-多元函數(shù)微分習(xí)題-答案

-多元函數(shù)微分習(xí)題-答案求在區(qū)域上的最大值和最小值。例18此題是不等式約束問題，求解分兩步進(jìn)展:【解】

①在內(nèi)，解方程組得唯一駐點(diǎn)〔0，0〕。提示先求區(qū)域內(nèi)部的可疑極值點(diǎn)，再求邊界上的可疑極值點(diǎn)，然后比較它們的函數(shù)值。第二頁，共25頁。2②在邊界上，構(gòu)造拉格郎日函數(shù)

解方程組求出函數(shù)值比較大小可知，最大值為45最小值為9.得可疑極值點(diǎn)和第三頁，共25頁。3設(shè)f(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足求所滿足的一階微分方程，并求其通解.因此，所求的一階微分方程為解得(C為任意常數(shù)).例21，利用已知關(guān)系可得到關(guān)于y的一階微分方程.【分析】先求【解】第四頁，共25頁。4例22【解】其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo),且,求設(shè)第五頁，共25頁。5

設(shè)，其中是由確定，其中具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，求兩端對(duì)求導(dǎo)有兩端對(duì)求導(dǎo)有代入化簡例23【解】在第六頁，共25頁。6上各點(diǎn)的法線總垂直于常向量，并指出此曲面的特征.證明:設(shè)可微,試證〖證法一〗設(shè)為曲面上任意一點(diǎn),其法向量為:所以例24的任意性知曲面上各點(diǎn)的法線總垂直于即常向量.第七頁，共25頁。7〖證法二〗任取曲面上一點(diǎn)那么直線L：在曲面上，而L的對(duì)稱式方程為L：可見過曲面上任意一點(diǎn)的直線均平行于{a，b，c}，即曲面是母線平行于{a，b，c}的柱面。第八頁，共25頁。8設(shè)可微,試證上任一點(diǎn)處的切平面都通過定點(diǎn).那么該處的切平面為:+-[+]=0三個(gè)數(shù)a,b,c出現(xiàn)在方程中,我們首先猜測就是所求的點(diǎn).代入滿足方程,故點(diǎn)在此切平面上.例25〖證法一〗任取曲面上一點(diǎn)第九頁，共25頁。9〖證法二〗分析曲面的幾何性質(zhì)要比機(jī)械地代公式好,任取曲面上一點(diǎn)那么連接的直線方程L為:將直線方程代入曲面方程有這說明L上的點(diǎn)都在曲面上,即曲面是以為頂點(diǎn)的錐面,而曲面上任意一點(diǎn)的切平面都經(jīng)過其頂點(diǎn).設(shè)點(diǎn)第十頁，共25頁。10求由方程所確定的函數(shù)設(shè)的極值。解

對(duì)方程兩邊求全微分，得令，得例26第十一頁，共25頁。11代入原方程得：得駐點(diǎn)又第十二頁，共25頁。12所以函數(shù)沒有極值點(diǎn)。所以對(duì)于點(diǎn)，點(diǎn)不是極值點(diǎn)。對(duì)于點(diǎn)，點(diǎn)不是極值點(diǎn)。這是隱函數(shù)極值問題，計(jì)算方法與顯函數(shù)一樣，所不同的是計(jì)算可疑極值點(diǎn)要利用隱函數(shù)求導(dǎo)法。注意第十三頁，共25頁。13平面上兩定點(diǎn)A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點(diǎn)C,使△ABC面積解：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),那么

設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組例27最大.

第十四頁，共25頁。14得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面積而比較可知,點(diǎn)C與E重合時(shí),三角形面積最大.第十五頁，共25頁。15求在點(diǎn)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)。解當(dāng)時(shí)，類似:例28第十六頁，共25頁。16當(dāng)時(shí)，顯然第十七頁，共25頁。17第六局部考研試題欣賞第十八頁，共25頁。設(shè),其中具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),求2004年利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)的方法直接計(jì)算.提示第十九頁，共25頁。設(shè)z=z(x,y)是由確定的函數(shù)，求的極值點(diǎn)和極值.2004年因?yàn)樗蕴崾镜诙?，?5頁。得令故將上式代入可得第二十一頁，共25頁。由于所以第二十二頁，共25頁。故又從而點(diǎn)(9,3)是z(x,y)的極小值點(diǎn)，極小值為z(9,3)=3.類似地，由可知從而點(diǎn)(-9,-3)是z(x,y)的極大值點(diǎn)，極大值為z(-9,-3)=-3.第二十三頁，共25頁。謝謝！第二十四頁，共25頁。人有了知識(shí)，就會(huì)具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說“書中自有黃金屋。〞通過閱讀科技書籍，我們能豐富知識(shí)，培養(yǎng)邏輯思維能力；通過閱讀文學(xué)作品，