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基本不等式

下圖是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的.顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。情景導入思考：這會標中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系？探究1ab1、正方形ABCD的面積S=＿＿＿＿＿２、四個直角三角形的面積和S’

=＿＿３、S與S’有什么樣的不等關系？

探究１：S>S′問：那么它們有相等的情況嗎？ADBCEFGHba重要不等式：一般地，對于任意實數(shù)a、b，我們有當且僅當a=b時，等號成立。ABCDE(FGH)ab思考：你能給出不等式的證明嗎？證明：（作差法）問題一替換后得到：即：即：你能用不等式的性質直接推導這個不等式嗎？問題二證明：要證只要證①要證①，只要證②要證②，只要證③顯然,③是成立的.當且僅當a=b時,③中的等號成立.分析法問題二證明不等式：特別地，若a>0，b>0，則≥通常我們把上式寫作：當且僅當a=b時取等號，這個不等式就叫做基本不等式.基本不等式在數(shù)學中，我們把叫做正數(shù)a，b的算術平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；文字敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).適用范圍：a>0,b>0

函數(shù)，當取什么值時的值最小？最小值是多少？例題解當且僅當答：當取1時，的值最小，最小值為4適用范圍文字敘述“=”成立條件a=ba=b兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍a,b∈Ra>0,b>0課堂小結：注意從不同角度認識基本不等式思考題1.求函數(shù)

f(x)=x

+

(x＞-1)

的最小值.1x+12.若

0<x<,求函數(shù)

y=x(1-2x)

的最大值.12=(x

+1)+

-11x+1

f(x)=x

+

1x+1=1,≥2(x+1)?-11x+1當且僅當取“=”號.∴當

x=0

時,函數(shù)

f(x)

的最小值是

1.x+1=

,即

x=0

時,1x+1解:

∵

x＞-1,∴x+1>0.∴1.求函數(shù)

f(x)=x

+

(x＞-1)

的最小值.1x+1配湊系數(shù)分析:

x+(1-2x)

不是

常數(shù).2=1為

解:

∵0<x<,∴1-2x>0.12∴y=x(1-2x)=?2x?(1-2x)12≤

?[]22x+(1-2x)21218=.

當且僅當時,取“=”號.2x=(1-2x),即

x=

14∴當

x=時,

函數(shù)

y=x(1-2

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