用直方圖算平均數(shù)-中位數(shù)、眾數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差

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在一次射擊比賽中,甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下﹕甲運(yùn)動(dòng)員﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙運(yùn)動(dòng)員﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.

觀察上述樣本數(shù)據(jù)，你能判斷哪個(gè)運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？

問題

為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，我們要通過樣本的數(shù)據(jù)對總體的數(shù)字特征進(jìn)行研究?！脴颖镜臄?shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征。1、眾數(shù)在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這一組數(shù)據(jù)的眾數(shù).2、中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).3、平均數(shù)

(1)

x=(x1+x2+……+xn)/n(2)

x

=x1f1+x2f2+……+xkfk

如何從頻率分布直方圖中估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)呢？

思考眾數(shù)：最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)2.25中位數(shù)：左右兩邊直方圖的面積相等.2.02平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.2.020.160.511.522.533.544.5月均用水量/t頻率組距0.08O0.30.440.50.28頻率組距0.10.20.30.40.5O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)

眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。如何在頻率分布直方圖中估計(jì)眾數(shù)可將眾數(shù)看作直方圖中面積最大長方形的“中心”0.52.521.5143.534.5頻率組距0.040.080.150.220.250.140.060.040.02前四個(gè)小矩形的面積和=0.49后四個(gè)小矩形的面積和=0.262.02如何在頻率分布直方圖中估計(jì)中位數(shù)思考：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，各個(gè)小矩形的重心在哪里？從直方圖估計(jì)總體在各組數(shù)據(jù)內(nèi)的平均數(shù)分別為多少？0.25，0.75，1.25，1.75，2.25，2.75，3.25，3.75，4.25.月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）.

平均數(shù)是2.02.

3、平均數(shù)平均數(shù)的估計(jì)值等于每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和

平均數(shù)：

x

=x1f1+x2f2+……+xkfk

選擇平均數(shù)更好：因?yàn)?，此時(shí)的眾數(shù)20萬比中位數(shù)25萬還小，所以眾數(shù)代表的是局部的數(shù)。中位數(shù)代表的雖然是大多數(shù)公路投資的數(shù)額，但由于其不受極端值的影響，不能代表全體，因而此時(shí)成了它的缺點(diǎn)。選擇平均數(shù)較好，能比較好的代表整體水平，但缺點(diǎn)是仍不能顯示出具體的數(shù)字特征

練習(xí)課本P74練習(xí)三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn)特征數(shù)優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)無法客觀反映總體特征中位數(shù)不受少數(shù)極端值的影響不受少數(shù)極端值的影響有時(shí)也是缺點(diǎn)平均數(shù)與每一個(gè)數(shù)據(jù)有關(guān)，更能反映全體的信息.受少數(shù)極端值的影響較大，使其在估計(jì)總體時(shí)的可靠性降低.探究

一個(gè)企業(yè)中，有職工的人數(shù)很多，他們的月收入是兩千左右，然后有少數(shù)人員是經(jīng)理以上層次的人，他們的月收入是三萬左右。如果是你老板，去招聘時(shí)，回答有關(guān)工資待遇方面的問題，你更愿意用哪個(gè)數(shù)字特征來回答這個(gè)問題呢？如果你是應(yīng)聘者，你更愿意希望老板是用哪個(gè)特征數(shù)字來回答？

平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息，但是，有時(shí)它也會(huì)影響我們，使我們對總體作出片面判斷。平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，但是，只有平均數(shù)還難以概況樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài)。當(dāng)樣本的平均數(shù)相等或相差無幾時(shí)，就要用樣本數(shù)據(jù)的離散程度來估計(jì)總體的數(shù)字特征。這時(shí)，我們引進(jìn)了一個(gè)概念：標(biāo)準(zhǔn)差！

12標(biāo)準(zhǔn)差

有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測試中各射靶十次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：

如果你是教練，你應(yīng)當(dāng)如何對這次射擊情況作出評價(jià)？如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇？標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離.它用來描述樣本數(shù)據(jù)的離散程度.在實(shí)際應(yīng)用中，標(biāo)準(zhǔn)差常被理解為穩(wěn)定性.1、平均距離標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離.它用來描述樣本數(shù)據(jù)的離散程度.在實(shí)際應(yīng)用中，標(biāo)準(zhǔn)差常被理解為穩(wěn)定性.規(guī)律：標(biāo)準(zhǔn)差越大，大則a越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；反之，數(shù)據(jù)的離散程度越小.計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的算法：1、算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)2、算出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差3、算出，這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差4、算出方差的算術(shù)平均值，即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s。16

注意：1、標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍：當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差，方差為0時(shí)，樣本各數(shù)據(jù)全相等，表明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性。2、因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能增大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度上是一樣的，但在解決實(shí)際問題時(shí)，一般采用標(biāo)準(zhǔn)差。17例1：畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的直方圖，說明它們的異同點(diǎn).（1）（2）（3）（4）18例2：甲乙兩人同時(shí)生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40mm的一種零件.為了對兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評比，從他們生產(chǎn)的零件中各抽出20件，量得其內(nèi)徑尺寸如下（單位：mm)甲乙從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸來看，誰生產(chǎn)的質(zhì)量較高？X甲≈25.401X乙≈25.406s甲≈0.037S乙≈0.06819

從樣本平均數(shù)看，甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙更接近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)，但是差異很??；從樣本標(biāo)準(zhǔn)差看，由于s甲＜S乙，因此甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙的穩(wěn)定程度高很多。于是，可以作出判斷，甲生產(chǎn)的零件的質(zhì)量比乙的高一些。X甲≈25.401X乙≈25.406s甲≈0.037S乙≈0.068

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練習(xí)課本P79練習(xí)21解:依題意計(jì)算可得

x1=900x2=900s1≈23.8s2≈42.6

甲乙兩種水稻6年平均產(chǎn)量的平均數(shù)相同,但甲的標(biāo)準(zhǔn)差比乙的小,所以甲的生產(chǎn)比較穩(wěn)定.22解:(1)平均重量約為496.86g,標(biāo)準(zhǔn)差約為6.55(2)重量位于(x-s,x+s)之間有14袋白糖,所占百分比為66.67%.23P81練習(xí)：若甲、乙兩隊(duì)比賽情況如下,下列說法哪些說法是不正確的：甲乙平均失球數(shù)平均失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差1.52.11.10.41、平均來說，甲的技術(shù)比乙的技術(shù)好；2、乙比甲技術(shù)更穩(wěn)定；3、甲隊(duì)有時(shí)表現(xiàn)差，有時(shí)表現(xiàn)