李慶揚(yáng)數(shù)值分析第五版習(xí)題的答案清華大學(xué)出版社

...wd......wd......wd...第一章緒論1．設(shè),的相對(duì)誤差為，求的誤差。解：近似值的相對(duì)誤差為而的誤差為進(jìn)而有2．設(shè)的相對(duì)誤差為2%，求的相對(duì)誤差。解：設(shè)，那么函數(shù)的條件數(shù)為又,又且為23．以下各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù)，即誤差限不超過最后一位的半個(gè)單位，試指出它們是幾位有效數(shù)字：,,,,解：是五位有效數(shù)字；是二位有效數(shù)字；是四位有效數(shù)字；是五位有效數(shù)字；是二位有效數(shù)字。4．利用公式(2.3)求以下各近似值的誤差限：(1),(2),(3).其中均為第3題所給的數(shù)。解：5計(jì)算球體積要使相對(duì)誤差限為1，問度量半徑R時(shí)允許的相對(duì)誤差限是多少解：球體體積為那么何種函數(shù)的條件數(shù)為又故度量半徑R時(shí)允許的相對(duì)誤差限為6．設(shè)，按遞推公式〔n=1,2,…〕計(jì)算到。假設(shè)取〔5位有效數(shù)字〕，試問計(jì)算將有多大誤差解：……依次代入后，有即，假設(shè)取,的誤差限為。7．求方程的兩個(gè)根，使它至少具有4位有效數(shù)字〔〕。解：，故方程的根應(yīng)為故具有5位有效數(shù)字具有5位有效數(shù)字8．當(dāng)N充分大時(shí)，怎樣求解設(shè)。那么9．正方形的邊長大約為了100cm，應(yīng)怎樣測(cè)量才能使其面積誤差不超過解：正方形的面積函數(shù)為.當(dāng)時(shí)，假設(shè),那么故測(cè)量中邊長誤差限不超過0.005cm時(shí)，才能使其面積誤差不超過10．設(shè)，假定g是準(zhǔn)確的，而對(duì)t的測(cè)量有秒的誤差，證明當(dāng)t增加時(shí)S的絕對(duì)誤差增加，而相對(duì)誤差卻減少。解：當(dāng)增加時(shí)，的絕對(duì)誤差增加當(dāng)增加時(shí)，保持不變，那么的相對(duì)誤差減少。11．序列滿足遞推關(guān)系(n=1,2,…),假設(shè)〔三位有效數(shù)字〕，計(jì)算到時(shí)誤差有多大這個(gè)計(jì)算過程穩(wěn)定嗎解：又又計(jì)算到時(shí)誤差為，這個(gè)計(jì)算過程不穩(wěn)定。12．計(jì)算，取，利用以下等式計(jì)算，哪一個(gè)得到的結(jié)果最好,,，。解：設(shè)，假設(shè)，，那么。假設(shè)通過計(jì)算y值，那么假設(shè)通過計(jì)算y值，那么假設(shè)通過計(jì)算y值，那么通過計(jì)算后得到的結(jié)果最好。13．,求的值。假設(shè)開平方用6位函數(shù)表，問求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大假設(shè)改用另一等價(jià)公式。計(jì)算，求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大解,設(shè)那么故假設(shè)改用等價(jià)公式那么此時(shí)，第二章插值法1．當(dāng)時(shí)，,求的二次插值多項(xiàng)式。解：那么二次拉格朗日插值多項(xiàng)式為2．給出的數(shù)值表X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用線性插值及二次插值計(jì)算的近似值。解：由表格知，假設(shè)采用線性插值法計(jì)算即，那么假設(shè)采用二次插值法計(jì)算時(shí)，3．給全的函數(shù)表，步長假設(shè)函數(shù)表具有5位有效數(shù)字，研究用線性插值求近似值時(shí)的總誤差界。解：求解近似值時(shí)，誤差可以分為兩個(gè)局部，一方面，x是近似值，具有5位有效數(shù)字，在此后的計(jì)算過程中產(chǎn)生一定的誤差傳播；另一方面，利用插值法求函數(shù)的近似值時(shí)，采用的線性插值法插值余項(xiàng)不為0，也會(huì)有一定的誤差。因此，總誤差界的計(jì)算應(yīng)綜合以上兩方面的因素。當(dāng)時(shí)，令取令那么當(dāng)時(shí)，線性插值多項(xiàng)式為插值余項(xiàng)為又在建設(shè)函數(shù)表時(shí)，表中數(shù)據(jù)具有5位有效數(shù)字，且，故計(jì)算中有誤差傳播過程。總誤差界為4．設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)，求證：〔1〕〔2〕證明令假設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為，那么函數(shù)的次插值多項(xiàng)式為。插值余項(xiàng)為又由上題結(jié)論可知得證。