shù)據(jù)與要求的不同而異，通?？刹捎脙煞N方法：插值與數(shù)據(jù)擬合。1數(shù)據(jù)擬合2數(shù)據(jù)插值3回歸分析4聚類分析數(shù)據(jù)處理的常用方法簡(jiǎn)介

已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上n個(gè)點(diǎn)（xi,yi)i=1,…,n,尋求一個(gè)函數(shù)（曲線）y=f(x),使f(x)在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好。

1.數(shù)據(jù)擬合(曲線擬合)+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)ii為點(diǎn)（xi,yi)與曲線y=f(x)的距離某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近曲線擬合問(wèn)題的提法擬合基函數(shù)第一步:確定擬合的函數(shù)類型其中為待定系數(shù)。第二步:確定的最小二乘準(zhǔn)則:要求n個(gè)已知點(diǎn)(xi

,yi)與曲線的距離(偏差)di的平方和最小。滿足上述要求的參數(shù)取值稱為該問(wèn)題的最小二乘解。曲線擬合問(wèn)題最常用的解法—最小二乘法的基本思路2.如果無(wú)現(xiàn)成的規(guī)則，則可以通過(guò)散點(diǎn)圖，結(jié)合曲線的形狀進(jìn)行分析，即建立經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?.通過(guò)機(jī)理分析建立數(shù)學(xué)模型來(lái)確定f(x)；+++++++++++++++f=ae-bxf=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2擬合函數(shù)類型的確定1、線性最小二乘擬合2、非線性最小二乘擬合用MATLAB求解擬合問(wèn)題1.作多項(xiàng)式f(x)=a1xm+…+amx+am+1擬合,可利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)輸出擬合多項(xiàng)式系數(shù)a=[a1,…,am,

am+1](數(shù)組)輸入同長(zhǎng)度的數(shù)組X，Y擬合多項(xiàng)式次數(shù)2.多項(xiàng)式在x處的值y可用以下命令計(jì)算：

y=polyval（a，x）用MATLAB作線性最小二乘擬合問(wèn)題1藥物濃度問(wèn)題

2擬合結(jié)果：2次擬合效果對(duì)比圖藥物濃度與時(shí)間關(guān)系32擬合結(jié)果：藥物濃度與時(shí)間關(guān)系3次擬合效果對(duì)比圖

Matlab的提供了兩個(gè)求非線性最小二乘擬合的函數(shù)：lsqcurvefit和lsqnonlin。兩個(gè)命令都要先建立M-文件fun.m，在其中定義函數(shù)f(x)，但兩者定義f(x