內(nèi)切球與外接球習(xí)題講義教師版

EFHGOGEFHGOG立體幾何中的“內(nèi)切”與“外接”問題探究1球與柱體規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題1.1球與正方體如圖所示，正方體ABCDBD111球的球心。

,正方體的棱長為

，

,H,G

為的點(diǎn)，

為

例1棱長為1正方體ABCDC的8頂點(diǎn)都在球1111DD的中點(diǎn)，則直線被得的線段長為（）1

O

的表面，E

分別是

AA1

，常見組合方式有三類：一是球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，截面圖為正方形

和內(nèi)圓則

A

22

B．

C．

22

D．

2ar；2二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形和其外接圓，則

22

a

；1.2球與長方體三是球?yàn)檎襟w的外接球，截面圖為長方形ACCA11

和其外接，則

AOR1

2

.

長體頂可一球上，故長方體存在外切.但不定存在切.設(shè)長方體的棱長通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的合問題，常用工具截圖，即根據(jù)組合的形式

為

a,,c,

其對線為

l

.球?yàn)殚L方體的外接球時，截面圖為長方體的對角面和其外接圓，和正方找到兩個幾何體的軸截面，通過兩個截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)

l2體外球道是樣，故球的半

2

2

而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。例2在長、寬、高分別為，，長方體內(nèi)有一個半徑為1球，任意擺動此長方體，則球經(jīng)122過的空間部分的體積為)πA.B.43

πC.3

πD.31.3球與正棱柱球與一般的正棱柱的組合體，常以外接形態(tài)居多。下面以正三棱柱為例，介紹本類題目的解法—構(gòu)造直角三角形法。設(shè)正三棱ABCABC的高為，底面邊長為a，如所示D和分11

2球錐體規(guī)的體如四體正棱錐、特殊的一些棱錐等夠和球進(jìn)行充分的組合以外接和內(nèi)切種態(tài)行合通球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)聯(lián)系，然后考查幾何體體積或者表面積別為上下底面的中心。根據(jù)幾何體的特點(diǎn)，心必落在高DD1

的中點(diǎn)，

等關(guān)題.hAOR,2

，借助直角三角形AOD的勾股定理可求

3

。

2.1球與正四面體正面作一規(guī)的何體，它既存在外接球，也在內(nèi)切球，并且兩心合，利用這點(diǎn)可順利決的徑正面的棱長關(guān)系。如圖，設(shè)正四面體

ABC

的棱長為

a

，內(nèi)切半徑為

r

，外接的半徑

，取的點(diǎn)為D

E

為

S

在面射連接

CDSD,SE

為正四體的高在截面三角形

,一個與邊

和DC相切，圓心在SE上的圓，即為內(nèi)切球的截面。因正面本的稱可知，外接球和內(nèi)切球的球同為

。此時例3正棱柱11

的各頂點(diǎn)都在半徑為R的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有最

CO,SE

,,

則有

R

，22得：值，為.6ara.412

這解是通過用兩心一的思路建含有個球的徑的等關(guān)系行2求解.時我們可以發(fā)現(xiàn)，球心帶來極大的方便.

O

為正四面體高的四等分點(diǎn).如果我們牢記這些數(shù)量關(guān)系，可為解題

是形，把棱補(bǔ)成正方體或者長方體。常見種形式：一三錐三棱相直且相等，則可以補(bǔ)形為一正方體，它的外接球的心就是三棱錐外球球。5，三棱錐ABD11

的外接的球心正方體

BD111

的外接的心合設(shè)

a1

，則

32

a

。二如三錐三側(cè)互相垂直且不相等，則可以形為一個長方體，它的接球的球心就三錐外球球

a

2

l44

（

l

為長方的體對線長。例將半徑都為１的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為()A.

363

B.2+

22646C.D.333例

在三錐

SABC

中

M、

分別是

SC、BC

的中點(diǎn)且

AM

,若側(cè)棱SA3

,正三棱錐

S

外球的表積是。球的外切正四面體，這個小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點(diǎn)的距離是中心到地面距離的3倍.]2.2球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐組合問題主要體現(xiàn)在球?yàn)槔獾慕忧蚪鉀Q的基本方法3A

B.

