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文檔簡(jiǎn)介
1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)一般地,對(duì)于nN*有二項(xiàng)定理:一、新課引入二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是哪些?共有多少個(gè)?
下面我們來(lái)研究二項(xiàng)式系數(shù)有些什么性質(zhì)?我們先通過(guò)楊輝三角觀察n為特殊值時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)?1.“楊輝三角”的來(lái)歷及規(guī)律
楊輝三角展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù),如下表所示:
11
121
1331
1464115101051
1615201561
………………二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是:
從函數(shù)角度看,可看成是以r為自變量的函數(shù),其定義域是:
當(dāng)時(shí),其圖象是右圖中的7個(gè)孤立點(diǎn).二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
(1)對(duì)稱性
與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.
這一性質(zhì)可直接由公式得到.圖象的對(duì)稱軸:二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(2)增減性與最大值
由于:所以相對(duì)于的增減情況由決定.
二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(2)增減性與最大值
由:
二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的,由對(duì)稱性可知它的后半部分是逐漸減小的,且中間項(xiàng)取得最大值。
可知,當(dāng)時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(2)增減性與最大值
因此,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)
取得最大值;
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、相等,且同時(shí)取得最大值。(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和
二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在二項(xiàng)式定理中,令,則:
這就是說(shuō),的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于:同時(shí)由于,上式還可以寫(xiě)成:這是組合總數(shù)公式.
一般地,展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì):
(1)
(2)
(3)當(dāng)時(shí),
(4)
當(dāng)時(shí),課堂練習(xí):2)的展開(kāi)式中,二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是
;3)若的展開(kāi)式中的第十項(xiàng)和第十一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則n=
;
二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù),它有三條性質(zhì),要理解和掌握好,同時(shí)要注意“系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”的區(qū)別,不能混淆,只有二項(xiàng)式系
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