【高考風(fēng)向標(biāo)】年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 第1講 合情推理和演繹推理課件 理

第十章推理與證明第1講合情推理和演繹推理考綱要求考綱研讀合情推理與演繹推理1．了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．2．了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理．3．了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異.在數(shù)學(xué)中，由于所有命題的正確性都是用演繹推理來(lái)證明的，所以從形式上看，主要考查類比推理和歸納推理．合情推理需根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后再提出猜想．在進(jìn)行類比推理時(shí)，要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象所迷惑.1．合情推理歸納推理類比推理

(1)定義：根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理叫做合情推理． (2)合情推理可分為__________和__________兩類： ①歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理．簡(jiǎn)言之，歸納推理是由_____到_____、由_____到______的推理；部分整體個(gè)別一般

②類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象具有的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理．簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．2．演繹推理定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理叫做演繹推理．

簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理，“三段論”是演繹推理的一般模式，它包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷．1．在△ABC中，若BC⊥AC，AC＝b，BC＝a，則△ABC的外接圓半徑r＝，將此結(jié)論拓展到空間，可得出的正確結(jié)論是：在四面體S－ABC中，若SA，SB，SC兩兩垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，則四面體S－ABC的外接球半徑R＝__________.2．已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的—，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是________________________________.1314正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的3．在平面直角坐標(biāo)系中，直線一般方程為Ax＋By＋C＝0，圓心在(x0，y0)的圓的一般方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2；則類似地，在空間直角坐標(biāo)系中，平面的一般方程為_________________，球心在(x0，y0，z0)的球的一般方程為____________________________.Ax＋By＋Cz＋D＝0(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2等差數(shù)列等比數(shù)列an＝a1＋(n－1)dbn＝b1qn－1an＝am＋(n－m)dbn＝_________

則數(shù)列{cn}為等差數(shù)列若dn＝____________， 則數(shù)列{dn}為等比數(shù)列bmqn－m

4．類比是一個(gè)偉大的引路人．我們知道，等差數(shù)列和等比數(shù)列有許多相似的性質(zhì)，請(qǐng)閱讀下表并根據(jù)等差數(shù)列的結(jié)論，類似的得出等比數(shù)列的兩個(gè)結(jié)論：5.(2010年廣東廣州海珠區(qū)測(cè)試)如圖10－1－1，在平面上，用一條直線截正方形的一個(gè)角，則截下一個(gè)直角三角形按圖10－1－1所標(biāo)邊長(zhǎng)，由勾股定理得c2＝a2＋b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O－ABC，若用s1，s2，s3表示三個(gè)側(cè)面面積，s4表示截面面積，你類比得到的結(jié)論是_______________.圖10－1－1例1：①(2011年山東)設(shè)函數(shù)

f(x)＝考點(diǎn)1歸納推理

xx＋2，觀察：f1(x)＝f(x)＝

xx＋2，f2(x)＝f[f1(x)]＝

x3x＋4，f3(x)＝f[f2(x)]＝

x7x＋8，f4(x)＝f[f3(x)]＝

x15x＋16，

… 根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得： 當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝______________.②(2011年陜西)觀察下列等式式1＝1.2＋3＋4＝9.3＋4＋5＋6＋7＝25.4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝＝49.照此規(guī)規(guī)律，，第五五個(gè)等等式應(yīng)應(yīng)為_____________________．解析：：把已知知等式式與行行數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)起起來(lái)，，則每每一個(gè)個(gè)等式式的左左邊的的式子的的第一一個(gè)數(shù)數(shù)是行行數(shù)n，加數(shù)數(shù)的個(gè)個(gè)數(shù)是是2n－1；等等式右右邊都都是完完全平方方數(shù)，，行數(shù)等號(hào)左邊的項(xiàng)數(shù)111＝12＋3＋4＝923353＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝4947則第5行等號(hào)的左邊有9項(xiàng)，右邊是9的平方，所以5＋6＋…＋[5＋(2×5－1)－1]＝92.即5＋6＋…＋13＝81.答案：：5＋6＋…＋13＝＝81歸納推推理的的一般般步驟驟：①①通過(guò)過(guò)對(duì)某某些個(gè)個(gè)體的的觀察察、分析和和比較較，發(fā)發(fā)現(xiàn)它它們的的相同同性質(zhì)質(zhì)或變變化規(guī)規(guī)律；；②從從已知知的相相同性質(zhì)中中推出出一個(gè)個(gè)明確確表達(dá)達(dá)的一一般性性命題題．如如以上上兩題題歸納納總結(jié)結(jié)時(shí)，，看等號(hào)號(hào)左邊邊的變變化規(guī)規(guī)律，，右邊邊結(jié)果果的特特點(diǎn)，，根據(jù)據(jù)以上上規(guī)律律寫出出第五個(gè)等等式，，注意意行數(shù)數(shù)、項(xiàng)項(xiàng)數(shù)及及其變變化規(guī)規(guī)律是是解答答本題題的關(guān)關(guān)鍵．．【互動(dòng)動(dòng)探究究】1．觀觀察以以下等等式：：1＝11＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝101＋2＋3＋4＋5＝1513＝113＋23＝913＋23＋33＝3613＋23＋33＋43＝10013＋23＋33＋43＋53＝225可以推推測(cè)13＋23＋33＋…＋＋n3＝__________(用用含有有n的式子子表示，，其中中n為自然然數(shù))．n2(n＋1)2

