【公開課課件】2.2等差數(shù)列

等差數(shù)列1+2+3+···+100=?

高斯(1777—1855）德國(guó)著名數(shù)學(xué)家

得到數(shù)列1，2，3，4，…，100引例一

姚明剛進(jìn)NBA一周訓(xùn)練罰球的個(gè)數(shù)：第一天：6000，第二天：6500，第三天：7000，第四天：7500，第五天：8000，第六天：8500，第七天：9000.得到數(shù)列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000引例二

在過(guò)去的三百多年里，人們分別在下列時(shí)間里觀測(cè)到了哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（）你能預(yù)測(cè)出下一次的大致時(shí)間嗎？2062相差76引例三

姚明罰球個(gè)數(shù)的數(shù)列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000發(fā)現(xiàn)？觀察：以上數(shù)列有什么共同特點(diǎn)？從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一常數(shù)。高斯計(jì)算的數(shù)列：1，2，3，4，…，100觀察歸納

觀測(cè)到哈雷彗星時(shí)間的數(shù)列：1682,1758,1834,1910,1986，2062

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示。

遞推公式：an－an－1=d（d是常數(shù)，n≥2，n∈N*）等差數(shù)列定義②6000，6500，7000，7500，8000，8500,9000公差d=1公差d=500公差d=①1，2，3,…,100；③1682,1758,1834,1910,1986,20622、常數(shù)列a，a，a，…是否為等差數(shù)列?若是，則公差是多少?若不是，說(shuō)明理由想一想公差是0

3、數(shù)列0，1，0，1，0，1是否為等差數(shù)列?若是，則公差是多少?若不是，說(shuō)明理由

不是

公差d是每一項(xiàng)（第2項(xiàng)起）與它的前一項(xiàng)的差，防止把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒，而且公差可以是正數(shù)，負(fù)數(shù)，也可以為0

注意1、數(shù)列6，4，2，0,-2,-4…是否為等差數(shù)列？若是，則公差是多少?若不是，說(shuō)明理由

公差是-2

在如下的兩個(gè)數(shù)之間，插入一個(gè)什么數(shù)后這三個(gè)數(shù)就會(huì)成為一個(gè)等差數(shù)列：（1）2，()，4（2）-12，()，03-6

如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)。(3),(),A=(a+b)/2A為a,b的等差中項(xiàng)等差中項(xiàng)1，4，7，10，13，16，(),()……你能求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？…

…根據(jù)規(guī)律填空要是有通項(xiàng)公式該有多好啊!1922思考2

已知等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)是a1，公差da2-a1=d……an-an-1=d(1)式+(2)式+…+(n-1)式得：a3-a2=da4-a3=d（1）（2）（3）（n-1）通項(xiàng)公式

累差迭加法an=a1+（n-1）dan-a1=（n-1）d，即（

n∈N*）an=a1+（n-1）d當(dāng)n=1時(shí)上式也成立，故有

a2-a1=da3-a2=dan-an-1=da4-a3=d……a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3dan=a1+(n-1)d……an=a1+(n-1)d等差數(shù)列的通項(xiàng)公式當(dāng)n=1時(shí)，等式也成立。

由遞推公式：an－an－1=d（d是常數(shù)，n≥2，n∈N*）可得:方法二

例1（1）求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項(xiàng)

（2）－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13，…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？解：（1）由a1=8,d=5-8=-3,n=20,得a20=(2)由a1=8,d=－9－(－5)=－4,得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=－5－4（n－1）由題意知，問(wèn)是否存在正整數(shù)n，使得－401＝－5－4（n－1）成立解關(guān)于n的方程，得n＝100即－401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)。8+(20-1)×（－3）=-49例題講解例2在等差數(shù)列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首項(xiàng)a1與公差d.解：由題意知，a5=10＝a1+4da12=31＝a1+11d解得:a1=-2d=3即等差數(shù)列的首項(xiàng)為-2,公差為3點(diǎn)評(píng)：利用通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化成首項(xiàng)和公差聯(lián)立方程求解例３

梯子的最高一級(jí)寬３３cm，最低一級(jí)１１０cm，中間還有１０級(jí)，各級(jí)的寬度成等差數(shù)列．計(jì)算中間各級(jí)的寬度．答：梯子中間各級(jí)的寬度從上到下依次是４０cm

，４７cm

，５４cm

，６１cm

，６８cm

，７５cm

，８２cm

，８９cm

，９６cm

，１０３cm求基本量a1和d

：根據(jù)已知條件列方程，由此解出a1和d，再代入通項(xiàng)公式。

像這樣根據(jù)已知量和未知量之間的關(guān)系，列出方程求解的思想方法，稱方程思想。這是數(shù)學(xué)中的常用思想方法之一。題后點(diǎn)評(píng)

求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵步驟：(1)已知a4=10,a7=19,求a1與d.1.在等差數(shù)列{an}中，(2)已知a3=9,a9=3,求d與a12.解：(1)由題意知，a4=10＝a1+3da7=19＝a1+6d解得:a1=11d=3即等差數(shù)列的首項(xiàng)為1,公差為3(2)由題意知，a3=9＝a1+2da9=3＝a1+8d解得:a1=1d=-1所以：a12=a1+11d＝11＋11×(-1)=0

練一練300<83+5×（n-1）5002.等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a-6，-3a-5，-10a-1，則a等于（)

A.1B.-1C.-D.3.在數(shù)列{an}中a1=1，an=an+1+4，則a10=

.(-3a-5)-(a-6)=(-10a-1)-(-3a-5)提示：提示：d=an+1-an=-44.在等差數(shù)列{an}中a1=83，a4=98，則這個(gè)數(shù)列有多少項(xiàng)在300到500之間？-35提示：n=45，46，…，8440鞏固練習(xí)等差數(shù)列的圖象1（1）數(shù)列：-2，0，2，4，6，8，10，…12345678910123456789100●●●●●●●探究等差數(shù)列的圖象2（2）數(shù)列：7，4，1，-2，…12345678910123456789100●●●●等差數(shù)列的圖象3（3）數(shù)列：4，4，4，4，4，4，4，…12345678910123456789100●●●●●●●●●●直線的一般形式：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：等差數(shù)列的圖象為相應(yīng)直線上的一系列離散的點(diǎn)。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可視為關(guān)于n的一次函數(shù)。等差數(shù)列與一次函數(shù)關(guān)系一次函數(shù)解析式：（n∈N*

，)遷移與應(yīng)用答案:A接軌高考（2012年福建理2）A1B2C3D4(2011四川理8）A0B3C8D11BB一個(gè)定義：an-an-1=d（d是常數(shù)，n≥2，n∈N*）

一個(gè)公式：an=a1+（n-1）d一種思想：方程思想一種關(guān)系：數(shù)列與函數(shù)課堂小結(jié)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)：一個(gè)概念：A=(a+b)/2本節(jié)課的能力要求是：（1）理解等差數(shù)列的概念（2）掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（3）用公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題課后練習(xí)書上39頁(yè)1，2，3，4，5課后作業(yè)書上40頁(yè)1，4能力提升課后思考題探究：已知等差數(shù)列{