內(nèi)切球與外接球習題講義教師版

EFHGOGEFHGOG立體幾何中的“內(nèi)切”與“外接”問題探究1球與柱體規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進行結合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題1.1球與正方體如圖所示，正方體ABCDBD111球的球心。

,正方體的棱長為

，

,H,G

為的點，

為

例1棱長為1正方體ABCDC的8頂點都在球1111DD的中點，則直線被得的線段長為（）1

O

的表面，E

分別是

AA1

，常見組合方式有三類：一是球為正方體的內(nèi)切球，截面圖為正方形

和內(nèi)圓則

A

22

B．

C．

22

D．

2ar；2二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形和其外接圓，則

22

a

；1.2球與長方體三是球為正方體的外接球，截面圖為長方形ACCA11

和其外接，則

AOR1

2

.

長體頂可一球上，故長方體存在外切.但不定存在切.設長方體的棱長通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的合問題，常用工具截圖，即根據(jù)組合的形式

為

a,,c,

其對線為

l

.球為長方體的外接球時，截面圖為長方體的對角面和其外接圓，和正方找到兩個幾何體的軸截面，通過兩個截面圖的位置關系，確定好正方體的棱與球的半徑的關系，進

l2體外球道是樣，故球的半

2

2

而將空間問題轉化為平面問題。例2在長、寬、高分別為，，長方體內(nèi)有一個半徑為1球，任意擺動此長方體，則球經(jīng)122過的空間部分的體積為)πA.B.43

πC.3

πD.31.3球與正棱柱球與一般的正棱柱的組合體，常以外接形態(tài)居多。下面以正三棱柱為例，介紹本類題目的解法—構造直角三角形法。設正三棱ABCABC的高為，底面邊長為a，如所示D和分11

2球錐體規(guī)的體如四體正棱錐、特殊的一些棱錐等夠和球進行充分的組合以外接和內(nèi)切種態(tài)行合通球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)聯(lián)系，然后考查幾何體體積或者表面積別為上下底面的中心。根據(jù)幾何體的特點，心必落在高DD1

的中點，

等關題.hAOR,2

，借助直角三角形AOD的勾股定理可求

3

。

2.1球與正四面體正面作一規(guī)的何體，它既存在外接球，也在內(nèi)切球，并且兩心合，利用這點可順利決的徑正面的棱長關系。如圖，設正四面體

ABC

的棱長為

a

，內(nèi)切半徑為

r

，外接的半徑

，取的點為D

E

為

S

在面射連接

CDSD,SE

為正四體的高在截面三角形

,一個與邊

和DC相切，圓心在SE上的圓，即為內(nèi)切球的截面。因正面本的稱可知，外接球和內(nèi)切球的球同為

。此時例3正棱柱11

的各頂點都在半徑為R的球面上，則正四棱柱的側面積有最

CO,SE

,,

則有

R

，22得：值，為.6ara.412

這解是通過用兩心一的思路建含有個球的徑的等關系行2求解.時我們可以發(fā)現(xiàn)，球心帶來極大的方便.

O

為正四面體高的四等分點.如果我們牢記這些數(shù)量關系，可為解題

是形，把棱補成正方體或者長方體。常見種形式：一三錐三棱相直且相等，則可以補形為一正方體，它的外接球的心就是三棱錐外球球。5，三棱錐ABD11

的外接的球心正方體

BD111

的外接的心合設

a1

，則

32

a

。二如三錐三側互相垂直且不相等，則可以形為一個長方體，它的接球的球心就三錐外球球

a

2

l44

（

l

為長方的體對線長。例將半徑都為１的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為()A.

363

B.2+

22646C.D.333例

在三錐

SABC

中

M、

分別是

SC、BC

的中點且

AM

,若側棱SA3

,正三棱錐

S

外球的表積是。球的外切正四面體，這個小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點的距離是中心到地面距離的3倍.]2.2球與三條側棱互相垂直的三棱錐球與三條側棱互相垂直的三棱錐組合問題主要體現(xiàn)在球為棱的接球解決的基本方法3A

B.

