【公開課課件】(高中數(shù)學(xué)4-4)一-數(shù)學(xué)歸納法

第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式一.

數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)研究中，人們會(huì)遇到這樣的情況，對(duì)于任意正整數(shù)n或不小于某個(gè)數(shù)的任意正整數(shù)，都有某種不等關(guān)系成立，為表達(dá)這樣的關(guān)系，就出現(xiàn)了一些與無限多個(gè)正整數(shù)相關(guān)的命題,當(dāng)這些無限多個(gè)正整數(shù)相關(guān)的命題，不易用以前學(xué)習(xí)過的方法證明,我們將使用一種重要的數(shù)學(xué)推理方法——數(shù)學(xué)歸納法，用數(shù)學(xué)歸納法會(huì)收到較好的效果.一.

數(shù)學(xué)歸納法通過分析這個(gè)問題的特點(diǎn)可以知道，由于正整數(shù)有無限多個(gè)，故我們無法對(duì)它們一一驗(yàn)證，要證明這個(gè)問題，必須尋找一種用有限個(gè)步驟，就能夠處理完無限多個(gè)對(duì)象的方法由此猜想我們先從多米諾骨牌游戲說起，若前一塊骨牌倒下，則一定導(dǎo)致后一塊骨牌倒下，而第二塊骨牌倒下一定導(dǎo)致第三塊骨牌倒下…最后，不論有多少塊骨牌都會(huì)倒下，可以看出，使所有骨牌都倒下的條件有兩個(gè)（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下（即第k塊倒下相鄰的第k+1塊也倒下）類似多米諾骨牌游戲，我們?cè)O(shè)想將全部正整數(shù)由小到大依次排列為無限長的一對(duì)，可以驗(yàn)證，（1）當(dāng)n=1時(shí)，等式☆的左右兩邊都等于-1，此時(shí)的等式☆成立。（2）若從當(dāng)n=k時(shí)等式☆成立能推出n=k+1是等式☆成立，則可證明上述問題。證明：左邊=所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立。由（1）（2）可知，原式成立。

1.驗(yàn)證第一個(gè)命題成立(即n＝n0第一個(gè)命題對(duì)應(yīng)的n的值，如n0＝1)(歸納奠基）

；

2.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k＋1時(shí)命題也成立(歸納遞推）.數(shù)學(xué)歸納法：

關(guān)于正整數(shù)n的命題(相當(dāng)于多米諾骨牌),我們可以采用下面方法來證明其正確性：

由(1)、(2)知，對(duì)于一切n≥n0的自然數(shù)n都成立！用上假設(shè)，遞推才真注意:遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫明莫忘掉.（1）驗(yàn)證：n=n0（n0∈N+）時(shí)命題成立。（2）證明：假設(shè)n=k（k≥n0）時(shí)命題成立，則n=k+1時(shí)命題也成立。對(duì)所有的n

（n0∈N+，n≥n0）命題成立奠基假設(shè)與遞推下面的圖框表示了數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟特別提示:數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵是“一湊假設(shè),二湊結(jié)論”,在證題的過程中,歸納推理一定要起到條件的作用,即證明n=k+1成立時(shí)必須用到歸納遞推這一條件.課堂練習(xí):CBBCBD利用數(shù)學(xué)歸納法也證明幾何問題特別提示:用數(shù)學(xué)歸納法證幾何問題,應(yīng)特別注意語言敘述正確,清楚,一定要講清從n=k到n=k+1時(shí),新增加量是多少.一般地,證明第