概率論與數(shù)理統(tǒng)計01-第一節(jié)-隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

隨機(jī)變量前面討論了隨機(jī)變量的分布函數(shù),從中知道隨機(jī)變量的分布數(shù)能完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律性.但在許多實際問題中,人們并不需要去全面察隨機(jī)變量的變化情而要知道它的某些數(shù)字特征即.例如在價地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平通只要知道該地區(qū)糧食的平均產(chǎn);又如,在價一批棉花的質(zhì)量時,既要注意纖維的平均度又要注意纖維長度與平均長度之間的偏離程度,平長度較大,偏程度小則量就較.等實際上描隨機(jī)變量的平均值和偏離程度的某些數(shù)字特征在理論和實踐上都具有重要的意義,它能更直接、更簡潔更清晰和更實用地反映出隨機(jī)變量的本.本章將要討論的隨機(jī)變量的常用數(shù)字特征包:數(shù)期望、方差、相關(guān)系數(shù)、第一節(jié)隨變量的學(xué)期望內(nèi)容要：一離型機(jī)量數(shù)期平均值是日常生活中最常用的一個數(shù)字特,它評判事物決等具有重要作.定義設(shè)是離散型隨機(jī)變量的概率分布為P{X}p,iii如果p絕收斂,則義的學(xué)期望又均值為()p.iiiii二連型機(jī)量數(shù)期定義設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量,其度函數(shù)為(x)如

i

xf()dx絕對收斂,定的數(shù)學(xué)期望為E()

xf()三隨機(jī)量數(shù)數(shù)期設(shè)是隨機(jī)變量,()為實函數(shù),則Yg()也是一隨機(jī)變量,理上,雖可通過的布求出(X的布,再定義求出(的學(xué)期望E[g()]但種求法般比較復(fù)雜.下不加證明地引入有關(guān)計算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的定.定理設(shè)X是個隨機(jī)變量,(),(Y)存在則（1若為散型隨機(jī)變量其率分布為P{X}iii則Y的學(xué)期望為E))]iii1（2）若X連續(xù)型隨機(jī)變,概率密度為Y學(xué)期望為)E)]注:的性在于E必知道的,只道X的布即可.這給求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望來很大方;上理可推廣到二維以上情,即定理2是二維隨機(jī)向,Zg(X))存,（1）若為離散型隨機(jī)向,概率分布為P{Xy}i則Z的數(shù)望為g(x,y)p,ijijj1i1（2）若)為連續(xù)型隨機(jī)向量,率密度為Z的學(xué)期望為E)]四數(shù)期的質(zhì)C,E)．常數(shù)，則);E

1

)E212立,則E)E)注E)E)定能推出X獨(dú)例如，在10中計算得EE

94

，31但P{X1，顯然48P{XP{X故X與Y不立這質(zhì)可推廣到有限個隨變量之和的情例題選：離型機(jī)量數(shù)期例1講例1)甲乙人進(jìn)行打所得數(shù)記為121,02831i試評定他們的成績的好.

,們的分布律分別為解

我們來計算的期,得E)022)11這意味著,果甲進(jìn)行很多次的,那,分?jǐn)?shù)的算術(shù)平均就接近而得4k0.814kk4k0.814kk分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為0.30.10.5().很明顯乙成績遠(yuǎn)不如甲的成績.例(講例2)某產(chǎn)品的每件表面上的疵點(diǎn)數(shù)服從參數(shù)

0.8的松分布,若定疵點(diǎn)數(shù)不超過個一等品價10元;疵數(shù)大于個不多為二等,價8元;疵點(diǎn)數(shù)超過個為廢求產(chǎn)品的廢品率;產(chǎn)品價值的平均.解設(shè)代表每件產(chǎn)品上的疵點(diǎn),由意知

因為{4}P{X

k

0.8k!

e

所以產(chǎn)品的廢品率為

0.001411.(2)設(shè)代產(chǎn)品的價值,那Y概率分布為Y0P{P4}P{X4}所以產(chǎn)品價值的平均值為Y){X4}{10

ek!kk

k!

e9.61(元)例3按定某車站每天8:00~9:00和之都恰有輛客車到,但站的時刻是隨機(jī),且者到站的時間相互獨(dú)其律為8:00~9:00站時間9:00~10:00到站時間概率

:108:30:109:301/63/62/6一旅客8:20到站求候車時間的數(shù)學(xué)期.解設(shè)客的候車時間為X(以分計)的布律為pi

103050316

7016

90166在上表中例如P{70}AB)AP(B

13其為件“第班車在6:10到”B為第二班車在到”.候車時間的數(shù)學(xué)期望3E(X636

27.22(分)連型機(jī)量數(shù)期x例4講義例已知隨機(jī)變量的分布函數(shù))/4,x求().x412/101112/1011解

4,4隨機(jī)變量的分布密度為()F它故E)

