七橋問題學(xué)科競賽小學(xué)教育教育專區(qū)

七橋問題學(xué)科競賽小學(xué)教育教育專區(qū)歐拉（－）歐拉18歲開始其數(shù)學(xué)研究生涯。在當(dāng)時的瑞士，青年數(shù)學(xué)家的工作條件非常艱難，而俄國新組建的圣彼德堡科學(xué)院正在網(wǎng)羅人才，經(jīng)人推薦，20歲的歐拉告別故鄉(xiāng)，來到圣彼得堡。從那時起他再也沒回過瑞士，但出于對祖國的濃厚感情，歐拉始終保留了瑞士國籍。在圣彼得堡的前14年間，歐拉以無可匹敵的工作效率在分析學(xué)、數(shù)論和力學(xué)等領(lǐng)域作出了許多輝煌的成就，聲望與日俱增，但由于過度的勞累，1738年歐拉在一場疾病之后右眼失明了。但他仍舊堅(jiān)忍不拔地工作。他也熱愛生活，酷愛音樂。他非常喜歡孩子。（他一生有過13個孩子，除5個以外都夭折了）寫論文時，往往膝上抱著嬰兒，大一點(diǎn)兒的孩子則繞膝戲耍。所有人的老師第二頁，共15頁。1740年歐拉接受了普魯士國王腓特烈（Frederick又譯為弗雷德里克）的邀請，到柏林主持普魯士研究院，在那里工作了27年。也是其科學(xué)研究的鼎盛時期，他被腓特烈稱贊為才華橫溢的典范，但性格純樸的他不喜張揚(yáng)，與腓特烈關(guān)系并不融洽，因而在那里過得不太愉快。而他在柏林期間，俄國人仍保留了他的圣彼得堡科學(xué)院院士的資格，薪水照發(fā)不誤。腓特烈宮庭的冷遇與俄羅斯人的熱情相對照，導(dǎo)致1766年歐拉接受葉卡捷林娜二世之邀，重返圣彼得堡科學(xué)院，并在那里度過了生命的最后十七年。返回圣彼得堡不久便雙目失明，又遭受毀滅性火災(zāi)和喪偶的打擊。而他那驚人的多產(chǎn)一點(diǎn)沒有受到影響。他依靠驚人的記憶和甚至在最嘈雜的擾亂中精力高度集中的能力繼續(xù)進(jìn)行創(chuàng)造性的工作，口述給他的秘書或在大石板上寫下公式，讓秘書抄下來。他的不朽著作是包括886本書和論文的歐拉全集。他是數(shù)學(xué)史著作最豐富的數(shù)學(xué)家。人們把他和阿基米德、牛頓、高斯并列一起，稱為歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家。1783年9月18日，與同事討論天王星軌跡計算的歐拉，突然從椅子上滑下，說了聲：“我要死了?！痹僖矝]有睜開眼睛。歐拉在數(shù)學(xué)和科學(xué)上的貢獻(xiàn)太多了。他從18歲開始發(fā)表論文，每年以800頁的速度發(fā)表高質(zhì)量的獨(dú)創(chuàng)性研究成果。他的全集比英國百科全書的頁數(shù)還多。彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，競足足忙碌了47年。除了在數(shù)學(xué)上有突出的成就，在力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)等方面也閃現(xiàn)著耀眼的光芒。其知識淵博，興趣廣泛，涉及醫(yī)學(xué)、植物學(xué)、化學(xué)元素、神學(xué)、音樂等方面。在這里我們僅僅指出他的一些不難理解的貢獻(xiàn)。首先，他采用了一些簡明、精煉的數(shù)學(xué)符號，如用f(x)表示函數(shù)，用e表示自然對數(shù)的底，用a、b、c表示ΔABC的三邊，r、R表示三角形內(nèi)外切圓半徑，∑表示求和符號，i表示，△y、△2y……表示有限差分，還有現(xiàn)代三角函數(shù)符號等等。著名的歐拉公式；當(dāng)時，成為。聯(lián)系著數(shù)學(xué)中五個最重要的數(shù)。歐拉的科學(xué)足跡不但遍及數(shù)學(xué)的各個分支，而且遍及當(dāng)時科學(xué)的各個領(lǐng)域，所以人們從很多的地方都可以看到歐拉的名字，以他的名字命名的公式、定理、函數(shù)、方程多達(dá)20多個，如初等幾何中的歐拉線，多面體的歐第三頁，共15頁。