概率課件-第一章1-5獨立事件

一、事件的相互獨立性二、獨立試驗序列概型第五節(jié)事件的獨立性一、事件的相互獨立性由條件概率，知一般地，這意味著：事件A

的發(fā)生對事件B發(fā)生的概率有影響.1.問題的提出問：在任何情形下，式子都成立嗎？則有引例盒中有5個球(3綠2紅)，每次取出一個，有放回地取兩次，記A

＝第一次抽取，取到綠球，B

＝第二次抽取，取到綠球，這說明，在有些情形下，事件A

的發(fā)生對事件B發(fā)生的概率并沒有影響.2.兩個事件的獨立注

1o說明

事件A與B相互獨立,是指事件A的發(fā)生與事件B發(fā)生的概率無關(guān).(1)定義1.92o獨立與互斥的關(guān)系這是兩個不同的概念.兩事件相互獨立兩事件互斥例如二者之間沒有必然聯(lián)系獨立是事件間的概率屬性互斥是事件間本身的關(guān)系11由此可見兩事件相互獨立但兩事件不互斥.兩事件相互獨立兩事件互斥.由此可見兩事件互斥但不獨立.又如:兩事件相互獨立.兩事件互斥可以證明：

特殊地，A與B

獨立A與B

相容(不互斥),

或A與B

互斥A與B

不獨立.證若A與B獨立,則

即A與B

不互斥(相容).若A與B互斥，則AB=,B發(fā)生時，A一定不發(fā)生.這表明:B的發(fā)生會影響A發(fā)生的可能性(造成A不發(fā)生),即B的發(fā)生造成A發(fā)生的概率為零.所以A與B不獨立.BA逆否命題的理解:1)必然事件

及不可能事件與任何事件A相互獨立.證∵A=A,P()=1,∴P(A)=P(A)=1?P(A)=P()P(A).即與A獨立.∵A=,P()=0,∴P(A)=P()=0=P()P(A).即與A獨立.(2)性質(zhì)1.52)

若事件A與B相互獨立,則以下三對事件也相互獨立.①②③證①注

稱此為二事件的獨立性關(guān)于逆運算封閉.又∵A與B相互獨立,③的概率為0.6,乙擊中敵機的概率為0.5,求敵機不被擊中的概率.解設(shè)A={甲擊中敵機},B={乙擊中敵機},C={敵機不被擊中},由于甲，乙同時射擊，甲擊中敵機并不影響乙擊中敵機的可能性，所以A與B獨立,則例1甲,乙兩人同時向敵人炮擊,已知甲擊中敵機依題設(shè),3.多個事件的獨立性

(1)

三事件兩兩相互獨立的概念定義定義1.10(2)三事件相互獨立的概念

一個均勻的正四面體,其第一面染成紅色,第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同時染上紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)以A,B,C

分別記投一次四面體出現(xiàn)紅,白,黑顏色朝下的事件,問A,B,C是否相互獨立?解

因此又由題意知伯恩斯坦反例例2由于在四面體中紅,白,黑分別出現(xiàn)兩面,故有因此A、B、C不相互獨立.則三事件A,B,C兩兩獨立.由于

若事件A1，A2，…，An

中任意兩個事件相互獨立，即對于一切1≤i<j≤n,有定義(3)n

個事件的獨立性注

設(shè)A1，A2，…，An為n個事件，若對于任意k(2≤k≤n),及1≤i1<i2<···<ik≤n

定義1.11（4）兩個結(jié)論n個獨立事件和的概率公式:設(shè)事件相互獨立,則

也相互獨立即n個獨立事件至少有一個發(fā)生的概率等于1減去各自對立事件概率的乘積.結(jié)論的應(yīng)用假設(shè)每個人血清中是否含有肝炎病毒相互獨立，混合100個人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率.解則例3若每個人血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%,依題設(shè)，一個元件的可靠性：該元件正常工作的概率.一個系統(tǒng)的可靠性：由元件組成的系統(tǒng)正常工作的概率.