5設(shè)且求證：解：令，以此為插值節(jié)點(diǎn)，那么線性插值多項(xiàng)式為=插值余項(xiàng)為6．在上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，假設(shè)用二次插值求的近似值，要使截?cái)嗾`差不超過，問使用函數(shù)表的步長h應(yīng)取多少解：假設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為和，那么分段二次插值多項(xiàng)式的插值余項(xiàng)為設(shè)步長為h，即假設(shè)截?cái)嗾`差不超過，那么7．假設(shè)，解：根據(jù)向前差分算子和中心差分算子的定義進(jìn)展求解。8．如果是m次多項(xiàng)式，記，證明的k階差分是次多項(xiàng)式，并且〔為正整數(shù)〕。解：函數(shù)的展式為其中又是次數(shù)為的多項(xiàng)式為階多項(xiàng)式為階多項(xiàng)式依此過程遞推，得是次多項(xiàng)式是常數(shù)當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，9．證明證明得證10．證明證明：由上題結(jié)論可知得證。11．證明證明得證。12．假設(shè)有個(gè)不同實(shí)根，證明：證明：有個(gè)不同實(shí)根且令那么而令那么又得證。13．證明階均差有以下性質(zhì)：〔1〕假設(shè)，那么〔2〕假設(shè)，那么證明：〔1〕得證。+得證。14．求及。解：假設(shè)那么15．證明兩點(diǎn)三次埃爾米特插值余項(xiàng)是解：假設(shè)，且插值多項(xiàng)式滿足條件插值余項(xiàng)為由插值條件可知且可寫成其中是關(guān)于的待定函數(shù)，現(xiàn)把看成上的一個(gè)固定點(diǎn)，作函數(shù)根據(jù)余項(xiàng)性質(zhì)，有由羅爾定理可知，存在和，使即在上有四個(gè)互異零點(diǎn)。根據(jù)羅爾定理，在的兩個(gè)零點(diǎn)間至少有一個(gè)零點(diǎn)，故在內(nèi)至少有三個(gè)互異零點(diǎn)，依此類推，在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。記為使又其中依賴于分段三次埃爾米特插值時(shí)，假設(shè)節(jié)點(diǎn)為，設(shè)步長為，即在小區(qū)間上16．求一個(gè)次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式P〔x〕，使它滿足解：利用埃米爾特插值可得到次數(shù)不高于4的多項(xiàng)式設(shè)其中，A為待定常數(shù)從而17．設(shè)，在上取，按等距節(jié)點(diǎn)求分段線性插值函數(shù)，計(jì)算各節(jié)點(diǎn)間中點(diǎn)處的與值，并估計(jì)誤差。解：假設(shè)那么步長在小區(qū)間上，分段線性插值函數(shù)為各節(jié)點(diǎn)間中點(diǎn)處的與的值為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，誤差又令得的駐點(diǎn)為和18．求在上分段線性插值函數(shù)，并估計(jì)誤差。解：在區(qū)間上，函數(shù)在小區(qū)間上分段線性插值函數(shù)為誤差為19．求在上分段埃爾米特插值，并估計(jì)誤差。解：在區(qū)間上，令函數(shù)在區(qū)間上的分段埃爾米特插值函數(shù)為誤差為又20．給定數(shù)據(jù)表如下：Xj0.250.300.390.450.53Yj0.50000.54770.62450.67080.7280試求三次樣條插值，并滿足條件：解：由此得矩陣形式的方程組為21M02M12M22M312M4求解此方程組得三次樣條表達(dá)式為將代入得由此得矩陣開工的方程組為求解此方程組，得又三次樣條表達(dá)式為將代入得21．假設(shè)是三次樣條函數(shù)，證明：假設(shè)，式中為插值節(jié)點(diǎn)，且，那么證明：從而有第三章函數(shù)逼近與曲線擬合，給出上的伯恩斯坦多項(xiàng)式及。解：伯恩斯坦多項(xiàng)式為其中當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，求證證明：假設(shè)，那么3．證明函數(shù)線性無關(guān)證明：假設(shè)分別取，對(duì)上式兩端在上作帶權(quán)的內(nèi)積，得此方程組的系數(shù)矩陣為希爾伯特矩陣，對(duì)稱正定非奇異，只有零解a=0。函數(shù)線性無關(guān)。4。計(jì)算以下函數(shù)關(guān)于的與：m與n為正整數(shù)，解：假設(shè)，那么在內(nèi)單調(diào)遞增假設(shè)，那么假設(shè)m與n為正整數(shù)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞減。