拉定理，解析幾何的歐拉變換公式、四次方程的歐拉解法、數(shù)論中的歐拉定理和歐拉Ф函數(shù)，級數(shù)理論中的歐拉常數(shù)、微分方程中的歐拉方程、變分學(xué)中的歐拉方程、復(fù)變函數(shù)中的歐拉公式等數(shù)不勝數(shù)，高等微積分中的β和γ函數(shù)也歸功于歐拉。這些數(shù)學(xué)成果只占他研究成果的40%。他的著作主要是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決各種科學(xué)問題，尤其是月球運(yùn)動理論、潮汐、天體力學(xué)的三體問題，橢球間的引力、水力學(xué)、船舶建造、火炮和音樂理論。還有一點(diǎn)事實(shí)也頗耐人尋味。他?？恳恍┎恢?jǐn)慎的步驟（當(dāng)然他本意是力求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模疫\(yùn)地得到真正豐富的結(jié)果。如他沒有能適當(dāng)?shù)刈⒁獍瑹o限過程的公式的收斂性和數(shù)學(xué)存在性；他不小心地把只對有限和有效的定律應(yīng)用于無限級數(shù)；他把冪級數(shù)當(dāng)作無限次多項(xiàng)式，不留意地把有限多項(xiàng)式的著名性質(zhì)推廣到它們身上。關(guān)于他非凡的記憶力和心算能力，有這樣的事實(shí)為證：他在70歲還能準(zhǔn)確地回憶起他年輕時讀的荷馬史詩《伊里亞特》每頁的頭行和末行。他能夠背誦出當(dāng)時數(shù)學(xué)領(lǐng)域的主要公式和前100個素數(shù)的前六次冪。在他雙目失明，家里發(fā)生大火，書籍及研究論文大多被付之一炬，他憑著記憶，由兒子記錄，發(fā)表論文400多篇，論著多部，幾乎占了畢生著作的半數(shù)。(畢生發(fā)表論文856篇，專著32部).第四頁，共15頁。哥尼斯堡七橋問題故事發(fā)生在18世紀(jì)的哥尼斯堡城.流經(jīng)那里的一條河中有兩個小島，還有七座橋把這兩個小島與河岸聯(lián)系起來，那里風(fēng)景優(yōu)美，游人眾多.在這美麗的地方，人們議論著一個有趣的問題：一個游人怎樣才能不重復(fù)地一次走遍七座橋，最后又回到出發(fā)點(diǎn)呢？對于這個貌似簡單的問題，許多人躍躍欲試，但都沒有獲得成功.直到1836年，瑞士著名的數(shù)學(xué)家歐拉才證明了這個問題的不可能性。第五頁，共15頁。歐拉解決這個問題的方法非常巧妙.他認(rèn)為：人們關(guān)心的只是一次不重復(fù)地走遍這七座橋，而并不關(guān)心橋的長短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一個點(diǎn)，而橋則可以看成是連接這些點(diǎn)的一條線.這樣，一個實(shí)際問題就轉(zhuǎn)化為一個幾何圖形（如下圖）能否一筆畫出的問題了.第六頁，共15頁。那么，什么叫一筆畫？什么樣的圖可以一筆畫出？歐拉又是如何徹底證明七橋問題的不可能性呢？下面，我們就來介紹這一方面的簡單知識。數(shù)學(xué)中，我們把由有限個點(diǎn)和連接這些點(diǎn)的線（線段或?。┧M成的圖形叫做圖（如圖（a））；圖中的點(diǎn)叫做圖的結(jié)點(diǎn)；連接兩結(jié)點(diǎn)的線叫做圖的邊.如圖（b）中，有三個結(jié)點(diǎn)：E、F、G，四條邊：線段EG、FG以及連接E、F的兩段弧.從圖（a）、（b）中可以看出，任意兩點(diǎn)之間都有一條通路（即可以從其中一點(diǎn)出發(fā)，沿著圖的邊走到另一點(diǎn)，如A到I的通路為A→H→I或A→D→I…），這樣的圖，我們稱為連通圖；而下圖中（c）的一些結(jié)點(diǎn)之間卻不存在通路（如M與N），像這樣的圖就不是連通圖。第七頁，共15頁。所謂圖的一筆畫，指的就是：從圖的一點(diǎn)出發(fā)，筆不離紙，遍歷每條邊恰好一次，即每條邊都只畫一次，不準(zhǔn)重復(fù).