4考點(diǎn)2類類比比推理理例2：在直角角△ABC中，兩兩直角角邊的的長(zhǎng)分分別為為a，b，直角角頂棱SA，SB，SC兩兩垂垂直，，SA＝a，SB＝b，SC＝c，點(diǎn)S到平面面ABC的距離離為h，類比比上述述結(jié)論論，寫寫出h與a，b，c的等式式關(guān)系系并證明．．如圖D16，過(guò)S作△ABC所在平平面的的垂線線，垂垂足為為O，連接接CO并延長(zhǎng)長(zhǎng)交AB于D，連接接SD.∵SO⊥平面面ABC，∴SO⊥AB.∵SC⊥SA，SC⊥SB，∴SC⊥平面面ABC.∴SC⊥AB，SC⊥SD.∴AB⊥平面SCD.∴AB⊥SD.圖D16類比推理經(jīng)經(jīng)常用到轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化與化歸歸的思想，，如空間轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為平面、、三角形類類比三棱錐錐、正方形形類比正方方體、實(shí)數(shù)數(shù)類比到向量、橢圓圓類比到雙雙曲線、等等差數(shù)列類類比到等比比數(shù)列等．．類比推理的一般步步驟：①找找出兩類事事物之間的的相似性或或一致性；；②用一類事物的性性質(zhì)去推測(cè)測(cè)另一類事事物的性質(zhì)質(zhì)，得出一一個(gè)明確的的命題(猜想).【互動(dòng)探究究】2．已知O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)點(diǎn)，連接AO，BO，CO并延長(zhǎng)平面幾何題題，其證明明常采用““面積法””．請(qǐng)運(yùn)用類比比思想，對(duì)對(duì)于空間中中的四面體體V—BCD，存在什么么類似的結(jié)論論？并用體體積法證明明．解：在四面體V—BCD中，任取一一點(diǎn)O，連接VO，DO，BO，CO并延長(zhǎng)分別別交四個(gè)面面于E，F(xiàn)，G，H點(diǎn)．考點(diǎn)3演演繹推理理例3：(2011年江西)已知兩個(gè)等等比數(shù)列{an}，{bn}，滿足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求數(shù)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公公式；(2)若數(shù)數(shù)列{an}唯一，求求a的值．演繹推理是是一種必然然性推理，，只要前提提和推理形形式正確，其結(jié)結(jié)論也必然然正確．【互動(dòng)探究究】3．(2011年廣東湛江江測(cè)試)命題：“若若空間兩條條直線a，b分別垂直平面面α，則a∥b”，學(xué)生小小夏這樣證證明：設(shè)a，b與面α分別相交于于A，B，連接A，B，∵a⊥α，b⊥α，AB?α，∴a⊥AB，b⊥AB.①②∴a∥b.③②?③這里的證明明有兩個(gè)推推理，即：：①?②和和②?③.老師評(píng)改改認(rèn)為小夏的證明明推理不正正確，這兩個(gè)推理理中不正確確的是_______.考點(diǎn)4信息給予題題則下列結(jié)論論恒成立的的是()A．T，V中至少有一個(gè)關(guān)于乘乘法是封閉閉B．T，V中至多有一一個(gè)關(guān)于乘乘法是封閉閉C．T，V中有且只有有一個(gè)關(guān)于于乘法是封封閉D．T，V中每一個(gè)關(guān)關(guān)于乘法是是封閉例4：(2011年廣廣東)設(shè)S是整數(shù)集集Z的非空子子集，如如果?a，b∈S，有ab∈S，則稱S關(guān)于數(shù)的的乘法是是封閉的的．若T，V是Z的兩個(gè)不不相交的的非空子子集，T∪V＝Z，且?a，b，c∈T，有abc∈T，?x，y，z∈V，有xyz∈V.答案：A解析：由于T∪V＝Z，故整數(shù)數(shù)1一定定在T，V兩個(gè)集合合中的一一個(gè)中，，不妨設(shè)設(shè)1∈T，則?a，b∈T，由于a，b,1∈T，則a·b·1∈T，即ab∈T，從而T對(duì)乘法封封閉．另一方面面，當(dāng)T＝{非負(fù)負(fù)整數(shù)}，V＝{負(fù)整整數(shù)}時(shí)時(shí)，T關(guān)于乘法法封閉，，V關(guān)于乘法法不封閉閉，故D不對(duì)；；當(dāng)T＝{奇數(shù)數(shù)}，V＝{偶數(shù)數(shù)}時(shí)，，T，V顯然關(guān)于于乘法都都是封閉閉的，故故B，C不對(duì)．．從而本題題就選A.【互動(dòng)探探究】4．(2011年四川)設(shè)S為復(fù)數(shù)集集C的非空子子集．若對(duì)任意意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，則稱S為封閉集集．下列列命題：：①集合S＝{a＋bi|(a，b為整數(shù)，，i為為虛數(shù)單單位)}為封閉閉集；②若S為封閉集集，則一一定有0∈S；③封閉集集一定是是無(wú)限集集；④若S為封閉集集，則滿滿足S?T?C的任意集集合T也是封閉閉集．其中真命命題是______(寫出所所有真命命題的序序號(hào))．．①②1．合情情推理主主要包括括類比推推理和歸歸納推理理．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)研究中中，在得到一個(gè)個(gè)新結(jié)論論之前，，合情推推理能幫幫助猜測(cè)測(cè)和發(fā)現(xiàn)現(xiàn)結(jié)論，，在證明明一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)結(jié)論之之前，合合情推理理常常能能為證明明提供思思路與方方向．2．演繹繹推理是是從一般般的原理理出發(fā)，，推出某某個(gè)特殊殊情況下下的結(jié)論的推理理方法，，是由一一般到特特殊的推推理，常常用的一一般模式式是三段段論．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)問(wèn)題的的證明方方法主要要通過(guò)演演繹推理理來(lái)進(jìn)行行．3．