【高三理科數(shù)學第一輪復習】第八章-第4節(jié)-直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

第4節(jié)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)最新考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行的有關性質(zhì)與判定定理；2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關空間圖形的平行關系的簡單命題.知

識

梳

理1.直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒有公共點，則稱直線l與平面α平行.(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示判定定理平面外_______________________________平行，則該直線平行于此平面a?α，b?α，a∥b?a∥α性質(zhì)定理一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的________與該直線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b一條直線與此平交線面內(nèi)的一條直線2.平面與平面平行 (1)平面與平面平行的定義

沒有公共點的兩個平面叫做平行平面. (2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面內(nèi)的兩條_____________與另一個平面平行，則這兩個平面平行a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β相交直線性質(zhì)定理兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線_________于另一個平面α∥β，a?α?a∥β如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的_________平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b平行交線[微點提醒]平行關系中的三個重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.基

礎

自

測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.(

)(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線a的直線有無數(shù)條.(

)(3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.(

)(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.(

)解析(1)若一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行或在平面內(nèi)，故(1)錯誤.(2)若a∥α，P∈α，則過點P且平行于a的直線只有一條，故(2)錯誤.(3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行或相交，故(3)錯誤.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)√2.(必修2P61A1(2)改編)下列說法中，與“直線a∥平面α”等價的是(

) A.直線a上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi) B.直線a與平面α內(nèi)的所有直線平行 C.直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線不相交 D.直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交

解析

因為a∥平面α，所以直線a與平面α無交點，因此a和平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交，故選D.

答案

D3.(必修2P61A1(1)改編)下列命題中正確的是(

) A.若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面 B.若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行 C.平行于同一條直線的兩個平面平行 D.若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α

解析根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理知，選D.

答案

D4.(2018·長沙模擬)已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是(

) A.m∥α，n∥α，則m∥n

B.m∥n，m∥α，則n∥α C.m⊥α，m⊥β，則α∥β

D.α⊥γ，β⊥γ，則α∥β

解析

A中，m與n平行、相交或異面，A不正確；B中，n∥α或n?α，B不正確；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，C正確；D中，α∥β或α與β相交，D錯.

答案

C5.(2019·成都月考)若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點B∈β，則在平面β內(nèi)且過B點的所有直線中(

) A.不一定存在與a平行的直線 B.只有兩條與a平行的直線 C.存在無數(shù)條與a平行的直線 D.存在唯一與a平行的直線

解析

當直線a在平面β內(nèi)且過B點時，不存在與a平行的直線，故選A.

答案

A6.(2019·衡水開學考試)如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________.解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.答案平行四邊形考點一與線、面平行相關命題的判定【例1】(1)(2019·開封模擬)在空間中，a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中的真命題是(

) A.若a⊥c，b⊥c，則a∥b B.若a?α，b?β，α⊥β，則a⊥b C.若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥b D.若α∥β，a?α，則a∥β(2)(2018·聊城模擬)下列四個正方體中，A，B，C為所在棱的中點，則能得出平面ABC∥平面DEF的是(

)解析(1)對于A，若a⊥c，b⊥c，則a與b可能平行、異面、相交，故A是假命題；對于B，設α∩β＝m，若a，b均與m平行，則a∥b，故B是假命題；對于C，a，b可能平行、異面、相交，故C是假命題；對于D，若α∥β，a?α，則a與β沒有公共點，則a∥β，故D是真命題.(2)在B中，如圖，連接MN，PN，∵A，B，C為正方體所在棱的中點，∴AB∥MN，AC∥PN，∵MN∥DE，PN∥EF，∴AB∥DE，AC∥EF，∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB，AC?平面ABC，DE，EF?平面DEF，∴平面ABC∥平面DEF.答案(1)D

(2)B規(guī)律方法

1.判斷與平行關系相關命題的真假，必須熟悉線、面平行關系的各個定義、定理，無論是單項選擇還是含選擇項的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項先確定或排除，再逐步判斷其余選項.2.(1)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷.(2)特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情況，通過舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確.【訓練1】(1)下列命題正確的是(