設(shè)一個元件的可靠性為r.如果一個系統(tǒng)由2n個元件組成，每個元件能否正常工作是相互獨立的.(1)

求下列兩個系統(tǒng)Ⅰ和Ⅱ的可靠性；(2)問：哪個系統(tǒng)的可靠性更大？事件的獨立性在可靠性理論中的應(yīng)用：例4系統(tǒng)Ⅰ.系統(tǒng)Ⅱ.設(shè)B1={系統(tǒng)Ⅰ正常工作},①②…n+22nn+1…12n…n+22nn+112n解

B2={系統(tǒng)Ⅱ正常工作}設(shè)C={通路①正常工作}，D={通路②正常工作}∵每條通路正常工作通路上各元件都正常工作,而系統(tǒng)Ⅰ正常工作兩條通路中至少有一條正常工作.系統(tǒng)Ⅰ.①②…n+22nn+1…12n考察系統(tǒng)Ⅰ:∴

系統(tǒng)Ⅰ正常工作的概率:系統(tǒng)Ⅱ正常工作通路上的每對并聯(lián)元件正常工作.

B2={系統(tǒng)Ⅱ正常工作}考察系統(tǒng)Ⅱ:…n+22nn+112n所以，系統(tǒng)Ⅱ正常工作的概率：(2)問：哪個系統(tǒng)的可靠性更大？即系統(tǒng)Ⅱ的可靠性比系統(tǒng)Ⅰ的大.二、獨立試驗序列概型1.定義1.12(獨立試驗序列)設(shè){Ei

}(i=1,2,…)是一列隨機試驗,Ei的樣本空間為i,設(shè)Ak

是Ek中的任一事件,Ak

k,若Ak發(fā)生的概率都不依賴于其它各次試驗Ei(ik)的結(jié)果,則稱{Ei

}是相互獨立的隨機試驗序列,簡稱獨立試驗序列.例5解

令表示此k個數(shù)字中最大者不大于m這一事件，則顯然，，令，則從1,2,...,10個數(shù)字中任取一個，取后還原，連取k次，獨立進行試驗，試求此k個數(shù)字中最大者是m(m≤10)這一事件Bm的概率.則稱這n次重復(fù)試驗為n重伯努利試驗.若n

次重復(fù)試驗具有下列特點：1)每次試驗的可能結(jié)果只有兩個A或2)各次試驗的結(jié)果相互獨立，(在各次試驗中p是常數(shù)，保持不變）2.n

重伯努利(Bernoulli)試驗實例3

(球在盒中的分配問題)設(shè)有n

個球，N個盒子.試驗E：觀察一個球是否投進某一指定的盒中.A={該球進入指定的盒中},實例1

拋一枚硬幣觀察得到正面或反面.若將硬幣拋n次,就是n重伯努利試驗.實例2

拋一顆骰子n次,觀察是否“出現(xiàn)

1點”,就是

n重伯努利試驗.B={某指定的盒中恰有m個球},求P(B).易知，設(shè)En:觀察n個球是否投進某一指定的盒中,則En是將E重復(fù)了n次，是伯努利試驗.解一般地，對于伯努利試驗，有如下公式：如果在伯努利試驗中，事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),則在n次試驗中，A恰好發(fā)生k

次的概率為：3.二項概率公式定理推導(dǎo)如下:且兩兩互不相容.稱上式為二項概率公式.記為經(jīng)計算得解例6個可供選擇的答案，其中一個為正確答案，今有一考生僅會做6道題，有4道題不會做.于是隨意填寫，試問能碰對m(m=0,1,2,3,4)道題的概率.設(shè)某考卷上有10道選擇題，每道選擇題有4幾何公式4.幾何公式解例7把能打開這個門，他隨機地選取一把鑰匙開門，即每次以1/n的概率被選中，求該人在第k次打開門的概率.一個人開門，他共有n把鑰匙，其中僅有一內(nèi)容小結(jié)4.二項分布

5.幾何分布再見備用題例1-1設(shè)A,B相互獨立，且兩個事件僅A發(fā)生的概率或僅B發(fā)生的概率都是1/4，求P(A)與P(B).解例1-2解四張卡片上依次標有下列各組數(shù)字：110，101，011，000.

從袋中任取一張卡片，記證明Ai={取到的卡片第i位上的數(shù)字為1},i=1,2,3.設(shè)一個口袋里裝有四張形狀相同的卡片.在這例2-1(1)110，101，011，000證例2-2染紅色，1,2,3,5面染白色，1,6,7,8面染上黑色,以A，B，C表示投擲一次正八面體出現(xiàn)紅,白,黑色的事件，則但兩兩獨立相互獨立若有一個均勻正八面體，其1,2,3,4面0.2,若10名機槍射擊手同時向一架飛機射擊,問擊落飛機的概率是多少?解事件B為“擊落飛機”,射擊問題例3-1設(shè)每一名機槍射擊手擊落飛機的概率都是例3-2(小概率事件)試證當(dāng)購買次數(shù)n→∞時,A遲早會出現(xiàn)的概率為1.證以表示在第k次中出現(xiàn)，則若某種博彩獲頭獎這一事件A的概率為ε=10-8,擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7,飛機被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若三人都擊中飛機必定被擊落,求飛機被擊落的概率.解