假設(shè)當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減。5。證明證明：6。對(duì)，定義問它們是否構(gòu)成內(nèi)積。解：令〔C為常數(shù)，且〕那么而這與當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，矛盾不能構(gòu)成上的內(nèi)積。假設(shè)，那么,那么假設(shè)，那么,且即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.故可以構(gòu)成上的內(nèi)積。7。令，試證是在上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式，并求。解：假設(shè)，那么令，那么，且，故又切比雪夫多項(xiàng)式在區(qū)間上帶權(quán)正交，且是在上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式。又8。對(duì)權(quán)函數(shù)，區(qū)間，試求首項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式解：假設(shè)，那么區(qū)間上內(nèi)積為定義，那么其中9。試證明由教材式給出的第二類切比雪夫多項(xiàng)式族是上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式。證明：假設(shè)令，可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又，故得證。10。證明切比雪夫多項(xiàng)式滿足微分方程證明：切比雪夫多項(xiàng)式為從而有得證。11。假設(shè)在上連續(xù)，求的零次最正確一致逼近多項(xiàng)式解：在閉區(qū)間上連續(xù)存在，使取那么和是上的2個(gè)輪流為“正〞、“負(fù)〞的偏差點(diǎn)。由切比雪夫定理知P為的零次最正確一致逼近多項(xiàng)式。12。選取常數(shù)，使到達(dá)極小，又問這個(gè)解是否唯一解：令那么在上為奇函數(shù)又的最高次項(xiàng)系數(shù)為1，且為3次多項(xiàng)式。與0的偏差最小。從而有13。求在上的最正確一次逼近多項(xiàng)式，并估計(jì)誤差。解：于是得的最正確一次逼近多項(xiàng)式為即誤差限為14。求在上的最正確一次逼近多項(xiàng)式。解：于是得的最正確一次逼近多項(xiàng)式為15。求在區(qū)間上的三次最正確一致逼近多項(xiàng)式。解：令，那么且令，那么假設(shè)為區(qū)間上的最正確三次逼近多項(xiàng)式應(yīng)滿足當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式與零偏差最小，故進(jìn)而，的三次最正確一致逼近多項(xiàng)式為，那么的三次最正確一致逼近多項(xiàng)式為16。，在上求關(guān)于的最正確平方逼近多項(xiàng)式。解：假設(shè)且，那么那么法方程組為解得故關(guān)于的最正確平方逼近多項(xiàng)式為17。求函數(shù)在指定區(qū)間上對(duì)于的最正確逼近多項(xiàng)式：解：假設(shè)且，那么有那么法方程組為從而解得故關(guān)于的最正確平方逼近多項(xiàng)式為假設(shè)且，那么有那么法方程組為從而解得故關(guān)于的最正確平方逼近多項(xiàng)式為假設(shè)且，那么有那么法方程組為從而解得故關(guān)于的最正確平方逼近多項(xiàng)式為假設(shè)且那么有那么法方程組為從而解得故關(guān)于最正確平方逼近多項(xiàng)式為18。，在上按勒讓德多項(xiàng)式展開求三次最正確平方逼近多項(xiàng)式。解：按勒讓德多項(xiàng)式展開那么從而的三次最正確平方逼近多項(xiàng)式為19。觀測(cè)物體的直線運(yùn)動(dòng)，得出以下數(shù)據(jù)：時(shí)間t(s)00.91.93.03.95.0距離s(m)010305080110求運(yùn)動(dòng)方程。解：被觀測(cè)物體的運(yùn)動(dòng)距離與運(yùn)動(dòng)時(shí)間大體為線性函數(shù)關(guān)系，從而選擇線性方程令那么那么法方程組為從而解得故物體運(yùn)動(dòng)方程為20。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：192531384419.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如的經(jīng)歷公式，并計(jì)算均方誤差。解：假設(shè)，那么那么那么法方程組為從而解得故均方誤差為21。在某佛堂反響中，由實(shí)驗(yàn)得分解物濃度與時(shí)間關(guān)系如下：時(shí)間0510152025303540455055濃度01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64用最小二乘法求。