) A.若兩條直線和同一個平面平行，則這兩條直線平行 B.若一條直線與兩個平面所成的角相等，則這兩個平面平行 C.若一條直線與兩個相交平面都平行，則這條直線與這兩個平面的交線平行 D.若兩個平面垂直于同一個平面，則這兩個平面平行解析(1)A選項中兩條直線可能平行也可能異面或相交；對于B選項，如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1和平面BCC1B1與B1D1所成的角相等，但這兩個平面垂直；D選項中兩平面也可能相交.C正確.(2)如圖，對于①，連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM，CN，易得AM，CN交于點P，即MN?平面APC，所以MN∥平面APC是錯誤的.對于②，由①知M，N在平面APC內(nèi)，由題易知AN∥C1Q，且AN?平面APC，C1Q?平面APC.所以C1Q∥平面APC是正確的.對于③，由①知，A，P，M三點共線是正確的.對于④，由①知MN?平面APC，又MN?平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是錯誤的.答案(1)C

(2)②③考點二直線與平面平行的判定與性質(zhì)

多維探究角度1直線與平面平行的判定【例2－1】

(2019·東北三省四市模擬)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段AD，PB的中點，PA＝AB＝1.(1)證明：EF∥平面PDC；(2)求點F到平面PDC的距離.(1)證明取PC的中點M，連接DM，MF，∵E為DA的中點，四邊形ABCD為正方形，∴MF∥DE，MF＝DE，∴四邊形DEFM為平行四邊形，∴EF∥DM，∵EF平面PDC，DM?平面PDC，∴EF∥平面PDC.(2)解∵EF∥平面PDC，∴點F到平面PDC的距離等于點E到平面PDC的距離.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，連接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，設E到平面PDC的距離為h，∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，角度2直線與平面平行性質(zhì)定理的應用【例2－2】

(2018·上饒模擬)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為2，E，F(xiàn)分別是棱DD1，C1D1的中點.(1)求三棱錐B1－A1BE的體積；(2)試判斷直線B1F與平面A1BE是否平行，如果平行，請在平面A1BE上作出與B1F平行的直線，并說明理由.(2)B1F∥平面A1BE.延長A1E交AD延長線于點H，連BH交CD于點G，則BG就是所求直線.證明如下：因為BA1∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE，所以A1B∥GE.又A1B∥CD1，所以GE∥CD1.又E為DD1的中點，則G為CD的中點.故BG∥B1F，BG就是所求直線.規(guī)律方法

1.利用判定定理判定線面平行，關鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線.常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線.2.在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應用性質(zhì)定理時，其順序恰好相反.【訓練2】

(2017·江蘇卷)如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.證明(1)在平面ABD內(nèi)，AB⊥AD，EF⊥AD，則AB∥EF.∵AB?平面ABC，EF?平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD?平面ABD，∴BC⊥AD.又AB⊥AD，BC，AB?平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又因為AC?平面ABC，∴AD⊥AC.考點三面面平行的判定與性質(zhì)

典例遷移【例3】

(經(jīng)典母題)如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點，∴GH是△A1B1C1的中位線，則GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點共面.(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，∴EF∥BC，∵EF平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【遷移探究1】

在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點”變?yōu)椤癉1，D分別為B1C1，BC的中點”，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.證明如圖所示，連接A1C交AC1于點M，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C的中點，連接MD，∵D為BC的中點，∴A1B∥DM.∵A1B?平面A1BD1，DM平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綉B(tài)D，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，∴DC1∥BD1.又DC1平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，因此平面A1BD1∥平面AC1D.解連接A1B交AB1于O，連接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，規(guī)律方法

1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行).2.面面平行條件的應用(1)兩平面平行，分析構(gòu)造與之相交的第三個平面，交線平行.(2)兩平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面平行.提醒利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明是在一個平面內(nèi)的兩條直線是相交直線.【訓練3】

(2019·南昌二模)如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，側(cè)面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，點E，F(xiàn)分別是棱AB，PB上的點，平面CEF∥平面PAD.(1)確