【課件】1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題（1）課件-高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

1.4空間向量的應用第一章1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題（第1課時）1.理解點到直線、點到平面距離的公式及其推導.2.了解利用空間向量求點到直線、點到平面、直線到直線、直線到平面、平面到平面的距離的基本思想.核心素養(yǎng)：數(shù)學推理、數(shù)學運算.學習目標APQl我們知道，立體幾何中的距離問題包括點到直線、點到平面、兩條平行直線以及兩個平行平面的距離問題等如何用空間向量解決這些距離問題呢？下面我們先研究用向量方法求直線外一點P到直線l的距離．APQl思考類比點到直線的距離的求法，如何求兩條平行直線之間的距離？APQl已知平面α的法向量為，A為平面α內的定點，P是平面α外一點。過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則是直線l的方向向量，且點P到平面α的距離就是在直線l上的投影向量的長度，因此：一點P到直線l的距離新知學習二點P到平面α的距離思考

怎樣利用向量方法求直線到直線的距離、直線到平面的距離、平面到平面的距離？兩條直線平行，其中一條直線到另一條直線間的距離是其中一條直線上任一點到另一條直線的距離；一條直線和一個平面平行，直線到平面的距離就是這條直線上任一點到這個平面的距離；兩個平面平行，平面到平面的距離就是一個平面上任一點到這個平面的距離.例1

如圖1.4-18，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點，F(xiàn)為線段AB的中點。（1）求點B到直線AC1的距離；（2）求直線FC到平面AEC1的距離。典例剖析ACBDyxzA1B1C1D1EF圖1.4-18ACBDyxzA1B1C1D1EF圖1.4-18反思感悟與用平面向量解決平面幾何問題的“三步曲”類似，我們可以得出用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”：（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間的距離和夾角等問題；（3）把向量運算的結果“翻譯”成相應的幾何結論．跟蹤訓練1.如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點.(1)求點D到平面PEF的距離；解建立如圖所示的空間直角坐標系，設DH⊥平面PEF，垂足為H，x＋y＋z＝1，(2)求直線AC到平面PEF的距離.解連接AC，則AC∥EF，直線AC到平面PEF的距離即為點A到平面PEF的距離，平面PEF的一個法向量為n＝(2,2,3)，反思感悟用向量法求點面距的步驟(1)建系：建立恰當?shù)目臻g直角坐標系.(2)求點坐標：寫出(求出)相關點的坐標.(3)求向量：求出相關向量的坐標(，α內兩不共線向量，平面α的法向量n).(4)求距離d＝

.即時鞏固1.已知直線l過點A(1，－1,2)，和l垂直的一個向量為n＝(－3,0,4)，則P(3,5,0)到l的距離為（）C2.已知平面α的一個法向量為n＝(－2，－2,1)，點A(－1,3,0)在平面α內，則點P(－2,1,4)到平面α的距離為________.3.如圖，在空間直角坐標系中有長方體ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求點B到直線A′C的距離.解因為AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)，4.已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是C1C，D1A1的中點，求點A到EF的距離.解以D點為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖所示，設DA＝2，則A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(xiàn)(1,0,2)，5.若三棱錐P－ABC的三條側棱兩兩垂直，且滿足PA＝PB＝PC＝1，則點P到平面ABC的距離是（）解析分別以PA，PB，PC所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1).可以求得平面ABC的一個法向量為n＝(1,1,1)，D6.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別是C1C，D1A1，AB的中點，則點A到平面EFG的距離為________.解析建系如圖，則A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(xiàn)(1,0,2)，G(2,1,0)，設n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，點A到平面EFG的距離為d，令z＝1，此時n＝(1,1,1)，7.已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，則平面AB1C

與平面A1C1D

之間的距離為（）B解析建立如圖所示的空間直角坐標系，則A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1)，設平面A1C1D的一個法向量為m＝(x，y，1)，顯然平面AB