)dx

1x48

X

例(講例4)某店對某種家用電器的銷售采用先使用后付款的記用壽命為(以年計)規(guī)定:設(shè)壽命

X

一臺付1500;X一臺付款2元;2,一臺付款2元;一臺付000.X服從指數(shù)分布,概密度為e/10x0fx0.試求該商店一臺電器收費(fèi)的數(shù)學(xué)期望.解先出壽命落各個時間區(qū)間的概,即有{

0

110

dx

PX

1

110

dx

0.0861,P{2X

312

dx

0.0779,P{

3

110

dx

則Y的分布律為200030000.09520.08610.07790.7408得EY)即平均一臺收費(fèi)2732.15元例6

設(shè)隨機(jī)變量~f(),E()

,且,f(x)0,求a與b的,并分布函數(shù)().

解

由題意知

f(x)

0

()

a2

EX

xf(x)dx

0

x

a7,312解方程組得b1/2.2/x/2x/2/x/2x/當(dāng)0有F(x

1xxf(t)dt022所以x)

x(x2),0x例有2相互獨(dú)立工作的電子裝置,它的壽命概率密度為

(

服從統(tǒng)一指數(shù)分其f(

e,x0,

0.若將這電子裝置串聯(lián)聯(lián)接組成整,求機(jī)壽命(以小時計)N的數(shù)學(xué)期解

/x0X(分布函數(shù)為F(),0,xNX}的分布函數(shù)為min

(x)(x)],因而N的率密度為f

min

(x)Fmin

()

e

x于是N的學(xué)期望為E()

xf

min

(x)

0

2

x/

2

隨變函的學(xué)望例8(講義例設(shè)X,Y)的合概率分布:Y03X03/801/81/8求E(),(),().解要E(X)E(Y),需求出X和Y的邊緣分關(guān)X和Y的邊緣分布為3233/4P1/81/8則有E(X

334421333(Y)8823(X(38

18

/4.2022232x3x1/x432022232x3x1/x43例9(講義設(shè)隨機(jī)變量

X在

上從均勻分布求E(sin),(

2

)及[()]解

根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)學(xué)期望的計算公有E)

xf()

0

x

1

2

sinxfx

sin(x)|0

2,(X)

xf(x)

x

1

3

E[X(X)]E

1dx012

例10設(shè)隨機(jī)變量X,Y)的率密度f()

xx0,

它.求數(shù)學(xué)期望E(Y),

1解

(Y)

yf(x,y)dydx11/x

32

1[lny]dxxx

3ln2

1xE

1

xy)1x

3.5例講例設(shè)際市場上對我國某種出口商品的每年需求量是隨機(jī)變量X(單位噸它從區(qū)間[4000]上均勻分布每售出一噸商可國家賺取外匯萬;若銷售不出,則噸商品需貯存費(fèi)1萬,問組織多少貨才使國家收益最?解設(shè)織貨源噸,顯應(yīng)要求20004000,國收單:萬元是的數(shù)Y(表式為(X

tX

XX

2000,x設(shè)的概率密度函數(shù)為f(則f(x0,

于Y的望為E(Y)

()f()dx

40002000

(2222222ii202020202222222ii20202020

12000

t1x)dx3tdx(t

2

14000t

6

考慮的值使(Y)達(dá)最大,易t

3500,因組織噸商品為好.例12設(shè)((

)均在，證明E[()]

2

(X

2

)E(X)]

2

證

因為[X()]

2

X

2

X)(X)]

2

,于是[(X)]{XX)E()]}()())E(X)]()E()]例13（二項分布的數(shù)學(xué)期望）若Xb,),求().解因(n,p),則X表n重努利試驗中的“成功次數(shù).如第i成功若設(shè)X第i驗失敗

(i

1,2,

,)則X,12因為P{p,P{0}pEX)p,iiin所以E(XE()ii可見服參為n和p的項分布的隨機(jī)變量X的學(xué)期望是.數(shù)期的質(zhì)例14講義8)一航送各車載有位旅客自機(jī)場開出,旅有10個站可以如到達(dá)一個車站沒有旅客下車就不停.以表示停車的次數(shù),求(X(每位旅客在各個車站下車是等可能的,并各旅客是否下車互獨(dú)).解

i站沒有人下車引入隨機(jī)變量1,i站沒有人下車

i

易知.1210現(xiàn)在來求().按意任旅客不在第i站車的概率為因