解：觀察所給數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，采用方程兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，那么取那么那么法方程組為從而解得因此22。給出一張記錄用FFT算法求的離散譜。解：那么01234567432101234444048404801600023，用輾轉(zhuǎn)相除法將化為連分式。解24。求在處的階帕德逼近。解：由在處的泰勒展開為得從而即從而解得又那么故25。求在處的階帕德逼近。解：由在處的泰勒展開為得從而即解得又那么故第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分1.確定以下求積公式中的特定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度：解：求解求積公式的代數(shù)精度時(shí)，應(yīng)根據(jù)代數(shù)精度的定義，即求積公式對(duì)于次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確地成立，但對(duì)于m+1次多項(xiàng)式就不準(zhǔn)確成立，進(jìn)展驗(yàn)證性求解?！?〕假設(shè)令，那么令，那么令，那么從而解得令，那么故成立。令，那么故此時(shí)，故具有3次代數(shù)精度。〔2〕假設(shè)令，那么令，那么令，那么從而解得令，那么故成立。令，那么故此時(shí)，因此，具有3次代數(shù)精度?！?〕假設(shè)令，那么令，那么令，那么從而解得或令，那么故不成立。因此，原求積公式具有2次代數(shù)精度。〔4〕假設(shè)令，那么令，那么令，那么故有令，那么令，那么故此時(shí)，因此，具有3次代數(shù)精度。2.分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算以下積分：解：復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為3。直接驗(yàn)證柯特斯教材公式〔2。4〕具有5交代數(shù)精度。證明：柯特斯公式為令，那么令，那么令，那么令，那么令，那么令，那么令，那么因此，該柯特斯公式具有5次代數(shù)精度。4。用辛普森公式求積分并估計(jì)誤差。解：辛普森公式為此時(shí)，從而有誤差為5。推導(dǎo)以下三種矩形求積公式：證明：兩邊同時(shí)在上積分，得即兩邊同時(shí)在上積分，得即兩連邊同時(shí)在上積分，得即6。假設(shè)用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分，問區(qū)間應(yīng)人多少等分才能使截?cái)嗾`差不超過假設(shè)改用復(fù)化辛普森公式，要到達(dá)同樣精度區(qū)間應(yīng)分多少等分解：采用復(fù)化梯形公式時(shí)，余項(xiàng)為又故假設(shè)，那么當(dāng)對(duì)區(qū)間進(jìn)展等分時(shí)，故有因此，將區(qū)間213等分時(shí)可以滿足誤差要求采用復(fù)化辛普森公式時(shí)，余項(xiàng)為又假設(shè)，那么當(dāng)對(duì)區(qū)間進(jìn)展等分時(shí)故有因此，將區(qū)間8等分時(shí)可以滿足誤差要求。7。如果，證明用梯形公式計(jì)算積分所得結(jié)果比準(zhǔn)確值大，并說明其幾何意義。解：采用梯形公式計(jì)算積分時(shí)，余項(xiàng)為又且又即計(jì)算值比準(zhǔn)確值大。其幾何意義為，為下凸函數(shù)，梯形面積大于曲邊梯形面積。8。用龍貝格求積方法計(jì)算以下積分，使誤差不超過.解：00.771743310.72806990.713512120.71698280.71328700.713272030.71420020.71327260.71327170.7132717因此03.45131318.628283-4.446923因此014.2302495111.171369910.1517434210.443796910.201272510.2045744310.266367210.207224010.207620710.2076691410.222270210.207571210.207594310.207593910.2075936510.211260710.207590910.207592210.207592210.207592210.2075922因此9。用的高斯-勒讓德公式計(jì)算積分解：令，那么用的高斯—勒讓德公式計(jì)算積分用的高斯—勒讓德公式計(jì)算積分10地球衛(wèi)星軌道是一個(gè)橢圓，橢圓周長的計(jì)算公式是這是是橢圓的半徑軸，c是地球中心與軌道中心〔橢圓中心〕的距離，記h為近地點(diǎn)距離，H為遠(yuǎn)地點(diǎn)距離，R=6371〔km〕為地球半徑，那么我國第一顆地球衛(wèi)星近地點(diǎn)距離h=439(km)，遠(yuǎn)地點(diǎn)距離H=2384(