-多元函數(shù)微分習題-答案

-多元函數(shù)微分習題-答案求在區(qū)域上的最大值和最小值。例18此題是不等式約束問題，求解分兩步進展:【解】

①在內，解方程組得唯一駐點〔0，0〕。提示先求區(qū)域內部的可疑極值點，再求邊界上的可疑極值點，然后比較它們的函數(shù)值。第二頁，共25頁。2②在邊界上，構造拉格郎日函數(shù)

解方程組求出函數(shù)值比較大小可知，最大值為45最小值為9.得可疑極值點和第三頁，共25頁。3設f(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù)，且滿足求所滿足的一階微分方程，并求其通解.因此，所求的一階微分方程為解得(C為任意常數(shù)).例21，利用已知關系可得到關于y的一階微分方程.【分析】先求【解】第四頁，共25頁。4例22【解】其中具有一階連續(xù)偏導,且,求設第五頁，共25頁。5

設，其中是由確定，其中具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，求兩端對求導有兩端對求導有代入化簡例23【解】在第六頁，共25頁。6上各點的法線總垂直于常向量，并指出此曲面的特征.證明:設可微,試證〖證法一〗設為曲面上任意一點,其法向量為:所以例24的任意性知曲面上各點的法線總垂直于即常向量.第七頁，共25頁。7〖證法二〗任取曲面上一點那么直線L：在曲面上，而L的對稱式方程為L：可見過曲面上任意一點的直線均平行于{a，b，c}，即曲面是母線平行于{a，b，c}的柱面。第八頁，共25頁。8設可微,試證上任一點處的切平面都通過定點.那么該處的切平面為:+-[+]=0三個數(shù)a,b,c出現(xiàn)在方程中,我們首先猜測就是所求的點.代入滿足方程,故點在此切平面上.例25〖證法一〗任取曲面上一點第九頁，共25頁。9〖證法二〗分析曲面的幾何性質要比機械地代公式好,任取曲面上一點那么連接的直線方程L為:將直線方程代入曲面方程有這說明L上的點都在曲面上,即曲面是以為頂點的錐面,而曲面上任意一點的切平面都經過其頂點.設點第十頁，共25頁。10求由方程所確定的函數(shù)設的極值。解

對方程兩邊求全微分，得令，得例26第十一頁，共25頁。11代入原方程得：得駐點又第十二頁，共25頁。12所以函數(shù)沒有極值點。所以對于點，點不是極值點。對于點，點不是極值點。這是隱函數(shù)極值問題，計算方法與顯函數(shù)一樣，所不同的是計算可疑極值點要利用隱函數(shù)求導法。注意第十三頁，共25頁。13平面上兩定點A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點C,使△ABC面積解：設C點坐標為(x,y),那么

設拉格朗日函數(shù)解方程組例27最大.

第十四頁，共25頁。14得駐點對應面積而比較可知,點C與E重合時,三角形面積最大.第十五頁，共25頁。15求在點的兩個二階混合偏導數(shù)。解當時，類似:例28第十六頁，共25頁。16當時，顯然第十七頁，共25頁。17第六局部考研試題欣賞第十八頁，共25頁。設,其中具有連續(xù)二階偏導數(shù),求2004年利用復合函數(shù)求偏導的方法直接計算.提示第十九頁，共25頁。設z=z(x,y)是由確定的函數(shù)，求的極值點和極值.2004年因為所以提示第二十頁，共25頁。得令故將上式代入可得第二十一頁，共25頁。由于所以第二十二頁，共25頁。故又從而點(9,3)是z(x,y)的極小值點，極小值為z(9,3)=3.類似地，由可知從而點(-9,-3)是z(x,y)的極大值點，極大值為z(-9,-3)=-3.第二十三頁，共25頁。謝謝！第二十四頁，共25頁。人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說“書中自有黃金屋。〞通過閱讀科技書籍，我們能豐富知識，培養(yǎng)邏輯思維能力；通過閱讀文學作品，