C.D.32.3球正棱錐球與正棱錐的組合，常見的有兩類，是球?yàn)槿忮F的外接球，此時三棱錐的各個頂點(diǎn)在球面上，根據(jù)截面圖的特點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解是球?yàn)檎忮F的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個面相切，球心到四個

2.4球與特殊的棱錐球一特的錐行合，一定要抓住棱錐的幾何質(zhì)，可綜合利用截面法補(bǔ)形法、等進(jìn)行求。面的距離相等，都為球半徑

．這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱面的距，故可用等體

例，面都直三形的三棱錐，可利用直角三形斜邊中點(diǎn)幾何特征，定球心位置。積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.例6在三棱錐－中，＝PB=PC=,棱PA與底面ABC成的角為°，則該三棱錐外接球的體積為（）

如圖8，三棱錐

S

,足

面

ABC

，

AB

，取

SC

的中點(diǎn)

O

，由直三角形性可：

OBOC,所O點(diǎn)為三棱錐SABC的外接球的球心則R

SC2

.4空問轉(zhuǎn)平問求解例8在半徑為的球內(nèi)放入大小相等的4小，則小的半徑最大值（）例7矩形

中，

AB

沿

將矩形

折成個二角

,四面體

的外接球的體是)A.

125125B.C.D.12

4球幾何體的各條棱相切球與幾體各棱切題，關(guān)要住與相的幾何質(zhì)達(dá)明球的位置目，然后通構(gòu)直三形行轉(zhuǎn)換求.3球球?qū)€多個小球結(jié)合在一，組合成復(fù)雜的幾何體問題，要求有富的空間想象能力，解決本類

如與正面各都切球的半為對的半

r

2a4

例8把個皮球放入如圖所示的由8根長均為20cm的絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球問題需掌握恰當(dāng)?shù)奶幚硎侄?，如?zhǔn)確確定各個小球的球心的位置關(guān)系，或者巧借截面圖等方法，將的面與根鐵絲都有接觸點(diǎn)，則皮球的半徑為（）5CD．CD．A.

cm

B.

cm

C.

10

D.

cm外球切問題綜合上面的四種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準(zhǔn)切1.（西理）一個正三棱錐的四個頂點(diǎn)都在半徑的面上，其中底面的三個頂點(diǎn)在該球的一點(diǎn)，通過作截面來解決.如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作；把個圓，該三錐體積是（）一個多面體的幾個頂點(diǎn)放在球面上即為球的內(nèi)接問題．解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑．發(fā)揮好空間想象力，借助于數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化，問題即

A

3

B．

333答案B可得解．如果是一些特殊的幾何體，如正方體、正四面體等可以借助結(jié)論直接求此時結(jié)論的記憶必須準(zhǔn)確

2.直三棱柱ABCC11

的頂點(diǎn)都同一球上，若

ABAC,1201

，則此的面等于。6解:

中

AC

,

BAC

,得

BC

,正弦定,可得

外圓半

7.海南、寧夏理科）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面．已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在徑r=2,設(shè)此圓圓心球心，在OBO積為4.

中，易得半徑

，此的面

9同個面，該棱的體積為，底面周長為，則這個球的體積為．8答案3正三棱柱ABCABC11為．

內(nèi)接于半徑為的球，若,兩的球面距離則正三棱柱的體積

8.（天津理）一個長方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個頂點(diǎn)上的三條棱的長分別1，，，則此球的表面積為．答案

答案

4.面積為

的正八面體的各個頂點(diǎn)都在同一個球面上，則此球體積為

9.全國Ⅱ理）一個正四棱柱的各個頂點(diǎn)在一個直徑為2cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長A

B．

．3

D．

2

為1，那么該棱柱的表面積為cm.答案24答案

P【解析】此八面體是每個面的邊長均為的正三角形，所以

3

知，

，則

C

D此球的直徑為2，故選A。5.知正方體外接球的體積是

，那么正方體的棱長等于（）

B

A

F

E

2

B.

44C.D.

10.（遼寧）如圖，半徑的球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐P，則此正六棱錐的側(cè)面積是答案D6.山東卷）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為()

________．答案

7A.

3

B.13C.1∶3

3

D.∶911.（遼寧省撫順一中）棱長為2的正四面體的四個頂點(diǎn)都在同一個球面上，若過該球球心的一個答案C7截面如圖，則圖中三角形正四面體的截的面積是.

A

26

B．

36

C

D．

22答案

15遼寧文已知點(diǎn)P,A,B,C,D是球表上的,⊥平面四邊形是長為2正形若PA=2

6

,OAB的面