從上圖中容易看出：能一筆畫出的圖首先必須是連通圖.但是否所有的連通圖都可以一筆畫出呢？下面，我們就來探求解決這個問題的方法。為了敘述的方便，我們把與奇數(shù)條邊相連的結(jié)點(diǎn)叫做奇點(diǎn)，把與偶數(shù)條邊相連的點(diǎn)稱為偶點(diǎn).如上圖（a）中的八個結(jié)點(diǎn)全是奇點(diǎn)，上圖（b）中E、F為奇點(diǎn)，G為偶點(diǎn)。容易知道，上圖（b）可以一筆畫出，即從奇點(diǎn)E出發(fā)，沿箭頭所指方向，經(jīng)過F、G、E，最后到達(dá)奇點(diǎn)F；同理，從奇點(diǎn)F出發(fā)也可以一筆畫出，最后到達(dá)奇點(diǎn)E.而從偶點(diǎn)G出發(fā)，卻不能一筆畫出.第八頁，共15頁。事實(shí)上，這并不是偶然現(xiàn)象.假定某個圖可以一筆畫成，且它的結(jié)點(diǎn)X既不是起點(diǎn)，也不是終點(diǎn)，而是中間點(diǎn)，那么X一定是一個偶點(diǎn).這是因?yàn)闊o論何時通過一條邊到達(dá)X，由于不能重復(fù)，必須從另一條邊離開X.這樣與X連結(jié)的邊一定成對出現(xiàn)，所以X必為偶點(diǎn)，也就是說：奇點(diǎn)在一筆畫中只能作為起或終點(diǎn).由此可以看出，在一個可以一筆畫出的圖中，奇點(diǎn)的個數(shù)最多只有兩個。在七橋問題的圖中有四個奇點(diǎn)，因此，歐拉斷言：這個圖無法一筆畫出，也即游人不可能不重復(fù)地一次走遍七座橋.更進(jìn)一步地，歐拉在解決七橋問題的同時徹底地解決了一筆畫的問題，給出了下面的歐拉定理：第九頁，共15頁。①凡是由偶點(diǎn)組成的連通圖，一定可以一筆畫成；畫時可以任一偶點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一定能以這個點(diǎn)為終點(diǎn)畫完此圖。②凡是只有兩個奇點(diǎn)（其余均為偶點(diǎn)）的連通圖，一定可以一筆畫完；畫時必須以一個奇點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個奇點(diǎn)為終點(diǎn)。③其他情況的圖，都不能一筆畫出。下面我們就來研究一筆畫問題的具體應(yīng)用：第十頁，共15頁。例1觀察下面的圖形，說明哪些圖可以一筆畫完，哪些不能，為什么？對于可以一筆畫的圖形，指明畫法.第十一頁，共15頁。(a)圖：可以一筆畫，因?yàn)橹挥袃蓚€奇點(diǎn)A、B；畫法為A→頭部→翅膀→尾部→翅膀→嘴。(b)圖：不能一筆畫，因?yàn)榇藞D不是連通圖。(c)圖：不能一筆畫，因圖中有四個奇點(diǎn)：A、B、C、D。(d)圖：可以一筆畫，因?yàn)橹挥袃蓚€奇點(diǎn)；畫法為：A→C→D→A→B→E→F→G→H→I→J→K→B。(e)圖：可以一筆畫，因?yàn)闆]有奇點(diǎn)；畫法可以是：A→B→C→D→E→F→G→H→I→J→B→D→F→H→J→A。(f)圖：不能一筆畫出，因?yàn)閳D中有八個奇點(diǎn)。注意：在上面能夠一筆畫出的圖中，畫法并不是惟一的.事實(shí)上，對于有兩個奇點(diǎn)的圖來說，任一個奇點(diǎn)都可以作為起點(diǎn)，以另一個奇點(diǎn)作為終點(diǎn)；對于沒有奇點(diǎn)的圖來說，任一個偶點(diǎn)都可以作為起點(diǎn)，最后仍以這點(diǎn)作為終點(diǎn)。第十二頁，共15頁。例2下圖是國際奧委會的會標(biāo)，你能一筆把它畫出來嗎？第十三頁，共15頁。例3下圖是某地區(qū)所有街道的平面圖.甲、乙二人同時分別從A、B出發(fā)，以相同的速度走遍所有的街道，最后到達(dá)C.如果允許兩人在遵守規(guī)則的條件下可以選擇最短路徑的話，問兩人誰能最先到達(dá)C？第十四頁，共15頁。分析如下:該題要求二人都必須走遍所有的街道最后到達(dá)C，而且兩人的速度相同.因此，誰走的路程少，誰便可