A,B,C

分別表示甲、乙、丙擊中敵機,例3-3甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊,三人因而,由全概率公式得飛機被擊落的概率為該批樂器中隨機地取3件測試(設(shè)3件樂器的測試是相互獨立的),如果3件中至少有一件在測試中被認為音色不純,則這批樂器就被拒絕接收.設(shè)一件音色不純的樂器經(jīng)測試查出其為音色不純的概率為0.95;而一件音色純的樂器經(jīng)測試被誤認為不純的概率為0.01.如果已知這100件樂器中恰有4件是音色不純的.試問這批樂器被接收的概率是多少?解例3-4要驗收一批(100件)樂器.驗收方案如下:自純的樂器,經(jīng)測試被認為音色純的概率為0.99,已知一件音色而一件音色不純的樂器,經(jīng)測試被認為音色純的概率為0.05,并且三件樂器的測試是相互獨立的,于是有例4-1設(shè)電路由A,B,C三個元件組成，若元件A,B,C發(fā)生故障的概率分別為0.3,0.2,0.2，且各元件獨立工作，是在以下情況下，求此電路發(fā)生故障的概率：(1)A,B,C三個元件串聯(lián)；(2)A,B,C三個元件并聯(lián)；(3)元件A與兩個并聯(lián)的元件B及C串聯(lián)而成.解

設(shè)事件A,B,C分別表示元件A,B,C發(fā)生故障.(1)因為串聯(lián)電路中任一元件發(fā)生故障，則電路發(fā)生故障，于是所求概率為(2)因為并聯(lián)電路中所有元件發(fā)生故障，則電路發(fā)生故障，于是所求概率為(3)由題意知，所求概率為例4-2某系統(tǒng)如圖所示,各繼電器接點閉合的概率均為p，且各繼電器接點的閉合式相互獨立得的，求各系統(tǒng)是通路的概率.234（a）1234561（b）解將系統(tǒng)分為子系統(tǒng)，子系統(tǒng)又分為并聯(lián)與串聯(lián)，實行分步驟方法來求系統(tǒng)是通路的概率.(1)第一個子系統(tǒng)中2與3是串聯(lián)，線路接通是交事件，由獨立性，接通的概率為p2;而1與2，3是并聯(lián)第二個子系統(tǒng)接通的概率為p，與第一個子系統(tǒng)串聯(lián)是交事件，故通路的概率為(2)系統(tǒng)由三個大的系統(tǒng)并聯(lián)而成，逐個求出是通路的概率再合成求系統(tǒng)的概率.第一個子系統(tǒng)中1,2是并聯(lián)，1,2與3是串聯(lián)，所以是通路的概率為第二個子系統(tǒng)是通路的概率是p，第三個子系統(tǒng)由5,6串聯(lián)而成，是通路的概率為p2.例5-1

在一批N個產(chǎn)品中有M個次品，每次任取一件，觀察后放回，求：(1)n次都取得正品的概率；(2)n次中至少有一次取得正品的概率.解例5-2設(shè)4次獨立試驗中事件A發(fā)生的概率相等，若已知A至少發(fā)生一次的概率為0.59，則A在一次試驗中發(fā)生的概率為多少?解例6-1(保險問題)等于0.005，現(xiàn)有10000個這類人參加投保，試求在未來一年中在這些保險者里面：(1)有40個人死亡的概率；(2)死亡人數(shù)不超過70個人的概率.解(1)設(shè)A表示40個人死亡,則(2)設(shè)B表示死亡人數(shù)不超過70,

則若一年中某類保險者里面每個人死亡的概率解例6-2查，共取5件樣品，計算這5件樣品中(1)恰好有3件次品的概率,(2)至多有3件次品的概率.一批產(chǎn)品有20％的次品，進行重復(fù)抽樣檢En:可看成將E

重復(fù)了n次,這是一個n重

貝努里試驗.解E

：觀察1局比賽甲是否獲勝,設(shè)在n次試驗中，A恰好出現(xiàn)k

次的概率為：例6-3概率為p,p≥1/2,問對甲而言，采用三局二勝制有利，還是采用五局三勝制有利.設(shè)各局勝負相互獨立.甲、乙兩人進行乒乓球