C.D.32.3球正棱錐球與正棱錐的組合，常見的有兩類，是球為三棱錐的外接球，此時三棱錐的各個頂點在球面上，根據(jù)截面圖的特點，可以構造直角三角形進行求解是球為正棱錐的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個面相切，球心到四個

2.4球與特殊的棱錐球一特的錐行合，一定要抓住棱錐的幾何質(zhì)，可綜合利用截面法補形法、等進行求。面的距離相等，都為球半徑

．這樣求球的半徑可轉化為球球心到三棱面的距，故可用等體

例，面都直三形的三棱錐，可利用直角三形斜邊中點幾何特征，定球心位置。積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.例6在三棱錐－中，＝PB=PC=,棱PA與底面ABC成的角為°，則該三棱錐外接球的體積為（）

如圖8，三棱錐

S

,足

面

ABC

，

AB

，取

SC

的中點

O

，由直三角形性可：

OBOC,所O點為三棱錐SABC的外接球的球心則R

SC2

.4空問轉平問求解例8在半徑為的球內(nèi)放入大小相等的4小，則小的半徑最大值（）例7矩形

中，

AB

沿

將矩形

折成個二角

,四面體

的外接球的體是)A.

125125B.C.D.12

4球幾何體的各條棱相切球與幾體各棱切題，關要住與相的幾何質(zhì)達明球的位置目，然后通構直三形行轉換求.3球球?qū)€多個小球結合在一，組合成復雜的幾何體問題，要求有富的空間想象能力，解決本類

如與正面各都切球的半為對的半

r

2a4

例8把個皮球放入如圖所示的由8根長均為20cm的絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球問題需掌握恰當?shù)奶幚硎侄?，如準確確定各個小球的球心的位置關系，或者巧借截面圖等方法，將的面與根鐵絲都有接觸點，則皮球的半徑為（）5CD．CD．A.

cm

B.

cm

C.

10

D.

cm外球切問題綜合上面的四種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉體，解答時首先要找準切1.（西理）一個正三棱錐的四個頂點都在半徑的面上，其中底面的三個頂點在該球的一點，通過作截面來解決.如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作；把個圓，該三錐體積是（）一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的內(nèi)接問題．解決這類問題的關鍵是抓住內(nèi)接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．發(fā)揮好空間想象力，借助于數(shù)形結合進行轉化，問題即

A

3

B．

333答案B可得解．如果是一些特殊的幾何體，如正方體、正四面體等可以借助結論直接求此時結論的記憶必須準確

2.直三棱柱ABCC11

的頂點都同一球上，若

ABAC,1201

，則此的面等于。6解:

中

AC

,

BAC

,得

BC

,正弦定,可得

外圓半

7.海南、寧夏理科）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直底面．已知該六棱柱的頂點都在徑r=2,設此圓圓心球心，在OBO積為4.

中，易得半徑

，此的面

9同個面，該棱的體積為，底面周長為，則這個球的體積為．8答案3正三棱柱ABCABC11為．

內(nèi)接于半徑為的球，若,兩的球面距離則正三棱柱的體積

8.（天津理）一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別1，，，則此球的表面積為．答案

答案

4.面積為

的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球體積為

9.全國Ⅱ理）一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長A

B．

．3

D．

2

為1，那么該棱柱的表面積為cm.答案24答案

P【解析】此八面體是每個面的邊長均為的正三角形，所以

3

知，

，則

C

D此球的直徑為2，故選A。5.知正方體外接球的體積是

，那么正方體的棱長等于（）

B

A

F

E

2

B.

44C.D.

10.（遼寧）如圖，半徑的球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐P，則此正六棱錐的側面積是答案D6.山東卷）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為()

________．答案

7A.

3

B.13C.1∶3

3

D.∶911.（遼寧省撫順一中）棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個答案C7截面如圖，則圖中三角形正四面體的截的面積是.

A

26

B．

36

C

D．

22答案

15遼寧文已知點P,A,B,C,D是球表上的,⊥平面四邊形是長為2正形若PA=2

6

,OAB的面